垂直于弦的直径

1、垂直于弦的直径 及其推论 山东省嘉祥县第四中学山东省嘉祥县第四中学 曾庆坤曾庆坤想一想想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两：将一个圆沿着任一条直径对折，两 侧半圆会有什么关系？侧半圆会有什么关系？ 性质：性质：圆是圆是轴对称图形轴对称图形，任何一条，任何一条直径直径所在所在 的直线都是它的的直线都是它的对称轴对称轴。 O C D A B O C D A B 观察右图，有什么等量关系？观察右图，有什么等量关系？ O B C D A E AO=BO=CO=DO， 弧AD弧BC，弧AC 弧BD。 AO=BO=CO=DO， 弧AD弧BC=弧AC 弧BD。 AO=BO=CO=

2、DO，弧 AD弧BD，弧AC 弧BC, AEBE 。 O B C D A E 已知：在已知：在 O中中，CD是直径是直径，AB是弦是弦， CDAB，垂足为垂足为E。 求证：求证：AEBE，弧弧AC弧弧BC，弧弧AD弧弧BD。 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。 判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？ O CD B A O C D B A O CD B A O CDE 注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦直径，垂直于弦）缺一不）缺一不 可！可！ 例例1 1、已知：在、已知：在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm, 圆心圆心O

3、到到AB的距离为的距离为3cm,求求： O的半径的半径。 O ABE 若若OA=10cm,OE=6cm,求弦求弦AB的长。的长。 若圆心到弦的距离用若圆心到弦的距离用d表示，半径用表示，半径用r 表示，弦长用表示，弦长用a表示，这三者之间有怎表示，这三者之间有怎 样的关系？样的关系？ 2 22 2 a dr OE为O到弦AB的垂 线段 O A BC D AC、BD有什么关系？有什么关系？ ACBD依然成依然成 立吗立吗？ OA BC D O A BC DF E EA_, EC=_。 FDFB O AB CD ：_ AC=BD. OA=OB O AB CD ：_ AC=BD. OC=OD 如图，

4、如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点， PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。 MA P B O 关于弦的问题，常常需关于弦的问题，常常需 要要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅辅 助线助线。 圆心到弦的距离、半径、圆心到弦的距离、半径、 弦长弦长构成构成直角三角形直角三角形， 便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三 角形的问题。角形的问题。 综合运用练习 已知等腰已知等腰ABCABC的底边的底边BCBC的长为的长为10cm10cm，顶，顶 角为角为6060，求它的外接圆的直径。，求它的外接圆的直径。 如图，如图，OO中中

5、CDCD是弦，是弦，ABAB是直径，是直径，AECDAECD 于于E E，BFCDBFCD于于F F，求证：，求证：CECEDFDF。 M F E A B D C O 画图叙述垂径定理，并说出画图叙述垂径定理，并说出 定理的题设和结论。定理的题设和结论。 题设题设 结论结论 直线直线CD经过圆心经过圆心O 直线直线CD垂直弦垂直弦AB 直线直线CD平分弦平分弦AB 直线直线CD平分弧平分弧ACB 直线直线CD平分弧平分弧AB 想一想：如果将题设和想一想：如果将题设和 结论中的结论中的5 5个条件适当互个条件适当互 换，情况会怎样？换，情况会怎样？ O B CD A E （1）平分弦平分弦（不是

6、直径）（不是直径）的直径的直径垂直垂直 于弦于弦，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧； （2 2）弦的垂直平分线弦的垂直平分线经过圆心经过圆心，并且，并且 平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧； （3 3）平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径，垂垂 直平分弦直平分弦并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。 O B CD A E 如图如图，CD为为 O的直径的直径，ABCD，EFCD， 你能得到什么结论？你能得到什么结论？ 圆的两条圆的两条平行弦平行弦所夹的弧相等所夹的弧相等。 F O B A E C D 1、填空：如图，在填空：如图，在 O中中 （1）若若MN

7、AB，MN为直径；则为直径；则 （ ），（），（ ），（），（ ）；）； （2）若若ACBC，MN为直径为直径；AB不是直径，则不是直径，则 （ ），（），（ ），（），（ ）；）； （3）若若MNAB，ACBC，则则 （ ），（），（ ），（），（ ）；）； （4）若弧若弧AM弧弧BM，MN为直径，则为直径，则 （ ），（），（ ），（），（ ）。）。 C O B A M N 2、平分已知弧。、平分已知弧。 3、四等分已知弧。、四等分已知弧。 4、已知：、已知： O的半径为的半径为6厘米厘米，弦弦AB与与 半径半径OA的夹角为的夹角为30。 求：弦求：弦AB的长的长。 6、在直径为、在直径为650650毫米毫米 的圆柱形油槽内装入的圆柱形油槽内装入 一些油后，截面如图一些油后，截面如图 所示。若油面宽所示。若油面宽AB 600毫米毫米，求油的最求油的最 大深度。大深度。 5、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱多年前，我国隋代建造的赵州石拱 桥的桥拱是圆弧形，它的桥的桥拱