椭圆经典例题(20210315193828)

1、椭圆标准方程典型例题例1巳知椭圆用+3,2一6加=0的一个焦点为（0, 2）求加的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c = 2,根据关系a2=b2+c2可求出加的值.2 2解：方程变形为+ = 1.因为焦点在y轴上，所以2加6，解得也36 2m又c = 2 所以 2?一6 = 2，m = 5 适合.故m = 5 .例2巳知椭圆的中心在原点，且经过点P（3,O）, a = 3b,求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和b （或2和方2）的值，即可求得椭圆的标准方程./ V2,解：当焦点在X轴上时，设其方程为+ = l（6/Z

2、?0）.cr honY2由椭圆过点P（3,0）,知=+ = = 1又ci = 3b,代入得h2=9 a2 =9,故椭圆的方程为 + y2 = .cC b92 2当焦点在y轴上时，设其方程为二+二=10）cr b，Q Q了 2由椭圆过点P（3,o）,知r + r = l又a = 3b9联立解得/=81,员=9,故椭圆的方程为+ = 1.a2 b2819例3 A43C的底边BC = 6t AC和A3两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹. 分析：（1）由已知可得|GC|+|GB| = 20,再利用椭圆定义求解.（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程.解

3、：（1）以所在的直线为X轴,EC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为（r y）,由|GC| + |GZ?| = 20, 知G点的轨迹是以8、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因。=10, c = 8.有b = 6.兀2 ）2故臭方程为函+才1（卄0）设心y）, G（V,旳，则和+宁=心工0）.100 Jo2， 2 2由题意有/5 .从PFPF2知可垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPF2Fx中，sinZP斥笃=需可求出 ZP/迅=彳，2c = |/v讣cos =乎，从而b2=a2-c2=-.x2 3v23r2 v2所求椭圆方程为+ = 1或 + = 1.5 1010 5例5巳知椭圆方程 + = （

4、ab0）9长轴端点为人，A,焦点为化，P是 cr b椭圆上一点，ZAPA2=O9 AFPF2=a.求：斤P佗的面积（用“ I八a表示）.分析：求面积要结合余弦定理及定义求角a的两邻边，从而利用Ss=-absinC求面积.2解：如图，设P(X, y),由椭圆的对称性，不妨设P(x, y),由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.由余弦 定理知：応佗f =|P时+爲f _2用|P巧|cosa = 4c2.由椭圆定义知：PF + PF = 2a，则彳一得用.竹| =仃二花.故S#阳詁阿卜可sina1 lb1 sin a2 1 +cosa.9U.=lr tan 2例6巳知动圆P过定点A(-3,0),且在定

5、圆B：(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式.解：如图所示，设动圆P和定圆内切于点M .动点P到两定点，即定点4-3,0)和定圆圆心B(3,0)距离之和恰好等于定圆半径，BP|A4| + |PB| = |PA/| + |PB| = |BA/| = 8. A点P的轨迹是以A, B 为两焦点, 2 2半长轴为4,半短轴长为/7 = 742-32 =厲的椭圆的方程： + y = l.说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程 的一种重要思想方法例7巳知椭圆y+r =1,求过点召

6、占且被P平分的弦所在直线的方亀(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3) 过4(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;(4) 椭圆上有两点P、Q, O为原点，且有直线OP、O0斜率满足kop.koQ=J,求线段P0中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为M（册，yj, N（，J，线段MN的中点R（x, y）,则彳+2)f=2, x；+2y；=2, x + x2 = 2 右 丛+)迁2片 一得（州+ X2購一吃）+ 2（” +力Xx 一 2） = ，+由题意知召H无，则上式两端同除以X -%.,有（X+总）2（升+ ”）一

7、 =0,X厂吃将代入得x + 2y卫二兰=0+代入，得嵌T，故所求直线方程为：2皿亠0.册一尤2V1 - V2将代入椭圆方程x2+2y2=2得6于一6、，一丄=0, A = 36-4x6x-0符合题意，2x + 4y-3 = 0为所求.44(2)将卫二空=2代入得所求轨迹方程为:x + 4y = 0.（椭圆内部分）将丄二2 = 代入得所求轨迹方程为:X| -x2x-2x2+2y2-2x-2y = 0.(椭圆内部分)(4)由+得:口卫+2d)=2,将平方并整理得,昇+衣=4）以一2比）,将代入得: +（4宀2）小）=2,再将 y2 =xx2 代入式得：2x2 -xrv2 +4)2 _2( %血)

8、=2 ,x2+r=i.2此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.例8巳知椭圆4 x2 + y2=l及直线y = x +（1）当加为何值时，直线与椭圆有公共点（2）若直线被椭圆截得的弦长为兰,求直线的方程.解：（1）把直线方程y = x + m根据弦长公式得:Ji+T-4x.解得in = 0.方程为 y = x.代入椭圆方程4 x2 + y2= 1得4x2+(x + m)2 = l,（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x, j2 ,由（1）得x +x2 =- , xrv2 =说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，釆用的方法与处理玄线和圆的有所区别

9、.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式厶；解决弦长问題，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.例9以椭圆台+十=1的焦点为焦点，过直线/： A-y + 9 = 0一点/W作椭圆，要便所作椭圆的长轴最短, 点m应在何处并求出此时的椭圆方程.y /分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到克线同侧的两 已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决.v2 v2解：如图所示，椭圆+ = 1的焦点为百（一3,0）,巧（3,0）123点林关于直线/： x-y+9 = 0的对称点F的坐标为（一

