概率论与数理统计课件第五章 二维随机变量及其分布

1、第五章二维随机变量及其分布第五章二维随机变量及其分布 第一节二维随机变量及其分布函数第一节二维随机变量及其分布函数 第二节二维离散型随机变量第二节二维离散型随机变量 第三节二维连续型随机变量第三节二维连续型随机变量 第四节边缘分布第四节边缘分布 第五节随机变量的独立性第五节随机变量的独立性 第一节二维随机变量及其分布函数第一节二维随机变量及其分布函数 一、二维随机变量一、二维随机变量 如果由两个变量所组成的有序数组如果由两个变量所组成的有序数组 （），它的取值是随着试验结果而），它的取值是随着试验结果而 确定的，则称（确定的，则称（）为二维随机变量，）为二维随机变量， 称（称（）的取值规律为二

2、维分布。）的取值规律为二维分布。 二维随机变量的分布函二维随机变量的分布函 数数 二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数 设设( () )是二维随机变量，是二维随机变量，( () ) r r2 2, , 则称则称f(x,y)=pf(x,y)=p x,x, yy为为( () )的的分分 布函数布函数，或，或与与的的联合分布函数联合分布函数。 分布函数的性质分布函数的性质 三、分布函数的性质三、分布函数的性质 （1 1）对于任意）对于任意x,y x,y r r，有有00f(x,y)1f(x,y)1。 （2 2）f(x,y)f(x,y)关于关于x x（或或y y）单调不减。单调不减。

3、（3 3）f(x,y)f(x,y)关于关于x x（或或y y）右连续。右连续。 （4 4）f(-,-)f(-,-)0 0，f(+,+)f(+,+)1 1 f(-,y) f(-,y)0 0，f(x,-)f(x,-)0 0 （5 5）对于任意）对于任意x x1 1xx2 2，y y1 1yy2 2有有 p(xp(x1 1xx2 2,y,y1 1 yy2 2) ) =f( =f(x x2 2, ,y y2 2)- f()- f(x x2 2, ,y y1 1)- f()- f(x x1 1, ,y y2 2)+ f()+ f(x x1 1, ,y y1 1) )例题 例题1 1 例题例题1 1 设设

4、()的联合分布函数为的联合分布函数为 f(x,y)=a(b+f(x,y)=a(b+arctanxarctanx)(c+)(c+arctanyarctany) )，其中其中 x,yx,y r r。求常数求常数a a，b b，c c。 解：解： backback )arctan)(arctan(lim),(limycxbayxf y x y x 1) 2 )( 2 ( cba )arctan)(arctan(lim),(limycxbayxf xx 0)arctan)( 2 (ycba )arctan)(arctan(lim),(limycxbayxf yy 0) 2 )(arctan( cxba

5、 2 1 22 acb 第二节二维离散型随机变量第二节二维离散型随机变量 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 如果二维随机变量如果二维随机变量( () )所有可能取所有可能取 的数组是有限或可列的，并且以确定的概的数组是有限或可列的，并且以确定的概 率取各个不同的数组，则称率取各个不同的数组，则称( () )为二元为二元 离散型随机变量。离散型随机变量。 ( () )分布律分布律 ( () )的联合分布律的联合分布律 y1yj x1p11p1j xipi1pij 设设( () )的所有可能取值为的所有可能取值为( (x xi i, ,y yj j) )， 其中其中i,j=1,2,i,j=1,

6、2,称称 为为( ()的的联合概率分布联合概率分布，也简称，也简称概率分布概率分布。 （1 1）00p pij ij1 1 （2 2）i ij j p pijij=1 =1 , 2 , 1,),(jipyxp ijji 例题例题2 2 例题例题2 2 一口袋中有三个球，它们依次标有数字一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,21,2,2。 从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一 球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。 以以,分别记第一次和第二次取得的球上标有的数分别记第一次和第二次取得

7、的球上标有的数 字。字。 求（求（1 1）( (,),)的分布律的分布律 （2 2）p p( () 解解: (1): (1) backback 1/31/32 1/301 21 p p( (=1,=1)=1,=1)= p p( (=1,=2)=1,=2)= p(=1)p(=1|=1)=0p(=1)p(=1|=1)=0 p(=1)p(=2|=1)=1/3p(=1)p(=2|=1)=1/3 。 例题例题2 2 一口袋中有三个球，它们依次标有数字一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,21,2,2。 从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一 球。

8、设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。球。设每次取球时，袋中各球被取到的可能性相同。 以以,分别记第一次和第二次取得的球上标有的数分别记第一次和第二次取得的球上标有的数 字。字。 求（求（1 1）( (,),)的分布律的分布律 （2 2）p p( () 解解: (2): (2) backback 1/31/32 1/301 21 p p( () =p=p( (=1,=1)+p=1,=1)+p( (=2,=1)+ p=2,=1)+ p( (=2,=2) =2/3=2,=2) =2/3 第三节二维连续型随机变量第三节二维连续型随机变量 一、二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量 设设( ()

