(完整版)专升本高数公式大全[1]

1、导数公式:(tgx) sec x(ctgx)esc2 x(secx) seex tgx (esex)cscx ctgx(ax) ax lna(log ax) xl na基本积分表：tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Ccscxdx In cscx ctgx C高等数学公式(arcsin x) (arccos x) (arctgx)(arcctgx)111 x211 x2dx2 .2sec xdxtgx Ccos xdx2 2csc xdxctgx Csin xsecx tgxdx secxCdx2x2丄 InU C2a a

2、xchxdx shx Ccscx ctgxdx cscx Cxx a axdxCIn ashxdx chx Cdx、a2arcsdx.x2 a222In( x x a ) C22n4 nn11nsinxdxcosxdx1 n 200n2Jx22 adxx : 2 x2 aaIn(xJ x2 a2)C222Jx22 adx2 aaInx；2 2 V x aC22222dxx : 22ax -vaxvaxarcsin-C22a2 u三角函数的有理式积分:usin x 2, cosx1 u1 u2，u tg-, dx 221 uxxe e2shx exx echx exx21)x21)x esinx

3、lim1x 0 x1 x lim(1 -)x x xe 2.718281828459045双曲正弦：shx 双曲余弦：chx 双曲正切:thx arshx In (xarchx In (xarthxllnl x2 1三角函数公式:诱导公式：sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtg、ctgctg1ctg()ctgctg-和差角公式:sinsin2si ncos22sinsin2 cossin22-和差化积公式:cos cos 2 cos cos2 2coscos2 si nsin22函数角Asincostgctg-a-sin acos a

4、-tg a-ctg a90 acos asin actg atg a90 acos a-sin a-ctg a-tg a180 asin a-cos a-tg a-ctg a180 a-sin a-cos atg actg a270 a-cos a-sin actg atg a270 a-cos asin a-ctg a-tg a360 a-sin acos a-tg a-ctg a360 asin acos atg actg asin 2cos22sin cos2 22 cos1 1 2s in2 cosctg2ctg212ctgtg22tg21 tg倍角公式:-半角公式:.2 sinsin

5、33si n4si n33cos3 4cos 3costg33tg tg321 3tg2：1 cos sin 22)1 costg 2, 1 cos1 cos sinsin 1 coscos21cosX2ctg-1cos1 cos1cossinsin1 cos-正弦定理:asin Absin Bsin C2R-余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC-反三角函数性质：arcsin x arccosx2arctgx arcctgx2)公式:(uv)(n)n即 k)v(k)k 0(n)(n 1)n(n 1) (n 2)u Vnu vuv2!高阶导数公式莱布尼兹(Leib niz中值定理与导数应用

6、：拉格朗日中值定理：f(b) f(a)n(n 1) (n k 1)紆化) u v k!f ( )(b a)UV(n)柯西中值定理：丄包血丄F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式：ds 1 y 2dx,其中y tg平均曲率：K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；s： MM弧长。M点的曲率：Klim0d y_ds J(1 y2)3直线：K 0;半径为a的圆：K丄.定积分的近似计算:b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)ab a, (yo yi nb a 1 z 、 (y。 yn) n 2yn 1)yiyn ib抛物线法：f (x)

7、a(yoyn)2(y2y4yn 2)4(yi y3yn i)定积分应用相关公式:功：W F s水压力：F p A引力：F kmimP2,k为引力系数rf(x)dx均方根：.1f2(t)dt函数的平均值：yb a空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d M1M2 向量在轴上的投影：PrjuAB.(X2 xj2 (y2 如)2 (Z2 乙)2 AB cos ,是AB与u轴的夹角。Pr ju(a1 a?) Pr ja1 Pr ja2a b cosaxbxay byazbz，是一个数量，两向量之间的夹角:cosaxbx2 2axayayby azbaz2.bx2z2by2bzcabaxbxaybya

