小学奥数-整数裂项

1、小学奥数 - 整数裂项对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消，从而达到 “以短制长 ”的目的。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。后延减前伸 差数除以 n例 1、 计算 1 x2+2 0+3x4+4x5+ + 98x99+99 x100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5

2、98、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为 1 ，因数个数为 2 。1x2= (1x2-0mx2) + (1不)2q二(2 0x4-1 x2) + (1不)3x4= (3 4x5-2 3x4) + (1 不)4x5= (4x5x6-3 x4x5) + (1x3)98 x99= (98x99 x100-97 x98 x99) + (1 x3)将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为(99 x100 m01-0 x1 x2) -h3o解：1 x2+2 x3+3 4+4 x5+ +98 99+9

3、9 x100=(99 x100 m01-0 x1 x2)高3=333300例 2、 计算 3 x5+5 x7+7x9+ + 97 x99+99 m01分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、997、99、101 ,先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2,因数个数为2。3x5= (3x5x7-1 3x5) + (2x3)5x7= (5 x7x9-3x5 x7) + (2 x3)7x9= (7 x9x11-5x7 刈)+ (2 刈)97 x99= (97 x99 x101-95 x97 x99) + (2 x3)99 x101= (99 m01

4、x103-97 x99 x101 ) + (2 x3)将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。解：3 x5+5 x7+7 m+ +97 x99+99 x101=(99x101 m03-1 x3x5) + (2x3)=1029882 书=171647例 3、 计算 1 4 + 3 m x5+ + 96 x97 x98 + 97 m8 99分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列 1、2、3、4、598、99、100,先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为 1,因数个数为3。1 x2 x3= (1 x2x3 4-0 x1 x2x

5、3) + (1 x4)2 m x4= (2 x4x5-1 x2x3x4) + (1x4)3 4 x5= (3 4x5 6-2 x3x4x5) + (1 x4) 96 x97 x98= (96 x97 x98 x99-95 x96 x97x98) + (1 x4)97x98 x99= (97 x98 x99 x100-96 x97 98 x99) + (1 %)右边累加，括号内相互抵消，整个结果为(97 98 x99 x100-0 x1 x2 ) + (1 4)。解：1 x2 x3+2 3 4+3 x4 x5+ +96 x97 98 /97 x98 x99=(97 x98x9900-0 x1x2

6、x3) + (1x4)=23527350例 4、 计算 10m 6 x22+ 16 x22 x28+ + 70 x76 82 +76 x82 x88分析：算式的特点为：数列公差为 6,因数个数为3。解：10 x16x22+16 x22 x28+70 x76 x82+76 x82 x88=(76 x82 x88 x94-4 m0x16 x22 ) + (6 4)=2147376通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积

7、。将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以no n取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。例 5、 计算 1 x1+2 x2+3 x3+ +99 99+100 x100分析：n 刈=(n-1) xn+n解：1 m+2 x2+3 x3+ +99 x99+100 x100=1+ (1 x2+2) + (

8、2 3+3) + (98 x99+99 ) + (99 m00+100 )=(1 x2+2 x3+ +98 x99+99 x100 ) + (1+2+3+ +99+100 )=99x100 x101 3+ (1+100 ) x100 2=333300+5050=338350例 6、计算 1 x2+3 x4+5 x6+ +97 98+99 x100分析：(n-1)刈=(n-2) xn+n解：1 x2+3 x4+5 6+7 x8+97 98+99 x100=2+ (2x4+4) + (4 对+6) + (6 刈+8) + (96 x98+98 ) + (98 m00+100 )=(2x4+4 x6

9、+6 x8+96 x98+98 x100 ) + (2+4+6+8+ +98+100 )=98x100 x102 令+ (2+100 ) x50 登=169150例 7、计算 1 m x1+2 x2 x2+3x3 x3+99 x99 x99+100 x100 x100分析：n 刈 xn=(n-1) xn (n+1)+n解：1 m x1+2 x2 x2+3 x3 x3+ +99 x99 x99+100 x100 x100=1+ (1x2 x3+2) + (2x3 4+3) + (98x99 x100+99 ) + (99 x100 m01+100 )=(1 x2 x3+2 x3 m+ +98 x

10、99 m00+99 x100 x101 ) + (1+2+3+ +99+100 )=99 m00 x101 x102 %+ (1 + 100 ) x100 2=25492400-可编辑修改-2、计算 2 x4x6+4 x6x8+94 96 98+96 x98 x100解：1 x3+2 4+3 x5+4 x6+98 m00+99 x101=(1x3+3x5+99x101) + (2 x4+4 6+98m00)=(99m01 x103-1 x3x5) %+1 x3+98 x100 x102 %=171650+166600=338250例 9、 计算 1+ (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4+ +100)解：1+ (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4+ +100)=1 x2登+2 x3 攵+3 %攵+100 m01 登=(1 x2+2 x3+3 x4+100x101)也=(100 x101 x102 攵=171700将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。小学不可为，首项先甩掉。平方和立方，变形再裂 项。式长要转化，类比解决它。口诀需熟记，灵活