9、 )的分布函数为的分布函数为f(x ,y),f(x ,y),若存在非负可若存在非负可 积函数积函数f(x,y)f(x,y)，使得对于任意实数使得对于任意实数 x,yx,y 有有 则称则称( () )为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f(x,y) f(x,y) 为为( () )的的联合概率密度函数联合概率密度函数（联合密度函数联合密度函数) ) 。 xy dvduvufyxf),(),( 联合密度函数性质联合密度函数性质 二、联合密度函数性质二、联合密度函数性质 ),( ),(f ),(),()4( ),(),()3( 1),()2( 0),() 1 ( 2 yxf yx yx yxfy

10、xf dxdyyxfdp dxdyyxf yxf d 的边续点处有为连续函数，且在 例题例题3 3 例题例题3 3 1.1.设设( () )的联合概率密度为的联合概率密度为 求（求（1 1）常数）常数c c （2 2）p p( () 解：（解：（1 1） 其它0 0, 0 ),( )42( yxce yxf yx 例题例题3 3续续 dxdyyxf),( 00 )42( dxdyce yx 1 8 00 42 c dyecedx yx c=8c=8 例题例题3 3 1.1.设设( () )的联合概率密度为的联合概率密度为 求（求（1 1）常数）常数c c （2 2）p p( () 解：（解：（

11、2 2） 其它0 0, 0 ),( )42( yxce yxf yx 例题例题3 3续续 yx dxdyyxfp),()( 00 )42( 8 x yx dyedx dxee xyx 0 0 42 4 1 8 3/222 0 6 0 2 dxedxe xx 例题例题3 3续续 2.2.设设( (，)的联合概率密度为的联合概率密度为 求（求（1 1）常数）常数k k 解解（1 1） 其他, 0 , 10 ,0, ),( yyxkxy yxf y = x 1 0 x y 10,0),(yyxyxd 1),( dxdyyxf 1 82 1 0 2 1 00 k dy y yk kxydxdykxyd

12、xdy y d 8k (2) ) 1(p x+y=1 y = x 1 0 x y 0.5 x+y=1 y = x 1 0 x y 1 5 . 01 1 8 8 y y yx xydxdy xydxdy . 6/ 5 y = x 1 0 x y 0.5 )5 . 0( p 5 . 0 0 1 5 . 0 8 8 x x xydydx xydxdy .16/7 （3 3）f(x,y)=p(f(x,y)=p(x,x,y)y) 42 0 1 422 0 4 0 28),(1) 28),(1) 8),(0) 0),(0) 10)2 xxxydydxyxfyiv xyxxydydxyxfyxiii yxy

13、dydxyxfxyii yxfyi x x x xy x yy x 若 0),(, 0) 1yxfx若 1),(1) 8),(10) 0),(0) 1)3 4 0 yxfyiii yxydydxyxfyii yxfyi x yy x 若 f (x,y) = 0, x 0 或 y 0 y4 , 0 x 1, 0 y x ， 或x 1, 0 y 1， 2x2y2y4, 0 x 1, x y 1， 2x2x4 , 0 x 0，-1p(2 2 ) ) （3 3）( () ) 在平面上的落点到在平面上的落点到y y 轴距离小于轴距离小于0.30.3的的 概率。概率。 解解：（：（1 1） backbac

14、k 其他, 0 10 ,0, 2 ),( xxy yxf 例题例题4 4 ( ()u(g)u(g)，g=0yxg=0yx，0 x 1 0 x 1 求（求（1 1）f( x, y )f( x, y ) （2 2）p(p(2 2 ) ) （3 3）( () ) 在平面上的落点到在平面上的落点到y y 轴距离小于轴距离小于0.30.3的的 概率。概率。 解解：（：（2 2） backback y=x 1 0 x y 1 g y = x2 1 0 2 2 2 2 x x xy dydx dxdy . 3/ 1 )( 2 p 例题例题4 4 ( ()u(g)u(g)，g=0yxg=0yx，0 x 1 0

15、 x 1 求（求（1 1）f( x, y )f( x, y ) （2 2）p(p(2 2 ) ) （3 3）( () ) 在平面上的落点到在平面上的落点到y y 轴距离小于轴距离小于0.30.3的的 概率。概率。 解解：（：（3 3） backback 3 . 03 . 0 2 ) 3 . 03 . 0() 3 . 0|(| x dxdy pp 09. 0 2/1 )3 . 0( 2 1 2 y = x 1 0 x y 1 0.3 第四节边缘分布第四节边缘分布 一、边缘分布函数一、边缘分布函数 设设f(x,y)f(x,y)为为( ()的联合分布函数，的联合分布函数， 关于关于的边缘分布函数的边

