行列式的计算方法研究毕业论文

1、行列式的计算方法研究毕业论文 昆 明 学 院 毕业设计论文 设计论文题目 行列式的计算方法研究摘要 在线性代数中行列式是个函数在本质上行列式描述的是在维空间中一个线性变换所形成的平行多面体的体积行列式的概念出现的根源是解线性方程组本论文首先对行列式的计算方法进行总结并对计算方法进行举例其次n阶行列式的计算方法很多除非零元素较少时可利用定义计算按照某一列或某一行展开完全展开式外更多的是利用行列式的性质计算特别要注意观察所求题目的特点灵活选用方法最后值得注意的是在同一个行列式有时会有不同的求解方法这就要根据行列式的特点选择适当的方法了关健词行列式计算 方法 方法举例abstract in line

2、ar algebra the determinant is a functionin essence the determinant dimensional space described in a linear transformationthe formation of parallel polyhedron and volumethe concept of the root of the determinant there is solution of linear equationsthe paper on the summary of the calculation of the d

3、eterminant and the calculation method for examplen-order determinant have many the calculation methodsfewer non-zero elements can be calculated using the definition1in accordance with the start of a column or a row 2full expansion more determinant of the nature of the calculation is to usein particu

4、lar observe the characteristics of the subject requestflexible selection methodit is to be noted that in the same determinant sometimes will have different methods for solving here are some commonly used methods and illustrate with exampleskeywords determinant calculationmotheds illustrate with exam

5、ples目 录前言 1第一章 普遍法求行列式11 利用行列式的定义直接计算212 利用行列式的性质计算213 化为三角形行列式3131 直接化为阶梯型3132 相同去项化上三角形 4第二章 特殊法求行列式21 降阶法按行列展开法 5211 先简后展 5212 按第一行列展开622 递逆推公式法7221 等差数列递推7222一路直推9223 对角递推923 利用范德蒙行列式11231 变形范德蒙行列式11232 系数范德蒙行列式12233利用行列式性质凑范德蒙行列式13第三章 其他方法求行列式31 加边法升阶法143110和字母加边14312 0和1加边1432 数学归纳法 16321 第一数学

6、归纳法 16322 第二数学归纳法 17323 猜测归纳法 1733 拆开法 19331 对角拆开 19332 按行列拆 19参考文献21谢辞22前 言 在线性代数中行列式是一个函数其定义域为的矩阵值域为一个标量写作在本质上行列式描述的是在维空间中一个线性变换所形成的平行多面体的体积行列式无论是在微积分中比如说换元积分法中还是在线性代数中都有重要应用如判断矩阵的可逆性行列式的一个主要应用是解线性方程组当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时方程组不一定总是有唯一解对一个有个方程和个未知数的线性方程组我们研究未知数系数所对应的行列式这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零这也是行列式概

7、念出现的根源 当线性方程组对应的行列式不为零时由克莱姆法则可以直接以行列式的形式写出方程组的解但用克莱姆法则求解计算量巨大因此并没有实际应用价值一般用于理论上的推导行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中行列式被用来确定线性方程组解的个数以及形式随后行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式这反映了行列式作为一个描述体积的函数的本质 若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵与矩阵不同的是矩阵的表示是用中括号而行列式则用线段行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和既是一个实数求每一个积时依次从每一行取

8、一个元因子而这每一个元因子又需取自不同的列作为乘数积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数 第一章 普通法求行列式11 利用行列式定义直接计算例1计算行列式 解 中不为零的项用一般形式表示为 该项列标排列的逆序数等于故 总结对上面的例题可以看出行列式中0元素比较多的那么用定义法计算比较简略对于这一类型行列式形状我们为了方便计算逆序数最好把它的个数做成等差或等比数列 12 利用行列式的性质计算 例1 一个n阶行列式的元素满足则称dn为反对称行列式证明奇数阶反对称行列式为零 证明由知即故行列式可表示为由行列式的性质当为奇数时得因而得 13 化为三角

9、形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形其结果为行列式主对角线上元素的乘积因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法 化为三角形法是将原行列式化为上下三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法这是计算行列式的基本方法重要方法之一因为利用行列式的定义容易求得上下三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算 原则上每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式但对于阶数高的行列式在一般情况下计算往往较繁因此在许多情况下总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形再将其化为三角形行列式131 直接化为阶梯形例1 计算行列式解 这是一个阶数不高的数值行列式通常将它化为上下三角行列式来计

10、算132 相同去项化上三角形例题2计算n阶行列式解这个行列式每一列的元素除了主对角线上的外都是相同的且各列的结构相似因此n列之和全同将第23n列都加到第一列上就可以提出公因子且使第一列的元素全是1第二章 特殊法求行列式阶法 21 按行列展开法 降阶法是按某一行或一列展开行列式这样可以降低一阶更一般地是用拉普拉斯定理这样可以降低多阶为了使运算更加简便往往是根据行列式的特点先利用列式的性质化简使行列式中有较多的零出现然后再展开 211 先简再展例1计算20阶行列式分析这个行列式中没有一个零元素若直接应用按行列展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算需进行2020-1次加减法和乘法运算这人根本是

