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文档简介

1、、内容和内容解析1 .内容二次函数与一元二次方程.2 .内容解析“一元二次方程和二次函数是”是“数与代数”领域中重要的内容,其内容的复杂性、综合性和思想性都很强, 在第三学段占有重要地位. 本节,是在学生学习了二次函数的概念、 图象、性质的基础上,让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系,为后面要学习的实 际问题与二次函数等相关知识做好铺垫,起着承上启下的作用.在教科书中,首先回顾了从一次函数的角度看一元一次方程的有关内容,在此基础上提 出了课题,认识二次函数与一元二次方程的联系.为了更好地理解本节课的内容,教材编写 者设置了一个小球飞行问题.在这个问题中,将小球飞行的某一高度的值代入到函数

2、解析式 中,就得到了一元二次方程,使所要解决的问题转化为解一元二次方程.由此引出,已知二次函数的值求自变量的值,可以看作解一元二次方程;反过来,解方程 苏+尿+匕=。可以看作已知二次函数的值为0,求自变量x的值.然后利用二次函数的图象讨论一元二次方程.接着教科书中,由“思考”栏目引出,二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标是相应一元二次方程的根;二次函数的图象与x轴的三种位置关系对应一元二次方程根的三种情况.最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的方法,并且 给出了一定精确度下的近似根的一般处理访求.通过本节课,使学生能够用二次函数的图象 求相应的一元二次方程的解,理解一元二次方

3、程的解可以有其几何直观表示.这种形与数的 结合,可以加深对二次函数和一元二次方程的联系认识.基于以上分析,确定本节课的教学重点为:了解一元二次方程的根的几何意义;知道抛 物线与x轴的三种位置关系与一元二次方程的根的三种情况的对应关系;会利用二次函数的 图象求一元二次方程的近似根.二、目标和目标解析1.教学目标(1)经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,了解一元二次方程根的几何意义;(2)理解抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系;(3)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.2.目标解析(1)对于二次函数 献+3r+c的图象与x轴交点的横坐标,学生能够理解其实质

4、是一元二次方程= o的解;同样对于一元二次方程 4/= o的解,可以看 作是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,两者是统一的.因此可以用二次函数的图象求相应的一元二次方程的解,一元二次方程的解可以有其几何直观表示.(2)理解方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根,与其所对应的二次函数 的图象与x轴的交点个数分别为两个、一个和没有之间的关系.(3)针对一元二次方程,如果其有实数根,则学生能将其转化为画对应的二次函数图象, 并通过读图象与x轴交点,估计方程的根.三、教学问题诊断分析学生在前面的学习中,已经学习了一次函数与一元一次方程的关系,能够利用图象解一 元一次方程及不等式(组).本节课,

5、学生可以利用类比方法继续学习二次函数与一元二次 方程的关系.这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识,另一方面又可以运用二 次函数解决一元二次方程的有关问题.由于二次函数、一元二次方程较一次函数、一元一次 方程在复杂性、综合性和思想性上都有所加强,因而其学习和理解的难度相应加大.特别是 二次函数了二酸的图象与x轴交点的个数与所对应一元二次方程 加+ c = o 的解的个数之间的关系, 学生理解起来比较困难. 突破这一难点,可以借助信息技术手段. 例 如,解方程。/+改+”0时,用几何画板软件画出相应抛物线4+bx+e显示抛物线与x轴的公共点的坐标, 就能得出相应方程的根, 如果对应的抛物

6、线与 x轴没有公共点, 则说明一元二次方程没有实数根.本课的教学难点是二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程的根的个数之间的关系.四、教学过程设计(一)复习提问,明确结论i .解一元一次方程 1+1二0;2.画一次函数了=1 + 1的图象,并指出函数 j = l + 1的图象与x轴有几个交点,交点 的横坐标是什么?问题1 一元一次方程与一次函数有什么联系?师生活动:学生解方程和画图象,回顾一元一次方程与其对应一次函数的关系,明确关于x的一元一次方程的解就是一次函数y=就的图象与x轴有交点的横坐标;反之也成立.【设计意图】通过回顾一次函数与一元一次方程的联系,为后面用类比的方法继续探索 二次函