16、缘分布函数 p p( (x)=px)=p( (x,+)=fx,+)=f (x), (x),其中其中x xr r 关于关于的边缘分布函数的边缘分布函数 p p( (y)=py)=p( (+,y)=f+,y)=f (y), (y),其中其中y yr r 例题例题5 5 ),(limyxf y ),(limyxf x 例题例题5 5 设设( ()的联合分布函数为的联合分布函数为 求求f f (x) (x)和和f f (y) (y)。 解：解： )arctan 2 )(arctan 2 ( 1 ),( 2 yxyxf 边缘分布律边缘分布律 )()(xpxf ),(xp ),(limyxp y xxyx

17、f y )arctan 2 ( 1 ),(lim yyyxf x )arctan 2 ( 1 ),(lim 同理 二、（离散型）边缘分布律二、（离散型）边缘分布律 设设( ()的联合分布律为的联合分布律为 p p( (=x xi i,=,=y yj j)=)=p pij ij（ （i,j=1,2,i,j=1,2,） 关于关于的边缘分布律的边缘分布律 p p( (=x xi i)= p)= p( (=x xi i,+)=,+)=j jp pij ij =p =pi. i. 关于关于的边缘分布律的边缘分布律 p p( (=y yj j)= p)= p( (+,=+,=y yj j)=)=i ip

18、pij ij =p =p.j .j 例题例题6 6 例题例题6 6 箱子装有箱子装有1010件产品，其中件产品，其中2 2件为次品。每次从中任取一件产品件为次品。每次从中任取一件产品 （不放回），共取（不放回），共取2 2次。次。 求（求（1 1）( ()的联合分布律的联合分布律 （2 2）关于）关于的边缘分布律的边缘分布律 解：解： （1 1） 第二次取出次品 第二次取出正品 第一次取出次品 第一次取出正品 1 0 1 0 1p.j 1 0 pi.10 9 7 10 8 9 2 10 8 10 8 9 8 10 2 9 1 10 2 10 2 10 8 10 2 例题例题6 6 箱子装有箱子

19、装有1010件产品，其中件产品，其中2 2件为次品。每次从中任取一件件为次品。每次从中任取一件 产品（不放回），共取产品（不放回），共取2 2次。次。 求（求（1 1）( ()的联合分布律的联合分布律 （2 2）关于）关于的边缘分布律的边缘分布律 解解: (2): (2) 第二次取出次品 第二次取出正品 第一次取出次品 第一次取出正品 1 0 1 0 边缘密度函数边缘密度函数 01 p 8/10 2/10 三、（连续型）边缘密度函数三、（连续型）边缘密度函数 设设( () )的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)f(x,y)， 关于关于的边缘分布函数的边缘分布函数 关于关于的边缘密度函数

20、的边缘密度函数 )(),( ),()( rxdxdyyxf xpxf x )(),()(rxdyyxfxf 例题例题7 7 例题例题7 7 1.(1.()u(g)u(g) ，g g0 x1,|y|x,0 x1,|y|x, 求（求（1 1）f(x,y)f(x,y) （2 2）f f (x) (x) （3 3）f f (y) (y) 解：（解：（1 1） backback 其他0 |101 ),( xyx yxf 例题例题7 7 1.(1.()u(g)u(g) ，g g0 x1,|y|x,0 x1,|y|x, 求（求（1 1）f(x,y)f(x,y) （2 2）f f (x) (x) （3 3）f

21、 f (y) (y) 解：（解：（2 2） backback dyyxfxf),()( 其他 其他 0 102 0 101xxxdy x x 例题例题7 7 1.(1.()u(g)u(g) ，g g0 x1,|y|x,0 x1,|y|x, 求（求（1 1）f(x,y)f(x,y) （2 2）f f (x) (x) （3 3）f f (y) (y) 解：（解：（3 3） backback dxyxfyf),()( 其他 其他 0 011 101 0 011 101 1 1 yy yy ydx ydx y y 例题例题7 7 2. 2. () n(1,2,12,22; )， 则（1 1）f f (

22、x) (x) n(1,12) （2 2）f f (y (y） n(2,22) 解：略 backback 一、随机变量的独立性（二维）一、随机变量的独立性（二维） r.v.r.v.，如果对于任意的如果对于任意的x x和和y y， p p( (x,y)=px,y)=p( (xx）p p（y)y)，即，即， f(x,y)=ff(x,y)=f (x)f (x)f (y) (y)，则称则称和和独立。独立。 离散型：离散型：和和独立独立p pij ij=p =pi i p pj j(i,j=1, (i,j=1,) ) 连续型：连续型：和和独立独立f(x,y)= f(x,y)= f f (x)f (x)f (y) (y) 例题例题8 8 第五节随机变量的独立性第五节随机变量的独立性 例题例题8 8 1.1.（）的联合分布律的联合分布律 证明证明与与独立。独立。 证明： -102 02/201/202/20 12/201/202/20 24/202/204/20 012 p1/4 1/4 2/4 -102 p2/5 1/5 2/5 因为pij=pi.*p.j，所以与与独立独立 例题例题8 8续续 2.2.（）的联合分布函数为的联合分布函数为 证明证明与与独立。独立。 证明：证明： )arctan 2 )(arctan 2 ( 1 ),(