電磁场和电磁波第一章

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析 本章主要介绍与电磁场理论有关的矢量分析方法及定理本章主要介绍与电磁场理论有关的矢量分析方法及定理 主要内容主要内容 矢量代数矢量代数 常用正交坐标系常用正交坐标系 标量场的梯度标量场的梯度 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度 无旋场与无散场无旋场与无散场 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 1.1 矢量代数矢量代数 标量：只有大小没有方向的物理量（温度、高度、电压等）标量：只有大小没有方向的物理量（温度、高度、电压等） 矢量：既有大小又有方向的物理量（力、速度、电磁场强度等）矢量：既有大小又有方向的物理量（力、速度、电磁场强度等） 矢量的表示矢量的表示 图示法：用一条

2、有方向的线段表示，其长度表示矢量的图示法：用一条有方向的线段表示，其长度表示矢量的 大小即矢量的模，箭头指向表示矢量的方向大小即矢量的模，箭头指向表示矢量的方向 书写法：粗体书写法：粗体( (印刷体印刷体）或在符号上加箭头，如）或在符号上加箭头，如 A、b 或或 1.1.1 标量和矢量标量和矢量 Ab、 A 矢量的几何表示矢量的几何表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。：单位矢量不一定是常矢量。 常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 xxyyzz AA eA eA e cos cos cos x y z AA AA AA (coscoscos ) xyz AA ee

3、e coscoscos Axyz eeee 矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示 单位矢量：模为单位矢量：模为1的矢量称为单位矢量，如的矢量称为单位矢量，如e eA，表示与矢表示与矢 量量A同方向的单位矢量，显然有同方向的单位矢量，显然有 =cos +cos +cos 或 AxyzA A A A eeeeAe 矢量的模：矢量矢量的模：矢量A的模表示为的模表示为 AAA z Ax A Ay Az x y n 矢量的运算矢量的运算 xxyyzzxxyyzz Ae Ae Ae ABe Be Be B ()()() xxxyyyzzz ABeABeABeAB 说明：说明： 1.矢量的加法符合交换律和结

4、合律：矢量的加法符合交换律和结合律： 2.矢量的相加和相减可以用平行四边形法则来求解：矢量的相加和相减可以用平行四边形法则来求解： A B AB A B AB 1.1.2 矢量的加法和减法矢量的加法和减法 关于矢量的加法和减法的说明关于矢量的加法和减法的说明 设矢量设矢量A、B、C和和D，且，且ABD，则，则 ABBA ABCABC 交换律交换律 结合律结合律 ABAB相当于相当于A加加B A B D B AB B AB A和和B首尾相接即为首尾相接即为D 1.1.3 1.1.3 矢量的乘法矢量的乘法 矢量与标量相乘矢量与标量相乘 xxyyzzA k Ae kAe kAe kAe k A 标量

5、与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。 矢量与矢量点乘矢量与矢量点乘(标积）标积） cos AB xxyyzz A BA B A BA BA B A B AB 1. 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的 乘积，其乘积，其结果是一个标量结果是一个标量。 两矢量点积的含义：两矢量点积的含义： 矢量与矢量叉乘（矢积）矢量与矢量叉乘（矢积） sin ()()() xyz nABxyz xyz xyzzyyzxxzzxyyx eee ABe ABAAA BBB eA BA BeA BA BeA BA B B A B

6、 A AB 矢积的大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，矢积的大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积， 方向为该面的法线方向。且符合右手螺旋法则。方向为该面的法线方向。且符合右手螺旋法则。 2.2.矢量的点积符合交换律和分配律：矢量的点积符合交换律和分配律： A BB AA BCA BA C 两矢量的矢积两矢量的矢积(叉积叉积)通常利用行列式通常利用行列式 xyz xyz xyz eee A BAAA BBB x e ( ) yzzy A B -A B () y e () xzxz A B -A B z e () xyyx A B -A B 说明：说明： 1.矢量的叉积不矢量的叉积不符合交换