8、zbza b sin.例:线速度:向量的混合积:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzb I c cos ,为锐角时,代表平行六面体的体积 。平面的方程:1、点法式：A(x x0) B( y y0) C(z 般方程：Ax By3、截距世方程：-ya b2、Cz D 0zo) o,其中 n A, B,C, Mo(xo,yo,zo)平面外任意一点到该平面的距离:Axo By。Czo DA2 B2 C2Xo空间直线的方程:x XomyyonZoPt,其中s m, n, p;参数方程:yomtntZopt二次曲面:1、2、3、222xyz2.22abc22xyz,(|：2p2q222

9、:xyz： 2 22abc222:xyz： 2.22abc椭球面:1抛物面:双曲面:11(马鞍面)单叶双曲面双叶双曲面多元函数微分法及应用全微分：dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz多元复合函数的求导法：du dx dy dzx y zfx(x,y) x fy(x,y) yz fu(x,y),v(x,y)zxz uuzxvvx当u u(x,y), v v(x, y)时，du dx dydvdxdyxyxy隐函数的求导公式：隐函数F(x,y) 0,dyFx,d2y.2-(fx)+(dxFydxxFy隐函数 F(x,y,z) 0,zF,zFyxFzyFzz fu(t),v(t)Fx)

10、 dy Fy) dxdz z u z v dt u t v tFF隐函数方程组：feuv) 0J(F,G)u飞Fu FvG(x,y,u,v) 0(u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F,G)Xj(x,v)Xj(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)z Zo在点M处的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y yo)(to)(z Zo)0Fy FzGy G zFzFxGz GxFxGx若空间曲线方程为：F(x, y,Z) 0则切向量T G(x,y,z) 0曲面 F (x, y,z) 0 上一点 M(Xo,y,Zo)，则

11、:过此点的法向量：n Fx(Xo, yo,Zo), Fy(x, y, Zo), Fz(x, y,z。)过此点的切平面方程：Fx(Xo,yo,z)(x Xo) Fy(Xo,yo,Zo)(y y)FyGy1、2、Fz(x,y,Zo)(z Zo) O3、x Xoyyoz Zo过此点的法线方程：Fx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo,yo,Zo)(t)在点M(X0,yo,Z0)处的切线方程：益 =方向导数与梯度:函数z f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向I的方向导数为：-cos xsin y其中为x轴到方向I的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x,y)的梯度

12、：gradf(x,y)它与方向导数的关系是： grad f (x,y) e，其中e cos isinj，为l方向上的单位向量。f是gradf (x, y)在l上的投影多元函数的极值及其求法：设fx(xo,y，o)fy(Xo, yo)0,令：fxx(xo,yo) A,fxy(xo, yo) B,fyy(xo,yo) CACB20时，Ao,(xo,yo)为极大值Ao,(xo,yo)为极小值则：ACB20时，无极值ACB20时,不确定重积分及其应用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rdrdDD曲面z f (x, y)的面积A2dxdy平面薄片的重心：x业Mx (x,y)dD

13、(x, y)dD平面薄片的转动惯量： 对于X轴I X平面薄片(位于xoy平面)(x,y)xdFxy2 (x, y)d ,D对z轴上质点M (0,0, a), (a(x, y)ydy (x,y)dD(x, y)dD对于y轴I yo)的引力:3 ?D/222X2(x y a )柱面坐标和球面坐标：FyD /(x y3,a2)2Fzfax2 (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD 2(x3a2)2x r cos柱面坐标：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐标：y r

14、sin sin ，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin drd重心：xx dv,y dv2d0丄M转动惯量:Ix(y2z2)dv,Iy(x2z2)曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)设f (x, y)在L上连续,L的参数方程为:(t)f(x,y)ds f (t),L(t).2(t)2(t)dtr(,)F(r,0)r2 sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2) dv),则:特殊情况:y (t)第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为y(;),则:P(x,y)dx Q(x,y)

15、dyL两类曲线积分之间的关P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLL上积分起止点处切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy - Pdxd x yl当Py,Q x,即：卫2时，x y平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是一个单连通区域；Qdy(Pcos QcosLQdy格林公式：(-QD X得到D的面积：A)ds其中和分别为P)dxdy ydxdyD:Pdx QdyLxdy ydx2lQP2、P(x,y), Q(x,y)在 G内具有一阶连续偏导数,且-Q二上。注意奇点，如(0,0)，应xy减去对此奇点的积分，注意方向相反! 二元函数的全微分求积：Q P在一=一