7、数与一元二次方程的联系做铺垫.培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品 质.(二)创设情境,探究新知问题1通过展示y=x2+2x y=x 2-2x+1 y=x 2-2x+2等函数的图像,引导学生根据图像说出 三条抛物线与 x轴的交点情况,学生通过观察的结论分别是,二个交点,一个交点,无交点,再引导学生判断一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0, x2-2x+2=0根的情况,通过计算,学生会发现方程x2+2x=0有两个不等的实数根,x2-2x+1=0有两个相等的实数根,x2-2x+2=0无实 数程师:同学们,你们通过观察二次函数图像与x轴的交点个数与判断对应的一元二次方根的情况能得

8、出什么结论吗?生:二次函数 y=ax2+bx+c图像与x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的个数有关系。师:对,那么具体有什么样的关系呢?让学生画出二次函数 y=x2-6x+8的图像,并计算一元二次方程x2-6x+8=0的根,让两个学生上黑板画图像与计算。根据学生画出的图像与求出的一元二次方程的根,引导学生思考 二次函数与x轴交点的横坐标与一元二次方程根的关系。师:同学们,从图中我们可以看出二次函数与x轴(直线y=0)交点的横坐标这个一元二次方程的两个根是一样的,所以你们的结论是什么?生:二次函数 y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。师:

9、很好,那么现在请根据你们得出的结论完成下面几道练习。师:完成的真不错,现在我们已经知道二次函数与一元二次方程的关系了,下面我们继 续探究一下一元二次方程与二次函数之间的联系。(三)问题探究,深入思考引导学生计算一元二次方程 x2-4x+4=0的根,提供二次函数 y= x2-4x+4图像,学生通过 计算与观察图像得出“方程 x2-4x+4=0的两个根就是二次函数 y= x 2-4x+4=0图像与x轴交点 的横坐标。进一步引导学生体会数与形的关系。师:那么一元二次方程x2-4x+4=1的根是多少呢?你能在我提供的二次函数y= x 2-4x+4图像中找到它的根吗?生:一元二次方程x2-4x+4=1的

10、根是二次函数 y= x2-4x+4图像与直线y=1交点的横坐标。师:是这样吗?请验证你们的猜想。学生通过求解一元二次方程的根证实了他们自己的猜想,并得出最终结论。生:一元二 次方程ax2+bx+c=k的根是二 次函数y=ax2+bx+c图象 与直线y=k 交点的横坐标。【设计意图】让学生通过观察函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的根的关系,并体会一元二次方程根的个数与二次函数与x轴交点的个数的关系.让学生充分感受到“数形结合”的数学思想.(四)归纳总结,形成结论例1,教师通过展示问题函数的图象y=ax2+bx+c如图所示,那么(1)关于ax2+bx+c=0的一元二次方程的根的情况是()(

11、2)关于ax2+bx+c=4的一元二次方程的根的情况是()(3)关于ax2+bx+c=2的一元二次方程的根的情况是()【设计意图】让学生以观察函数图像的方式来判断几个一元一次不等式的根,体会函数 图像与直线y=k的交点个数与对应的一元二次方式根的个数的关系,以此来再次巩固刚刚得 出的结论。例2,竖直上抛物体的高度 h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+40t表示考虑以下问题:(1)球的飞行几秒落地,你有几种解法?(2)何是小球距离地面的高度为60,你有几种解法?(3)方程-5t 2+40t=80的根的实际意义是什么?【设计意图】 让学生直观感受生活中的现象,体会数学来源于生活,激发学生的学习兴趣.通过四个问题的逐渐加深,把二次函数和二次方程联系起来,直观的感受到二次函数和二次方 程之间的联系.例3,师: 你能根据刚才的探究,完成下列表格吗?二次函数y =+ c的图象和x轴交点个数-tt二次方程ar2 + 历+r 二。的根-tt二次方程纵,历+二0根的判别式 a =b2-4 ac2两不等实数根a 01两相等实数根a = 00无实数根a

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