7、律但符合分配律：符合交换律但符合分配律： ABBAABCABA C 2.两个矢量的叉积为矢量两个矢量的叉积为矢量 3.矢量运算恒等式矢量运算恒等式 A B CB CACAB AB CB A CC A B 说明：矢量间不存在除法运算。说明：矢量间不存在除法运算。 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积 u小结矢量的乘法小结矢量的乘法 设矢量设矢量A、B、C和标量和标量k，且，且A和和B的夹角为的夹角为 ，则则 矢量与标量相乘：矢量与标量相乘：kA，仍为矢量，仍为矢量 矢量的点乘（点积、标积）矢量的点乘（点积、标积） cosAB A B A BB A A BCA BA C 矢量的点积为标量矢量

8、的点积为标量 满足交换律和分配律满足交换律和分配律 矢量矢量的叉乘（叉积、矢积）的叉乘（叉积、矢积） sin nAB A Be A BBA ABCA BA C 矢量的叉积为矢量矢量的叉积为矢量 不满足交换律不满足交换律 满足分配律满足分配律 例1：在直角坐标系中，矢量 由原点指向点P1(2,3,3)， 矢量 由P1指向点P2(1,-2,2)，求 (1)矢量 ，幅值 A 以及单位矢量 (2)矢量 与Y轴的夹角 (3)矢量 (4) 和 之间的夹角 A B A A A e B BA 233 xyzxyz AeeeAeee 解答：解答： (1) 222 23322AA 233 22 xyz A e e

9、e ee e A A e e A A (2)夹角由下式确定：夹角由下式确定： cos y A eA 11 3 coscos50.2 22 y A e A (3) (12)( 23)(23)5 xyzxyz Beeeeee (4) 两矢量之间的夹角两矢量之间的夹角 11 2 153 coscos145.1 2227 A B A B 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。确定。 1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标

10、系为： 直角直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系正交曲线坐标系； 三条正交曲线称为三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为；描述坐标轴的量称为坐标变量坐标变量。 1.2.1 直角坐标系直角坐标系 , xyz eee单单位位矢矢量量：，遵遵循循右右手手螺螺旋旋法法 xxyyzz AAA Aeee任任意意矢矢量量： xyz xyz reee位位置置矢矢量量： xxyyzz xxyyzz Ae Ae Ae A Be Be Be B 设设：

11、()()() xxxyyyzzz ABeABeABeAB xxyyzz A BA BA BA B 对应分量积之和对应分量积之和 各分量为对应分量之和各分量为对应分量之和 坐标系的构成坐标系的构成 ()()() xyz xyz xyz xyzzyyzxxzzxyyx eee A BAAA BBB eA BA BeA BA BeA BA B xyz dre dxe dye dz 与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元 , xyz dSdydz dSdxdz dSdxdy 体积元体积元dVdxdydz 位置矢量位置矢量r r的微分：的微分： v直角坐标系直角坐标系

12、（记住） xyz re xe ye z 位置矢量位置矢量 面元矢量面元矢量 线元矢量线元矢量 dddd xyz lexeye z dd dd d xxyzx Se lle y z dd dd d zzxyz Se lle x y 体积元体积元dd d dVx y z dd dd d yyxzy Sellex z 坐标变量坐标变量 , ,x y z 坐标单位矢量坐标单位矢量 , xyz e e e 点点P(x0,y0,z0) 0 yy（平面）（平面） o x y z 0 xx（平面）（平面） 0 zz（平面（平面） P 直角坐标系直角坐标系 x e z e y e x y z 直角坐标系的长度元

13、、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o dz d y dx zyeS xx ddd yxeS zz ddd zxeS yy ddd 1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系 zz AAA Aeee任任意意矢矢量量： zz ree位位置置矢矢量量： ,z 基基本本变变量量： , z eee位矢量：，遵循右手螺旋法位矢量：，遵循右手螺旋法单单 zz zz Ae Ae Ae A Be Be Be B 设设： zzz ABeABeABeAB zz A BA BA BA B 各分量为对应分量之和各分量为对应分量之和 对应分量积之和对应分量积之和 ()()() z z z zzzzz eee AB

14、AAA BBB eA BA BeA BA BeA BA B z dre dede dz 与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元 , zz dSh h d dzd dz dSd dz dSd d 体积元体积元 z dVh h h d d dzd d dz 位置矢量位置矢量r r的微分：的微分： 各坐标方向各坐标方向 上的增量上的增量 拉梅系数（坐标增量与坐标微分之比）拉梅系数（坐标增量与坐标微分之比） 11, z dddz hhh dddz 在在M点沿各方向的微分点沿各方向的微分长度元长度元 dL=d dL=d dLz=dz 面积元面积元 dS=dLdLz=dd