16、时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中：x y(x,y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y00(xo,yo)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y) 1 z；(x,y) z：(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z) dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；DxyP(x, y, z) dydzPx(y,z), y,zdyd乙取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)

17、dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:Rcos )dsdiv 0,则为消失PQR()dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcosxyz高斯公式的物理意义通量与散度：散度：div ,即：单位体积内所产生 的流体质量，若x y z通量： A ndsAnds(Pcos Qcos Rcos )ds，因此，高斯公式又可写 成： div Adv Ands斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:(RQ)dydz ( P R)dzdx ( QP)dxd

18、y。PdxcosQdycosRdzy zz:xxdxdyycosdydzdzdx上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：RQPRQ Pyzzxx yi旋度：rotA 一 xP向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx Qdy Rdz A tds常数项级数：等比数列：q q2等差数列：2 3调和级数：-1231 qn1 q(n 1)n21是发散的n级数审敛法:1、正项级数的审敛法设： lim n Un，则根植审敛法(柯西判1时，级数收敛1时，级数发散1时，别法)：不确定2、比值审敛法:设： limUnn 1uT，则级数收敛 级数发散1时，1时，1时，不确定3、定义法:S

19、nU1U2Un;lim sn存在，则收敛；否则发 n散。交错级数U1U2U3U4U1 U2 U3,Un 0)的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足UnUn 1.门，那么级数收敛且其和Slim Un 0nUi,其余项rn的绝对值rnUn 1。绝对收敛与条件收敛:(1)U1 U2U1如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数; 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1发散，而n丄收敛；n1 /pn p . pU2U3Un，其中un为任意实数;Un调和级数:级数:1时发散1时收敛幕级数:1 x x21时，收敛于 -1 X发散1时,对于级数(3)a0ax2a?x数轴上都收

20、敛，则必存anXx在R,使 xx，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全 R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时,求收敛半径的方法：设limnan 1an，其中an， an 1是(3)的系数，则0时，时，R 0函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数:f(x)f(X0)(X X0)-(x X0)22!(n),f (x0)(x X0)nn!余项：Rn：(n 0()x0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R, 0x0时即为麦克劳林公式:f(x) f(0) f (0)x2!f (n)(0) nXn!些函数展开成幕级数:(1 x)m1 mx2!m(m 1) (m n 1)

21、nXn!1 x 1)sinx x3X3!5X5!1)n2n 11(2n 1)!欧拉公式:ixe cosxi si nxcosx或sin xix e三角级数:f(t) A。ixe2ixixe e2A sin( nn 1aA，anAn sin n，S其中，正交性：1,sin x, cosx, sin 2x,cos2x 上的积分=0。傅立叶级数：a(an cosnxn 1An COs n， sin nx,cosnxbn sin nx)X。t任意两个不同项的乘积 在f(x)a。(an cosnx bnsinnx), 周期 2anf(x)cosnxdx(n 0,1,2其中bnf (x)sinnxdx(n

22、 1,2,31丄321 122421221歹1321孑2(相加)62一(相减)12正弦级数:an0, bnf (x)sin nxdx1,2,3f (x)bn sin nx是奇函数余弦级数:bn0, anf(x)cosnxdx00,1,2f(x)ao2an cos nx是偶函数周期为21的周期函数的傅立叶级数:an其中bn/n(an cos1lxbn.n sin -lx)，周期nxf (x) cosdx l(n0,1,2 )f (x)sin-dx(n1,2,3 )ao2ln1l r i1l11f(x)2微分方程的相关概念:或 P(x,y)dx一阶微分方程：y f (x, y)可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy得：G(y) F(x) C称为隐式通解。Q(x,y)dyf(x)dx的形式，解法:g(y)dy f (x)dx齐次方程：一阶微分方程可以写成dydxf(x,y