11、无法完成的更何况是n阶但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素则很快就可算出结果 注意到此行列式的相邻两列行的对应元素仅差1因此可按下述方法计算212 按第一行列展开例2 计算n阶行列式解 将按第1行展开例3计算nn2阶行列式解 按第一行展开得 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开则可得到 22 递逆推公式法 递推法是根据行列式的构造特点建立起与的递推关系式逐步推下去从而求出的值 有时也可以找到 与 的递推关系最后利用 得到 的值 注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话即很难找出递推关系式从而不能使用此方法221 等差数列递推例1 计算行列式解将行列式按第列展开有

12、得同理得 例2 计算解同理联立解得当时222 一路直推例1计算阶行列式解 首先建立递推关系式按第一列展开得这里与有相同的结构但阶数是的行列式现在利用递推关系式计算结果对此只需反复进行代换得因故最后用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当时显然成立设对阶的情形结果正确往证对n阶的情形也正确由可知对n阶的行列式结果也成立根据归纳法原理对任意的正整数n结论成立223 对角直递例1 证明n阶行列式证明 按第一列展开得其中等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式记作第二个行列式若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式记作这样就有递推关系式因为已将原行列式的结果给出我们可根据

13、得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当时结论正确当时结论正确设对的情形结论正确往证时结论也正确由 可知对n阶行列式结果也成立根据归纳法原理对任意的正整数n结论成立分析此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外其余的元素都为零这种行列式称三对角行列式1从行列式的左上方往右下方看即知dn-1与dn具有相同的结构因此可考虑利用递推关系式计算23 利用范德蒙行列式根据行列式的特点适当变形利用行列式的性质如提取公因式互换两行列一行乘以适当的数加到另一行列去 把所求行列式化成已知的或简单的形式其中范德蒙行列式就是一种这种变形法是计算行列式最常用的方法 231 变形范德蒙行列式例1 计算行列式解

14、 把第1行的-1倍加到第2行把新的第2行的-1倍加到第3行以此类推直到把新的第n-1行的-1倍加到第n行便得范德蒙行列式例2计算阶行列式其中解 这个行列式的每一行元素的形状都是012n即按降幂排列按升幂排列且次数之和都是n又因若在第i行12n提出公因子则d可化为一个转置的范德蒙行列式即例3 计算行列式解 232 系数范德蒙行列式例1 计算行列式解 作如下行列式使之配成范德蒙行列式易知等于中 的系数的相反数而中 的系数为 因此233 利用行列式性质凑范德蒙行列式例1 计算n阶行列式 解显然该题与范德蒙行列式很相似但还是有所不同所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型先将的第n行依次与第n

15、-1行n-2行2行1行对换再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行n-2行2行对换继续仿此作法直到最后将第n行与第n-1行对换这样共经过n-1n-221nn-12次行对换后得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式故利用范德蒙行列式的结果得 第三章 其他方法求行列式31加边法升阶法 加边法又称升阶法是在原行列式中增加一行一列且保持原行列式不变的方法它要求1 保持原行列式的值不变 2 新行列式的值容易计算根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列加边法适用于某一行列有一个相同的字母外也可用于其第 列行的元素分别为 个元素的倍数的情况 311 0字母加边例1 计算阶行列式 解312 0 和1加边例1 计

16、算阶行列式 其中解 先将添上一行一列变成下面的阶行列式显然将的第一行乘以后加到其余各行得 因将上面这个行列式第一列加第i列的倍得32 数学归纳法当 与 是同型的行列式时可考虑用数学归纳法求之 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值再用数学归纳法给出猜想的证明因此数学归纳法一般是用来证明行列式等式因为给定一个行列式要猜想其值是比较难的所以是先给定其值然后再去证明321 第一数学归纳法例1 计算行列式解用数学归纳法 当时假设时有则当时把按第一列展开得由此对任意的正整数有 322 第二数学归纳法例1计算行列式解于是猜想证明对级数用第二数学归纳法证明时结论成立假设对级数小于时结论成立将级行列式按第

17、行展开 323 猜测归纳 例1 计算行列式解 猜测证明1 时命题成立假设 时命题成立考察nk的情形故命题对一切自然数n成立 33 拆开法 拆项法是将给定的行列式的某一行列的元素写成两数和的形式再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的使问题简化以利计算 331 对角拆例1 计算行列式解 332 按列行拆例1 计算阶行列式解 将按第一列拆成两个行列式的和即再将上式等号右端的第一个行列式第i列3n减去第一列的i倍第二个行列式提出第一列的公因子则可得到当n3时当时小结计算行列式的方法很多也比较灵活上面介绍了计算n阶行列式的常见方法计算行列式时我们应当针对具体问

18、题把握行列式的特点灵活选用方法总的原则是充分利用所求行列式的特点运用行列式性质及上述常用的方法有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值有时也可用多种方法求出行列式的值学习中多练习多总结才能更好地掌握行列式的计算参考文献1 线性代数-方法导引m屠伯埙 上海科大出版社19942 高等代数m王萼芳石生明 高等教育出版社19953 高等代数全程导学及习题全解m杜炜马訾伟中国时代经济出版社19984 高等代数辅导及习题全解北大第三版m王勇科学技术文献出版社19955 高等代数习题集上下册m杨子胥山东科学技术出版社20046 高等代数习题课参考书m张均本高等教育出版社20037 高等代数m上海财经大学数学系 主编复旦大学出版社20088 高等代数m王住登国防工业大学出版社20059 introduction to higher algebramdover publications 200410 higher enginering mathematicsmjohn birdnewnes2004谢辞 本论文设计在老师的悉心指导和严格要求下业已完成从课题选择到具体的写作过程无不凝聚着老师的心血和汗水在我的毕业论