15、z dS=dLdLz=ddz dSz=dLdL=dd 体积元体积元 dv=dLdLdLz=dddz x y z d dM dz u 长度元，面元，体积元 （直角坐标系dLx=dx, dsz=dxdy,dv=dxdydz） ,; ,; ,ddz zdz v圆柱面坐标系圆柱面坐标系(记住）记住） dd dd d dd dd d dd dd d z z zzz Sellez Sellez Se lle , z 坐标变量坐标变量 , z ee e 坐标单位矢量坐标单位矢量 z ree z 位置矢量位置矢量 dddd z leee z 线元矢量线元矢量 dd d dVz 体积元体积元 面元矢量面元矢量

16、1.2.3 球坐标系球坐标系 rr AAA Aeee任任意意矢矢量量： rr re位置矢量：位置矢量： ,r 基基本本变变量量： rr rr AAA BBB Aeee Beee 设设： rrr ABABAB ABeee rr A BA BA B A B 各分量为对应分量之和各分量为对应分量之和 对应分量积之和对应分量积之和 , r eee单位矢量：，遵循右手螺旋法单位矢量：，遵循右手螺旋法 ()()() r r r rrrrr AAA BBB A BA BA BA BA BA B eee A B eee sin r ddrrdrd reee 与三个坐标单位矢量相垂直的三个面积元与三个坐标单位矢

17、量相垂直的三个面积元 2 sin,sin, r dSh h d drd ddSrdrddSrdrd 体积元体积元 2 sin r dVh h h drd drdrd d 位置矢量位置矢量r r的微分：的微分： 拉梅系数（坐标增量与坐标微分之比）拉梅系数（坐标增量与坐标微分之比） 1,sin r hhrhr u长度元，面元，体积元长度元，面元，体积元 微分长度元微分长度元 dLr=dr dL=rd dL=rsind 面积元面积元 dSr= dLdL =r2sindd 体积元体积元 dv=dLrdLdL=r2sindrdd ,; ,; ,r rdrdd dr d 0 M N Z Y X 2 dd

18、dsin d d rrr Se l le r dd dsin d d rz Sel le rr dd dd d r Sel le r r 球面坐标系（记住）球面坐标系（记住） 球面坐标系球面坐标系 球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元 ,r 坐标变量坐标变量 , r e e e 坐标单位矢量坐标单位矢量 r re r 位置矢量位置矢量 dddsin d r lere re r 线元矢量线元矢量 2 dsin d d dVrr 体积元体积元 面元矢量面元矢量 1.2.4 坐标变换坐标变换 cossin sincos xy xy zz eee eee ee cos sin

19、x y zz 圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系 z y z y x x r o sinr (,) (,) ( ,) x y z Mz r o f x y 单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 f x e y e e f e 球面坐标系与柱坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与柱坐标系间单位矢量变换关系 sin cos r zr sincos cossin rz z eee eee ee z y z y x x r o sinr (,) (,) ( ,) x y z Mz r o z 单

20、位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 z e e r e e sincos sinsin cos xr yr zr sin cossin sincos cos coscos sinsin sincos rxyz xyz xy eeee eeee eee ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z Mz r 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系 z y z y x x r o sinr 222 222 rxyz arccos zxyz arctan y x v坐标单位矢量之间的关

21、系坐标单位矢量之间的关系 x e y e z e e f e z e fcosfsin 0 fcosfsin0 00 1 直角坐标直角坐标与与 圆柱坐标系圆柱坐标系 e f e z e r e e f e sin0cos sin cos0 001 圆柱坐标圆柱坐标与与 球坐标系球坐标系 z e r e e f e fcossin cos sin fcoscos 0 直角坐标直角坐标与与 球坐标系球坐标系 x e y e fsinsin fsincos fcosfsin o z 单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 o f x y 单位

22、圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 f x e y e e f e z e e r e e cossin0 sincos0 001 x y zz A A AA AA sincossinsincos coscoscossinsin sincos0 xr y z AA AA A A sin0cos cos0sin 010 r z A A AA A A 矢量矢量分量分量的转换的转换 例2： 半径为2cm的球，包含体电荷 ，求球上的总电荷。 23 4cos/ v C m 20.02 22 000 4cossin v vr Qdvrdrd d