10、9, 6）,直线尸竹的方程为x + 2y-3 = 0.y 2 3 = 0解方程组牙y + 9JQ得交点M的坐标为（一5, 4）.此时用+ |M坊|最小.所求椭圆的长轴：加=|M用+ M鬥| = |F的| = 6你=又c = 3,x V*因此，所求椭圆的方程为忑+免九例10 巳知方程7+ = -1表示椭圆，求k的取值范围. k_5 3_k-50,解：由(3 kvO,得3k5,且k$4.k 5*3 k、满足条件的k的取值范围是3vv5,且kH4说明：本题易出现如下错解：由-50,3 0,得3vv5,故k的取值范围是3kb0这个条件，当a = b时，并不表示椭圆.例11已知Fsina-ycosahl

11、 (0a 0.1_cosa sin asin a cosa3因此 sin a 0 且 tana0,这是容易忽视的地方.sin acosa(2)由焦点在y轴上，知, b1 =-.(3)求a的取值范围时，应注意题目中的条件OSav”.cosasin a例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(侖，-2)和3(-2盯，1)两点的椭圆方程.分析：由題设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为=1(/7?0, n0),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为mx2+ny2=l（m0. n0）.由从仗一 2）和B（-2屈1）两点在椭圆

12、上可得/n(V3)2+/z-(-2)2 =1,m-2y/3)2+n-2=l3/n + 4n = 1,即o）则x = ，y = y0 -因为 P（x0 , y0）在圆 x2 + y2 = 1 上，所以 x02 + y02 = 1.将x=2x, y0 = y代入方程xj + yj = 1得4x2 + y2 = 1.所以点M的轨迹是一个椭圆4 x2 + y2 = 说明：此題是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为（x,y）,设已知轨迹上的点的坐标为（心，儿），然后根据题目要求，使X, y与旺，儿建立等式关系，从而由这些等式关系求出心和儿代入已知的轨迹方程，就可以求出关

13、于x, ，的方程，化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握.例14巳知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点和作倾斜解为彳的直线交椭圆于4,两点，求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式AB = Jl+讣-x2| = J（l + H）g+X2）24“勺求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB = V1+T|a-1-x2| = yj(i + k2)(xi+x2)2 -4XjX2.因为 a =6, Z? = 3,所以c = 3/3.因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为+ = 1左焦点F

14、（3j5.O）,从而直线方程为y = V3x + 9. 369由直线方程与椭圆方程联立得：13x2+72x + 36x8 = 0.设“为方程两根，所以x+x2 =72、行1336x83从而AB = J1 + 卜一兀2| =、/(1 + ”)(尤+吃)2 4兀七4877所以m =64-V3同理在阿耳中，用余弦定理得“=64 + V3所以AB =48in + n =13（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解.2 2由题意可知椭圆方程为話+才=1，设=BF = n,则卜爲| = 12-加，困爲| = 12-/1.即(12-/?)2 =m2 + 363 2 加6馆；2在“杠竹中，07寸=卜用+迟f2|A

15、可片列cos彳（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x2+72V3x + 36x8 = 0求出方程的两根比，七，它们分别是A，3的横坐标.再根据焦半径AF = a+exx, BF=a+ex2,从而求出卜冲=卜可+ |8用.例15椭圆务+宁=1上的点M到焦点片的距离为2, N为MF】的中点，则|QV| （0为坐标原点）的值为A4 B. 2C8D2解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为耳，由椭圆第一定义得|M用+ |M可=加=10,所以 |M可= 10_|M用=10-2=8, 又因为ON为4陌的的中位线，所以|ON|=丄MF2=4,故答案为A.2说明：（1）椭圆定义：平面内与两定点的距

16、离之和等于常数（大于応场|）的点的轨迹叫做椭圆.椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，叫M用+ |M可=勿，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.例16巳知椭圆巧+】，试确定加的取值范围，使得对于宜线严45,椭圆C上有不同的两点 关于该直线对称.分析：若设椭圆上A , 3两点关于直线/对称，则已知条件等价于：（1）直线A8丄/： （2）弦A3的中点M在/上. 利用上述条件建立加的不等式即可求得加的取值范围.M：（法1）设椭圆 A（Xj, jj）, B（x2 , y2）两点关于直线/对称，直线AB与/交于M（x0 , yQ）点1y = x-b/z,4 消去y得 lT+T = tu、 8/7

17、 r 0X|+X4/7112Cl Jo a-. +=. 疋 X。= ）o = o + ” =13213 J 41313m .4./mm产4,设直“的方程为由方程组13x2 -8/7-T+167?2 -48 = 0即点M的坐标为牢罟213）.点M在直线y = 4x+m上， = 4x巻+也.解得n =2/13将式代入式得13x2 + 26戏+169m2-48 = 02 m 1313V A, B是椭圆上的两点, 4 = （26加尸一4x13（169加彳一羽）o.解得一 13413（法 2）同解法 1 得出 =m , /. x0 =（m） = 一7,413 4113113_y0 =-x0 - m =

18、-3m , 即M 点坐标为（.皿为椭圆上的两点，点在椭圆的内部，畔+科213213解得一肓5卞（法3）设心 J）, B（x2 , y2）是椭圆上关于/对称的两点,直线与/的交点M的坐标为（儿，九）： A 9 B在椭圆上!亠二f = 1 I三一=1两式相减得3（召+丟）（召一兀,）+ 4（y】+ “X” 一儿）=0,4343-即 3 2q （X 吃）+ 4 2 儿（yI y2） = -= 一学1 （加 H 花）.州一七 4儿又直线 ABL/, 忍匕=一1, 竺4 = 一1,即 y0=3x0 。4儿又M点在直线/上儿=4入+川。由 得M点的坐标为（一加，一3加）以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A, B关于直线/恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以釆用列参数满足的不等式:(1) 利用直线48与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的 判别式厶。，建立参数方程.2 , 2(2) 利用弦AB的中点M(x,yo)在椭圆内部，满足+-XX1 左)+ 4(比 +)(1 ”)