【2019年整理】第三章中值定理与导数的应用综合练习参考答案

1、第三章中值定理与导数的应用一、是非题1函数 科仝 1.在区间1 ,1上满足罗尔中值定理条件的是(V )2方程X5 -5x 1-0在-1,1内有且仅有一个实根(V )3. 若对任意x三a,b，有x = g x，则对任意x三a,b，有f x = g x ,(x )4. lim Sin x 是未定型。.(x )x5.在罗比塔法则中，lim 匸凶 =A是lim 丄血 =a的充要条件( x )xTx。g (x)xTx。g (x)6.因x sin x 十*亠 lim不存在.x ：x sin xlimX-sinxM.cosx 不存在，所以xi x sin x x i . cosx7.limJim丫一) “i

2、m 空上x 1 x .函数f(X)满足拉格朗日中值定理条件的区间是(A )2x(A) 1 , 2;(B ) 2,2 ;(C) 2 ,0;(D) 0,1.3. 函数 f x =3x5 -5x3在 R上有(C )A. 四个极值点；B.三个极值点C.二个极值点D . 一个极值点x -1 x 1 (x2 x -1) x 2x 13& 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，贝y f(x)0是f(x)在(a,b)内单调增加的充分必要条件.(x )9. 若x0是f (x)的极值点，则一定有 f (x0) =0.( x )10. 若x是f (x)的一个不可导点，则一定是f (x)的一个极值点.(x )二、选择

3、题1.函数 f(x)=x.3-x 在0,3上满足罗尔中值定理的=(D )3(A ) 0;( B )3;(C) - ；(D)2 .A. f (x 徉 M B. , f(xM C.f(xM D. f(x”M5. 若函数f x在la,b 1上连续，在a,b可导，则（B ）A. 存在三 iO,1,有 f b - f a二 f V ba ba ,B. 存在八 0,1，有 f a 1 - f b二 f a v b-ab -a,C. 存在二 a,b，有 f a - f b = f 上 a-b ,D. 存在匚三a,b , 有 f b - f a= f，a-b。2 . 1x sin-6. 求极限limx时，下列

4、各种解法正确的是（C ）7 sinxA .用洛必塔法则后，求得极限为0,1B. 因为IJm。丄不存在，所以上述极限不存在C.x原式二四融D.因为不能用洛必塔法则，故极限不存在.7 .设函数y =上笃，在 （ C ）1 +xA.叮:：单调增加,B .：；：-匚单调减少,C. -1,1单调增加，其余区间单调减少，D. -1,1单调减少，其余区间单调增加.8.设lim为未定型，贝U lim f . x 存在是g x% 旳 g %limx x)便也存在的g xA .必要条件B.充分条件C .充分必要条件D .既非充分也非必要条件9 .若f x为可导函数,为开区间 a,b内一定点，而且有 f 0 ,一0

5、,则在闭区间a,b 1上必有（D ）A. f x 0B. f x 0 C. f x -010.已知f x在a, b 1上连续，在a,b内可导，且当x a,b时，有f x 0 ,又已知fa ： 0 ,贝U ( D )A f x在a,b 1上单调增加，且f b . 0B. f x在a,b 1上单调减少，且f b :： 0C. f x在a,b 1上单调增加，且f b ： 0D. f x在a,b 上单调增加，但f b正负号无法确定三、填空题1.limX 0In (1x)si nxsi na2. limcosa,x a lim旦xtan3x214. limxcot2x= T2屛即x)xx06 .当x:时

6、,f ( x)和 g(x)r ：且 liml (0 ： l ；:xYg(x)In f (x)则limxr Tn g(x)7.函数 f(x)二arctanx-x在其定义域内为单调减小8.函数f(x)二x cosx在区间0,2二上单调.9.当x = 1时，函数、二 3px q有极值，那么 p =_ 13210.已知函数y=2x -3x ， x= 一时，极大值y =_0_； x =4时，极小值y=二J.四计算题1、求下列极限(1).求 xm0x -ln 1 x2x解:原式0型limxT2x(2).求 lim2sinxcos3xo型2 cos x解：原式 0 lim 2C0Sxx 0 -3sin 3x

7、i(3).求 lim 1x2 xx_卫解：令y.1 x2 1，则 lny 二也工 lim0型讪半x * xx 1 x2=0x原式=e =1(4).求极限 lim xx。x )0 解：令 y 二 xx，贝U ln y = x ln xTim xlnx lim 学三x )0x_ 0 1 x )0原式=e = 12.求函数y = x3 -3x29x 14的单调区间。解: y = 3x26x9 = 3 x 1 x3当 x ： -1 时，y 0，当 一1 ：x ：3 时，y ：0当 x 3 时，y 0故y在?-竿T及3, :单增，在-1,3单减3.求函数y =ln2 xx的单调区间与极值。解：y2 -l

8、n x ln x2令 yO，得 x =1 或 e2.故可疑极值点1, e2.x(01)1(1,e2 )2 e（e2,址）Fy-+-y极小值0极大值$e、2 24求内接于椭圆才令邛，而面积最大的矩形的边长。解：设矩形在第一象限的顶点坐标为x,y，则x = ac o Sy =bs i n故矩形面积为 S =4xy =4absinvcosv - 2absin 2二当 时，S取最大值2ab，4矩形边长分别为2x =：$2a和2y二2a。5.求由y轴上的一个给定点0,b到抛物线x2 =4y上的点的最短距离解：设M*1I答工是抛物线上任一点，则0，b到M的距离为1从而dx1x2 -bU 丿x-bX8 2令

9、d =0，得 x = 0或 x2 = 4b -810.当b：2时，只有一个驻点x = 0 当x : 0时，d、0，从而d单减 当x 0时，d 0，从而d单增故x = 0是d的极小值点，极小值为| b |2.当 b_2 时，有三个驻点 x=0 , - 2.b-2 , 2.b-2当x ： -2 b -2时，d -.0，从而d单减当-2 .b2 ：x ：0时，d 0，从而d单增当0 ：x ： 2 .b2时，d ：0，从而d单减当x2.b-2时，0，从而d单增故Xh2b-2是极小点，极小值为2 b-2五、证明题1 .若x 0，证明ex 1 x证明：令 Fx 二 ex_l_x，则 Fx 二 ex-1当x 0时，Fk0,从而Fx在单增因为F 0 = 0，故F x -0，即卩ex 1 x.2 .设fx在1,21上具有二阶导数f“x，且f2二f1=0，如果 F x = x -1 f x，证明至少存在一点：1,2，使F=0。证明：由题设知F x在1,2 1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点a 1,2， 使得