23、 3 2 2 00 0.02 4sincos 03 r d d 解答： 3 2 6 0 2 6 0 32cos 10 033 64 10 9 44.68() d d C 1.3 标量场的梯度标量场的梯度 对于一个物理状态，通常用场来进行描述。场的概念：对于一个物理状态，通常用场来进行描述。场的概念： 描述某一物理状态的物理量，如温度、密度、速度、重力描述某一物理状态的物理量，如温度、密度、速度、重力 占有一个空间，把物理状态作为空间和时间的函数来描述占有一个空间，把物理状态作为空间和时间的函数来描述 在一个区域中，通常是坐标的连续函数在一个区域中，通常是坐标的连续函数 按物理量的性质分类按物理

24、量的性质分类 标量场标量场 物理量为标量（温度物理量为标量（温度, ,电位）电位） 矢量场矢量场 物理量为矢量（速度、重力、电场、磁场）物理量为矢量（速度、重力、电场、磁场） 按物理量变化特性分类按物理量变化特性分类 静态场静态场 物理量不随时间变化物理量不随时间变化 时变场（动态场）时变场（动态场） 物理量随时间变化物理量随时间变化 y x 以以浓度浓度表示的表示的标量场标量场 以以箭头箭头表示的表示的矢量场矢量场A A 标量场标量场（）和矢量场和矢量场（A A） y x 时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： ( , , , )u x y z t 、( , , ,

25、 )F x y z t 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： ( , , )u x y z 、( , , )F x y z 静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为： 标量场的等值线标量场的等值线( (面面) ) 等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。 ( , , )u x y zC 等值面方程等值面方程： 常数常数C C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在

26、的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点： 意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。 1.3.1 标量场的等值面标量场的等值面 1.3.2 方向导数方向导数 0 0 0 lim l M u Mu M u ll M0 M l l 标标量场量场 u 在在 点沿点沿 l 方向上的方向导数方向上的方向导数 定义为定义为 0 M u l 0 M n 等值面等值面：描述了场量：描述了场量u u的分布情况。的分布情况。 n 方向导数方向导数：研究标量场在场中任一：研究

27、标量场在场中任一 点的邻域内沿某一方向上的变化率。点的邻域内沿某一方向上的变化率。 意义意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。 0 0 coscoscos | lim M l uuu dxu dyu dz llx dly dlz dl uuu xyz 计算公式计算公式： u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l 0 u l u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l 0 u l u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 l 0 u l M0 l M l 方向导数的概念方向导数的概念 的方向余弦。的方向余弦。 l 式中式中： coscoscos、 根据复合函数求

28、导法则：根据复合函数求导法则： 特点特点：方向性导数既与点方向性导数既与点 M M0 0有关，也与有关，也与 方向有关。方向有关。 l 问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 为解决这个问题为解决这个问题，我们首先分析直角坐标系中的方向导数公式，我们首先分析直角坐标系中的方向导数公式： 设设：l方向的单位矢量是方向的单位矢量是 xyz uuu xyz G eee coscoscos lxyz eeee cocoscosscos l uuu l l u xyz G eGG, 确定的矢量确定的矢量G在给定点是一个固定矢量在给定点是一个

29、固定矢量 注意注意：矢量：矢量G只与函数只与函数u（x,y,z）有关，而有关，而l 则是在给定点引出则是在给定点引出 的任一方向上的单位矢量，它与函数的任一方向上的单位矢量，它与函数u（x,y,z）无关。无关。 矢量矢量G在在l方向上的投影等于函数方向上的投影等于函数u（x,y,z）在该方向上的方向在该方向上的方向 导数导数。当当G与与l的方向一致时，取得最大值。的方向一致时，取得最大值。 矢量矢量G被称为函数被称为函数u（x,y,z）在给定点的梯度。）在给定点的梯度。 某点梯度的某点梯度的大小大小等于该点的等于该点的最大最大方向导数，某方向导数，某 点梯度的方向为该点具有点梯度的方向为该点具

