信息与通信能量原理及其应用理想磁流体IMHD不稳定性

1、1 不稳定性现象 一个力学系统当处在力学平衡状态(总的受力 为零)时,如受到一个小扰动力的作用、就会偏 离平衡态. 系统在平衡态附近的随时间扰动一般分成三种 情况 -扰动幅度随时间而减小,即阻尼的扰动; -扰动辐度不随时间变化,即稳定的波动; -扰动的辐度随时间而增大,即不稳定的扰动, 或称不稳定性. 2 不稳定性起因 对处在力学平衡下系统的小扰动会使系统的 总能产生小的变化. 如果扰动使系统总能增加,则扰动能就会转变成系统 的总能.这样扰动辐度就随时间而减少.这就是阻尼 的扰动. 在稳定的扰动波动情况下,扰动不改变平衡系统的 总能量. 在不稳定的扰动下,系统会进入总能更低的状 态,从而把一部

2、份能量转给了扰动、使它随时 间而增长.这部份可以交给扰动的能量被称为 自由能. 3 等离体不稳定性分类(1) 宏观(流体)的不稳定性(3维坐标空间) -磁(单)流体不稳定性 -理想的磁流体(Ideal MHD)不稳定性 -电阻(耗散)的磁流体不稳定性 -电磁(双)流体不稳定性 n微观(动理学)的不稳定性(3维坐标空间+3维速 度空间) 4 等离体不稳定性分类(2) 按扰动的极化极化性质分类 -静电型; -电磁型; -静电-电磁混合型. n按不稳定扰动随时间变化特征随时间变化特征分类 -线性不稳定的扰动(A=A0 +A1, A10，扰动不稳定 (expIt); 当I0，扰动衰减; 当I0，扰动是

3、稳定的波. -部分(等离体参量均匀)空间可作Fourier变换,全空间的微分方 程变成剩余坐标的约化微分方程,由其解和边界(或连接)条件得 出色散关系; -微分方程存在奇异性,由奇点处的非平凡解存在条件得出色散 关系. 能量原理能量原理(仅对IMHD系统适用) 初值初值(初始扰动的时间演化)问题 6 Tokamak中主要的磁流体不稳定性 IMHD不稳定性 -外kink (扭曲)模 -内kink (扭曲)模 -Exchange (交换)模, 特别是Ballooning(气泡)模 电阻MHD不稳定性 -Tearing(撕裂)模, - Neo-classical Tearing Mode (NTM)

4、 介于IMHD和耗散MHD之中的模 -RWM (Resistance Wall Mode, 电阻壁)模 7 MHD不稳定性从两个方面不稳定性从两个方面 决定了决定了tokamak等离体的等离体的 运行性能和极限运行性能和极限 8 对对Tokamak运行性能的运行性能的第一类限制第一类限制 MHD不稳定性决定了tokamak可达到的 -最大plasma电流电流, -最大plasma压强压强()及其梯度, -并在决定plasma的最大密度密度上起重要作用. n这样,在决定反应堆水平tokamak基本设计和plasma 性能的三个关键物理基石: 极限极限、密度极限密度极限和能量能量 约束时间约束时间

5、中,有二个和MHD不稳定性有关. n而上述三个物理量综合起来决定了 -可以产生的聚变功率: Pfusion -聚变功率增益: Q=Pfusion/Pauxilary -中子在壁上的负荷 9 对对Tokamak运行性能的运行性能的第二类限制第二类限制 至今已知道:有一些破裂是在任何反应堆尺度 的Burning plasmas中都会不可避免地出现的. 而破裂决定了tokamak某些结构和元件尤 其是那些与plasma功率和粒子排出有关的元 件-的使用寿命. 而这些破裂是这些破裂是MHD不稳定性的直接或最后结不稳定性的直接或最后结 果果.为了减少破裂出现的次数,以及在它不可避 免出现时、减缓或软化它

