2016高考导数专题解析

1、1.（2016北京文13分）设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】（）;（）;（III）见解析.（II）当时，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，使得考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点【名师点睛】1证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明2求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值3方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论4高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或

2、求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键2、（2016四川文满分14分）设函数，其中，e=2.718为自然对数的底数.（）讨论f(x)的单调性；（）证明：当x1时，g(x)0；（）确定的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立.【答案】（1）当时，0，单调递增；（2）证明详见解析；（3）.（）的结论，缩小的范围，设=，并设=，通过研究的单调性得时，从而，这样得出不合题意，又时，的极小值点，且，也不合题意，从而，此时考虑得，得此时单调递增，从而有，得出结论试题解析：（I） 0，在内单调递减.由=0，有.当时，0，单调递增.因此在区间单调递增.又

3、因为=0，所以当时，=0，即恒成立.综上，.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明函数不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性本题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到有一定的难度21. （2016四川理满分14分）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a R.（）讨论f(x)的单调性；（）确定a的所有可能取值，

4、使得在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).【答案】（）当时，0，单调递增；（）.试题解析：（I） 0，在内单调递减.由=0，有.此时，当时，0，单调递增.（II）令=，=.则=.而当时，0，所以在区间内单调递增.又由=0，有0，从而当时，0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.综上，考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明函数不等式，一般证明的最小

5、值大于0，为此要研究函数的单调性本题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到有一定的难度（20）（满分天津文14分）设函数，其中（）求的单调区间；（）若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】（）递减区间为，递增区间为，.（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为.当时，存在三个单调区间（）由题意得即，再由化简可得结论（）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究当时，当时，当时，.试题解析

6、：（1）解：由，可得，下面分两种情况讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为.当时，令，解得或.当变化时，、的变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且.（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：当时， ，由（1） 知在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此， 所以.当时，由（1）和（2） 知，所以在区间上的取值范围为，所以考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先

7、)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到（20）（2016天津理满分14分）设函数,，其中(I)求的单调区间；(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】（）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在

8、情况，分类讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为.当时，存在三个单调区间（）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究当时，当时，当时，.试题解析：（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（）证明：因为存在极值点，所以由（）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；（）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下

9、面分三种情况同理：（1）当时，由（）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.（2）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题

10、，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到(20) (2016山东文满分13分)设f(x)=xlnxax2+(2a1)x，aR.()令g(x)=f(x)，求g(x)的单调区间；()已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.【答案】()当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. () .【解析】试题分析：()求导数 可得，从而，讨论当时，当时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间. ()分以下情况讨论：当时，当时，当时，当时，综合即得.试题解析：()由 可得，则，当时，时，函数单调递增；当时，时，函数单调递增， 时，函数

11、单调递减.所以当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. ()由()知，.当时，单调递减.所以当时，单调递减.当时，单调递增.当时，即时，在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，所以当时， 单调递减，不合题意.当时，即 ，当时，单调递增,当时，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面

12、、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.(20) (山东理满分13分)已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.【答案】（）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；（）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.试题解析：（）的定义域为；.当， 时，单调递增；，单调递减.当时，.（1），当或时，单调递增；当时， 单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在

13、内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（）由（）知，时，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.（21）（2016新课标1文满分12分）已知函数 (I)讨论的单调性；(II)若有

14、两个零点,求的取值范围.【答案】见解析(II) 【解析】试题分析：(I)先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为.试题解析： (I)(i)设,则当时,；当时,.所以在单调递减,在单调递增.(ii)设,由得x=1或x=ln(-2a).若,则,所以在单调递增.若,则ln(-2a)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间（21）（本小题满分12分）()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域【答

15、案】（）详见解析；（）.（II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为考点： 函数的单调性、极值与最值.【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念（21）（2016新课标3文满分12分）设函数（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，.【答案】（）当时，单调递增；当时，单调递减；（）见解析；（）见解析试题解析：