30、有最大最大方向导数的方向。方向导数的方向。 1.3.3 标量场的梯度标量场的梯度 梯度的定义梯度的定义 标量场标量场u在点在点P处的处的梯度是一个梯度是一个矢量矢量，它的方向为场量，它的方向为场量u变化变化 率最大的方向，大小等于其最大变化率，即率最大的方向，大小等于其最大变化率，即 max ( , , ) ln uu grad u x y z ln ee 式中的式中的grad grad 是英文字是英文字 gradientgradient 的缩写的缩写。 为垂直于等值面的方向。为垂直于等值面的方向。 n e u P N l e M uu n e 梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度为矢量，且是坐

31、标位置的函数标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数 表征空间某点处标量场的变化规律，并描述了最大变化方表征空间某点处标量场的变化规律，并描述了最大变化方 向和变化的快慢（向和变化的快慢（梯度的幅度表示标量场的最大增加率，梯梯度的幅度表示标量场的最大增加率，梯 度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向） 标量场在给定点沿任意方向的方向导数为梯度在此方向上标量场在给定点沿任意方向的方向导数为梯度在此方向上 的投影的投影 11 sin r uuu u rrr eee () xyz xyz uuu grad u xyz uu xyz eee eee 球面

32、坐标系球面坐标系 柱面坐标系柱面坐标系 直角坐标系直角坐标系 梯度的运算梯度的运算 xyz xyz eee 哈哈密密顿顿算算子子，具具有有矢矢量量的的特特性性 1 z uuu u z eee 10 2 3 C CCff ff 2 4 5() 6FF ff f f ff fff 在矢量微积分的规则中，矢量的梯度没有意义。在矢量微积分的规则中，矢量的梯度没有意义。 梯度运算的性质梯度运算的性质 C C为常数，任何两个标量函数为常数，任何两个标量函数 和和 ，以下关系成立，以下关系成立f 解：解： 例例 已知两标量函数已知两标量函数 ，分别求梯度，分别求梯度。 23 12 2,ux yz uxxy

33、222 1 22 222 422 22 xyz xyz xyz ux yzx yzx yz xyz xyzx zx y xyzxzxy eee eee eee 333 2 32 13 xyz xy uxxyxxyxxy xyz yxy eee ee 例例1 设一标量函数设一标量函数 (x,y,z) = x2y2z 描述了空间标量场。描述了空间标量场。 试求：试求： (1) (1) 该函数该函数 在点在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向处的梯度，以及表示该梯度方向 的单位矢量；的单位矢量； (2) (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量 el= ex cos60 ey cos

34、45 ez cos60 方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该处的方向导数值与该 点的梯度值作以比较，得出相应结论。点的梯度值作以比较，得出相应结论。 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为 (1,1,1) (22)22 xyzxyz xyeeeeee 22 ()() xyz P P xyz yxz e+ e+ e 表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222 (1,1,1) 22 221 333 (2 )(2 )( 1) xyz lxyz P P exeye eeee xy (2) 由方向导数与梯度之间的关系

35、式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导方向的方向导 数为数为 对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为 (1,1,1) 12 21 2 22 P xy l 121 (22) () 222 1 2 2 lxyzxyz eexeyeeee l xy f f 而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222 (1,1,1) (2 )(2 )( 1)3 P xy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率， 即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。 P P P l f f 例例

36、 1.3.1 已知已知 ， 证明：证明： ； ； 。 xy z xxyyz z R eee R R (1)R R R 3 1 (2) RR R (3)f Rf R z x y r O P(x, y, z) r r r P(x , y , z ) 这里这里 表示对表示对 x, y, z 运算运算 表示对表示对 运算运算,x y z 0Rrr xyz xyz eee xyz xyz eee xyz xyzeeer xyz xyzeeer 解解: : ()()() xyz xxyyzzeeeR 222 ()()()Rx xyyz z z x y r O P(x, y, z) r r r P(x ,

37、y , z ) xyz RRR R xyz eee(1)(1) 222 ()()() ()()() xyz xxyyzz xxyyzz eee R R (2)(2) 222 11 ()()() R x xy yz z 1111 xyz Rx Ry Rz R eee z x y r O P(x, y, z) r r r P(x , y , z ) 3 222 xyz xxyyzz xxyyzz eee 3 R R (3)(3) xyz f Rf Rf R f R xyz eee 11 f Rf R RR 故： df R f RR dR xyz df Rdf Rdf RRRR dRxdRydRz