6、的后果,必须通过对 引发破裂的MHD不稳定性有深入和定量的了 解. 10 ITER中重要的中重要的IMHD不稳定模式不稳定模式 锯齿(Sautooth)模 -内kink模,在正磁剪切正磁剪切下产生NTMs的种子磁岛,结果 设置了N极限值,并使能量约束变坏. 电阻壁模(RWMResistance Wall Mode) -自举电流驱动的外kink模,对具有反反(负负)磁剪切磁剪切的等 离体设置了N极限值. 局域的内MHD模 -存在于具有内部输运垒内部输运垒(ITB)的高性能等离体中,限 制了稳态运行范围. 11 准备知识准备知识 -扰动位移矢量的IMHD线性方程 -F算子算子、其自伴性和相应的哈密

7、顿量H -变分原理、能量原理 一维位形一维位形下的IMHD不稳定模式分析 直柱直柱tokamak位形位形中的IMHD不稳定性分析 12 参考文献参考文献 Progress in the ITER Physics Basis, Nuclear Fusion 47(June, 2007)Chapter 3. ITER Physics Basis, Nuclear Fusion 39(1999)2137-2664. 胡希伟, 等离子体理论基础, 北京大学出版北京大学出版 社社, 2006, 第四章. J. Wesson, Tokamaks, Second Edition, Clarendon Pre

8、ss Oxford, 1997,Chapter 6. 13 IMHD能量原理准备知识能量原理准备知识 14 能量原理的原理能量原理的原理 15 IMHD方程和总能量 16 线性化磁流体方程组 从磁流体力学方程组出发从磁流体力学方程组出发,取平衡解为取平衡解为: 然后令然后令: 17 引入位移矢量以直接积分二个方程引入位移矢量以直接积分二个方程 18 位移矢量位移矢量的运动方程,力算子 F 19 总能量守恒与算子总能量守恒与算子 自伴自伴 20 位移矢量位移矢量的初值和简正模解 21 IMHD本征模的三个特点本征模的三个特点 令 , 由F的自伴性可以证明: (1)2 为实数, 为正负实数或纯虚数

9、. (2) 满足运动方程 -20=F() 的是实矢量, (3)若有分立谱本征值n (n=1,2,),则所对应 的本征矢n 构成正交集. -n20n=F(n) ( ) i t te 22 F 算子自伴性的证明算子自伴性的证明 在等离子体理论基础等离子体理论基础 的第四章中, 对两 种情况证明了F算子的自伴性。同时也给出了同时也给出了 扰动位势扰动位势W（，）的具体表达式）的具体表达式： -无界磁流体, -柱形，有界（r=a）磁流体. 23 无限大无限大磁流体力学体系的扰动位能 24 25 力算子力算子 F 自伴性的证明自伴性的证明 26 自伴性的最后证明自伴性的最后证明 因为 ,而又能证明 ,

10、27 自伴性的最后证明自伴性的最后证明(续续) 28 柱形磁流体力学体系柱形磁流体力学体系 其中 是磁流体体积中的扰动位能.而后两项分别是柱 面的扰动位能和柱外真空中的扰动位能 29 磁流体内扰动位能的磁流体内扰动位能的第第种种表达式表达式 这是物理意义最清楚的一种表达式 其中第第1项项对应于弯曲磁力线的扰动(如剪切Alfven波); 第第2项项出自同 时压缩了流体和磁场的扰动 (如压缩Alfven波); 第第3项项则代表单独压 缩流体的扰动(如离子声波);这三种扰动都引起势能增加,是致稳项. 第第4项项是平行电流所驱动平行电流所驱动的不稳定扰动(Kink mode); 第第5项项是由压强梯度