38、eee df Rdf R R dRdRR R 222 xyz xxyyzzdf R dR xxyyzz eee df R dRR R 矢量线为有向曲线，用以形象地描述矢量在空间的分布，矢量线为有向曲线，用以形象地描述矢量在空间的分布， 如电力线、磁力线等如电力线、磁力线等 矢量线的疏密表征矢量场的大小矢量线的疏密表征矢量场的大小 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向 矢量线充满在矢量场中，场中每一点都有矢量线通过矢量线充满在矢量场中，场中每一点都有矢量线通过 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1.4.1 矢量场的矢量线矢量场的矢量线 问题问题

39、：如何：如何定量定量描述矢量场的大小？描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 ddd n SS FSF eS dd n Se S 其中：其中：面积元矢量；面积元矢量； n e 面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量； 穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量； dS dd n F e S ),(zyxF S d n e 面积元矢量面积元矢量 1.4.2 通量通量 通量的概念通量的概念 若若矢量场矢量场 分布于空间中，在空间中分布于空间中，在空间中 取任意曲面取任意曲面S，定义：，定义： ( )F r 为矢量为矢量 沿沿有向曲面有向曲面S的通量的通量。( )F r 如果曲面如果曲面

40、 S 是闭合的，则规定曲面法矢由内指向外，矢量是闭合的，则规定曲面法矢由内指向外，矢量 场对闭合曲面的通量是：场对闭合曲面的通量是： dd n SS FSF eS 注：表示穿入和穿出闭合面注：表示穿入和穿出闭合面S的通量的的通量的代数和代数和。 0 通过闭合曲面有通过闭合曲面有 净的矢量线穿出净的矢量线穿出 0 有净的矢有净的矢 量线进入量线进入 0 进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 通量的物理意义通量的物理意义 若若 0，闭合面内有产生矢量线的正源，闭合面内有产生矢量线的正源 若若 0 0

41、，闭合面内有产生矢量线的负源，闭合面内有产生矢量线的负源 若若 =0=0，闭合面内没有产生矢量线的源，闭合面内没有产生矢量线的源 关于通量的进一步说明关于通量的进一步说明 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。 散度的定义散度的定义 0 () ()lim s V d div V F rS F r 1.4.3 散度散度 矢量场穿过闭合面的通量是一个积分量，它是个宏观量，只矢量场穿过闭合面的通量是一个积分量，它是个宏观量，只 是对某一空间是对某一空间总的通量总的通量的描述

42、，而对的描述，而对空间每一点空间每一点矢量场的通量矢量场的通量 情况并没有说明，这就需要引入矢量场的情况并没有说明，这就需要引入矢量场的散度散度来进一步描述。来进一步描述。 在场空间在场空间 中任意点中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积处作一个闭合曲面，所围的体积 为为 ，则定义场矢量，则定义场矢量 在在M点处的散度为：点处的散度为： ( )F r V ( )F r 散度的物理意义散度的物理意义 表示通量源的密度，即表示通量源的密度，即M点处单位体积内发出的矢量通量点处单位体积内发出的矢量通量 表征了矢量场的表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性 标量，一般是空间坐标的函数标量，一般

43、是空间坐标的函数 即：即：散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面 元体积之比的极限。元体积之比的极限。 若若 ，则该矢量场称为，则该矢量场称为有源场有源场， 为源密度为源密度( )0div F r 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无源场无源场( )0div F r ( )0div F r，正正源源 ( )0div F r，负负源源 ( )0()div F r，无无源源 无无散散 关于散度的进一步讨论关于散度的进一步讨论 1 2 3 ABAB C ACA AAAfff C C为常数，为常数， 为标量函数，任何两个

44、矢量函数为标量函数，任何两个矢量函数 和和 ， 以下关系成立以下关系成立 散度运算的性质散度运算的性质 A B f 4C0(C 为常矢量） = = y zx xyzxxyyzz FF F div xyz FFF xyz F r eeeeee F r 散度的计算散度的计算 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 1 () z z eee () 11 ( ) z FFF z F r 11 sin r rrr eee 2 2 111 ( )sin sinsin r F r FF rrrr F r 球面坐标系球面坐标系 o x y 在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算 F z z x y P 不失

45、一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如为一直平行六面体，如 图所示。则图所示。则 s d d FS FS 前前后后左左右右上上下下 , , , , x x dFxx y zy z dFx y zy z FS FS 前前 后后 直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 2 2 2 1 (, , ), , 2 , , xx xx x x FF F xx y zF x y zxx xx F F x y zx x ！ 根据泰勒定理 同理，可得同理，可得 o o x x y y 在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算 F F z z z zD x

46、xD y yD P P 故故 , , x x F dFx y zy zx y z x FS 前前 y F dx y z y FS 左左右右 z F dx y z z FS 上上下下 x F dx y z x FS 前前后后 d y xz S F FF x y zx y zx y z xyz FS = xyzxxyyzz divFFF xyz Feeeeee F 0 d lim y Sxz V F FF Vxyz FS F 根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 合成之，即得由点合成之，即得由点P P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为

47、也也可可表表示示为为： Vs dVd F rF rS 该式表明任何矢量场的散度在体积该式表明任何矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场在内的积分等于矢量场在 包围该体积的边界面包围该体积的边界面S上的通量上的通量( (闭合面积分闭合面积分) )。 此式也称为此式也称为高斯定理高斯定理。 1.4.4 散度定理散度定理 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系， 在电磁理论中有着广泛的应用。在电磁理论中有着广泛的应用。 散度定理的证明散度定理的证明 从散度定义有：从散度定义有： 则在一定体积则在一定体积V V内的总的通量为：内的总的通量为：

48、 得证！得证！ 从从数学数学角度可以认为散度定理建立了角度可以认为散度定理建立了面面积分和积分和体体积分的关系。积分的关系。 从从物理物理角度可以理解为散度定理建立了角度可以理解为散度定理建立了区域区域 V V 中的场和包围区中的场和包围区 域域 V V 的边界的边界 S S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V V 中中 的场，的场， 根据散度定理即可求出边界根据散度定理即可求出边界 S S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。 00 limlim s d d dV F F S VV VV V dV F s d FS 体积的剖分体积的剖分 V S1 S

49、2 en2en1 S 解：解：由散度公式，得由散度公式，得 例例 1.4.2 已知已知 ， 求矢量求矢量 处的散度。处的散度。 xy z xxyyzz Reee 3 ()0RRR DRR其其中中在在 333 xxyyzz xRyRzR D 2 335 31 xxxx xRRR 考考虑虑到到，可可以以得得到到 222 353535 222 35 2 35 333111 + 33 33 0 xxyyzz RRRRRR xxyyzz RR R RR D 例如：流速场例如：流速场 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量 源的矢量源，它所

50、激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭 合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为 零。零。 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电 流成正比，即：流成正比，即： 00 ( , , ) d( , , ) d CS B x y zlIJ x y zS 上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。

51、 1.5.1 环流的概念环流的概念 ( ) C d F rl 在矢量场在矢量场 空间中，取一有向闭合路径空间中，取一有向闭合路径C，则称，则称 沿沿 C积分的结果为矢量积分的结果为矢量 沿沿C的环量，即：的环量，即： ( )F r( )F r ( )F r 标量，与散度一样，是描述矢量场性质的重要的物理量标量，与散度一样，是描述矢量场性质的重要的物理量 若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的 旋涡源旋涡源 旋涡源与散度源不同，它发出的不是扩散或汇聚矢量线，而旋涡源与散度源不同，它发出的不是扩散或汇聚矢量线，而 是构成闭合回路的矢

52、量线是构成闭合回路的矢量线 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小 关于环流的说明关于环流的说明 F q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无 旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。 q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是 磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所

53、围曲面内旋涡源的矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢 量场的旋度。量场的旋度。 2 矢量场的旋度矢量场的旋度 矢量场中矢量场中M点处的环流面密度与面元点处的环流面密度与面元S的法向方向的法向方向en有关，有关， 一个点处沿不同方向一个点处沿不同方向en的环流面密度的值一般不同，在某一方的环流面密度的值一般不同，在某一方 向上可能取得最大值。引入矢量场的向上可能取得最大值。引入矢量场的旋度旋度来描述这个具有来描述这个具有最大最大 值的环流面密度值的环流面密度。 0 l