11、和磁场曲率联合产生由压强梯度和磁场曲率联合产生的扰动,由于 0,当 0(坏曲率)时,这项为负、会驱动不稳定 扰动(Interchange mode). 在整个扰动势能中只有这后 两项是解(致)稳项. 30 磁流体内扰动位能的磁流体内扰动位能的第第种种表达式表达式 这种表达式在推导Screw(螺旋)Pinch及直柱 tokamak等离体中扰动位能表达式时特别方 便. 31 变分原理变分原理 32 能量原理能量原理 33 如何挑选合适的如何挑选合适的来极小化来极小化WF 34 首先选取合适的| 来极小化来极小化WF 35 36 W 取极小与不可压缩性 取极小与不可压缩性 37 38 IMHD不稳定

12、性分类不稳定性分类 39 40 External Kink Mode 41 Internal Kink Mode 42 Interchange Mode 43 Ballooning Mode 44 45 一维位形下的IMHD不稳定性 -Pinch Z-Pinch Screw Pinch及其定域内模的Suydam 判据 46 -Pinch 47 48 49 50 Z-Pinch 51 52 53 54 55 56 57 Screw Pinch 58 59 极小化极小化WF (1): (1):检验不可压缩性检验不可压缩性 60 极小化极小化WF (2): (2):对对取极值取极值 61 62 引入

13、环向波数 n = -kR0 63 原始表面原始表面Ws 64 真空真空Wv 65 66 Screw Pinch WF的最后表达式的最后表达式 67 从从WF 表达式可得的一般性结论表达式可得的一般性结论 68 定域内模的定域内模的Suydam判据判据 69 直柱直柱tokamak的IMHD不稳定模不稳定模 70 直柱马克的直柱马克的W 表达式表达式 71 72 直柱马克典型的直柱马克典型的IMHD模式模式 定域定域(在有理面附近)的内交换模内交换模Mercier 判据 非定域的内非定域的内(kink, interchange)模模 - m=0 和 m2的内模总是稳定的 - m=1, n=1的内

14、模在q(0)1稳定充分条件稳定充分条件 75 非定域内模非定域内模，m 2 情况情况 76 m = 0 非定域内模总是稳定的非定域内模总是稳定的 77 m = 1, n = 1/q(rs)共振面共振面等离体中等离体中 78 m = 1, n = 1/q(rs)共振面共振面等离体中等离体中 79 80 反剪切反剪切 q(r) 位形下的位形下的m = 1内模内模 81 ITER Design Scenario 4中的反剪切位形中的反剪切位形 82 外扭曲模的物理机制和扰动位能外扭曲模的物理机制和扰动位能 83 外扭曲模的扰动位能外扭曲模的扰动位能, m=1 模模 84 m = 1 外扭曲模的稳定条

15、件外扭曲模的稳定条件 85 m 2 的外扭曲模的外扭曲模 86 m 2模的稳定条件与电流分布有关模的稳定条件与电流分布有关 87 均匀电流剖面下的稳定判据均匀电流剖面下的稳定判据 88 89 90 91 92 环形环形tokamak中的中的 新新IMHD不稳定模不稳定模 Ballooning Mode(气泡模) 由压强梯度驱动的,位于tokamak外侧(坏曲率 区)的非常局域的不稳定模式对的限制的限制 Vertical instabilities (轴对称模) 垂直不稳定垂直位移事件(Vertical Displacement Events - VDEs) 破裂破裂 93 气泡模的机制气泡模的

16、机制 94 95 96 气泡模给出的气泡模给出的 limit 或用tokamak运行参量写成: 但实际上决定极限的不稳定模式还很多.目前公认的极限是 其中其中g被称为被称为Troyon因子因子, 当当g=2.8时时,相应的相应的% 值被称为值被称为 Troyon极限极限.(详见详见:Wesson,Tokamaks, 6.16) 2 1I aB % ,(). / N gI MA I aB 97 描述Sawtooth的扰动势能 W = WMHD +WKO + Wfast WKO: Kruskal-Oberman项, 代表无碰撞热约束离子效应. WMHD F. Porcelli et al. 1996 Plasm