54、im C n S d rot S Fl F 环流面密度环流面密度 在场矢量在场矢量F(r)空间中，围绕空间某点空间中，围绕空间某点M取一面元取一面元S，其边，其边 界曲线为界曲线为C，面元法线方向为，面元法线方向为en，当面元面积无限缩小时，可，当面元面积无限缩小时，可 定义定义F(r) 在点在点M处沿处沿en方向的方向的环量面密度环量面密度即即旋涡源密度旋涡源密度： n S Se F C M 1.5.2 旋度旋度 旋度的定义旋度的定义 en1 en2 en 用用 表示矢量场的旋度。这是个矢量，模值为环流面密表示矢量场的旋度。这是个矢量，模值为环流面密 度的最大值，方向为取得最大环流面密度的方

55、向，其定义为：度的最大值，方向为取得最大环流面密度的方向，其定义为： rotF 0 lim C nn S d rot S Fl FFee，其其中中表表示示旋旋度度的的方方向向。 旋度是矢量，一般是旋度是矢量，一般是空间位置空间位置的函数的函数 矢量在空间某点的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度。 某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量 密度的方向。密度的方向。 旋度的物理意义旋度的物理意义 性质性质(与环量密度的关系为与环量密度的关系为)： nn rotFeF 1234 12

56、34 1234 ddddd Cllll yzyz llll y z yzyz y z FlFlFlFlFl F e dyF e dzFe dyFe dz F F FyFyzFzyFz yz F F y z yz 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。rot xF oy z y C M z x 1 2 3 4 计算计算 的示意图的示意图 rot x F 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式rot xF rot y F rot z F 旋度的计算公式旋度的计算公式 cos cos cos x y z AA AA AA 0 d rotlim y Cz x S F l F F F

57、Syz 故得故得 x e 在直角坐标系下：在直角坐标系下： xxyyzz rotFe rot Fe rot Fe rot F ()()() yy xxzz xyz FF FFFF eee yzzxxy () xyzxxyyzz eeee Fe Fe F xyz F xyz xyz eee xyz FFF (c o sc o sc o s ) x y z A A eee 同理可得同理可得rot, xz y FF F zx rot y x z F F F xy 1 z z eee F z FFF 2 sin 1 sin sin r r erere F rr FrFrF 在圆柱面坐标系下：在圆柱面坐

58、标系下： (c o sc o sc o s ) x y z A A eee 在球面坐标系下：在球面坐标系下： (c o sc o sc o s ) x y z A A eee 矢量场的旋度矢量场的旋度 的散度恒为零的散度恒为零 标量场的梯度标量场的梯度 的旋度恒为零的旋度恒为零 0 () () () () ()0 ()0 C CffC uFuFuF FGFG FGGFFG F u C C为常数，为常数，f和和u为标量函数，任何两个矢量函数为标量函数，任何两个矢量函数 和和 ， 以下关系成立以下关系成立 旋度运算的性质旋度运算的性质 F G 1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 SC dd Fl

59、FS 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等 于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上 的线积分。的线积分。 从从数学数学角度可以认为旋度定理建立了角度可以认为旋度定理建立了 面面积分和积分和线线积分的关系。从积分的关系。从物理物理角度可以角度可以 理解为旋度定理建立了理解为旋度定理建立了区域区域S 中的场和包中的场和包 围区域围区域S 的的边界边界 l 上的场之间的关系。因上的场之间的关系。因 此，如果已知区域此，如果已知区域S 中的场，根据旋度定中的场，根据旋度定 理即可求出边界理即可求出边界l上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。

60、曲面的曲面的剖分剖分 方向相反大小方向相反大小 相等结果抵消相等结果抵消 例例 试判断下列各图中矢量场的性质。试判断下列各图中矢量场的性质。 F F0 0 F F 0 0 F F 0 0 下 页上 页返 回 4 4、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 0,0FF 0.0FF 0,0FF 0,0FF 例例1 已知已知 ， 求矢量求矢量 处的旋度。处的旋度。 xy z xxyyzz Reee 3 ()0RRRDRR其中在其中在 解：解：由旋度公式，得由旋度公式，得 xyz xyz xxRyyRzzR 333 0 eee D 解：解：由旋度公式，得由旋度公式，得 例例2 求矢量求矢量 的旋度。的旋度