专题：椭圆的离心率解法大全

1、 ，利用定义求椭圆的离心率 1,已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 2,椭圆 4 2 1的离心率为 解析当焦点在x轴上时, 专题：椭圆的离心率 e c 或 e2 a 2倍，则椭圆的离心率 e m 3 ；当焦点在y轴上时，m 4 b0）的右焦点为Fi,右准线为li,若过 Fi且垂直于x轴的弦的长等于点 Fi到l i的 距离，则椭圆的离心率是1。 2 ，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e 1,在 Rt ABC 中, A 90 , AB AC 1，如果一个椭圆过 A B两点，它的一个焦点为 C,另一个焦点在 AB上，求这个椭圆的离心率e . 6 、3 2,如图所示,椭圆中心在原点,F是

2、左焦点，直线AB1与BF交于D,且 BDB190 则椭圆的离心率为（） 解析b ( b)1 a2 c2 ac e a c2 .5 1 3,以椭圆的右焦点 F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M N两点，椭圆的左焦点为Fi,直线 MF与圆相切，则椭圆的离心率是,3 1 变式（1）:以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O并且与椭圆交于M N两点，如果 I MFI = I MO，则椭圆的离心率是 0）的两焦点为 R、F2，以 F1F2为边作正三角形, 若椭圆恰好平分正三角形的两边，则 椭圆的离心率e 解：T | F1F2 | =2c | BF | =c | BF2 |

3、 = 3c c+ 2 2 x y 变式(1):椭圆+ bL=1(ab 0)的两焦点为 R、 3c=2ae= = 、3-1 F2，点P在椭圆上，使 OPF为正三角形，求椭圆离心率 解：连接 PF2 ,贝y | OF | = | OF | = | OP | , / F1PF2 =90 2 2 x y 变式(2) 椭圆于 +七丁=1(ab 0)的两焦点为F1、 a b 图形如上图，e= 3-1 F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且 PF丄X轴, PF2 / AB,求椭圆离心率 b2 PF1 | =| F2 F1 | =2c | OB| =b | OA | =a a y5 e= T PF 2

4、 / AB /. | | fFF1 F | = a | F2 F1 | a 又/ b=a2-c 2 2-2 二 a =5c 变式（3）: 将上题中的条件“ PF2 / AB”变换为“ PO / AB （O为坐标原点）” 2 2 x y 相似题：椭圆+ =1（ab 0） , A是左顶点，F是右焦点, B是短轴的一个顶点，/ ABF=90 ，求 e 解：| AO| =a | OF| =c | BF| =a | AB I = , a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c) 2 =a 2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以 a2 e 2+e-1=0 e=上严e= 号（舍去） x?21+

5、 f5 变式（1）：椭圆 才 + *亍=1（ab 0） , e= , A 是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求/ABF 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边, 学1的椭圆为优美椭圆。 由余弦定理解决角的问题。答案: 90 引申：此类e= 性质：（1） / ABF=90 假设下端点为 B ,则ABFB四点共圆。 (3) 焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 2 2 变式（2）:椭圆1（ab0）的四个顶点为 A、 a2b2 、51 B C、D,若四边形 ABCD勺内切圆恰好过椭圆的焦点，则 椭圆的离心率e= 提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c,又等于直角三角形 AOB斜

6、边上的高，.由面积得：ab r . a 2 b2 , 2 2 4,设椭圆宁話（a b。）的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点 P,使 F1PF2 90，求离心率e 的取值范围。 解：设 P x,y , F,c,0 , F2 c,0 法1:利用椭圆范围。 由 Ff F2P得x2y2 c2，将这个方程与椭圆方程联立，消去 y,可解得x2 2 2 a c 2 a a2b2 P 2 2 2 a (c a ) 。 e 由椭圆的性质知0 x2 a2，得以e 手,。 附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法 1类似） 法2:判别式法。 由椭圆定义知PFIPF2I 2a |PFi|2 IPF

7、2I2 2IPF1IIPF2I 2 4a，又因为 F1 PF 90 22 可得 |PF1 | PF2 | 2 2 2 |F1F2| 4c，则 |PF1 | PF2 | 2(a 2 2 c ) 2b , pf2是方程 z2 2az 2b20的两个根，则 4a28(a2 c2) e2 2 c 2 a 解法3：正弦定理 设记 PF1F2 PF2 F1，由正弦定理有 IPF1 | |PF2| I F1F2 I IPF1I IPF2I sin sin sin 90 sin sin IF1F2I 又因为| PR | PF2 2a, F1F2 2c，且 90 sin 1 sin 所以丄e 1 sin cOs

8、 2s( 2 - 则厘 sin( -)1 , 1. 2sin( 4424 -) 2 解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有2a | PF1| |PF2|平方后得 2 2 2 2 2 2 2 4a|PFi| HI 2|PFi|PF2| 2(|PFj 压| ) 2IRF2I 8c 2 / 得笃-所以有e ，1) a 22 解法6:巧用图形的几何特性 由 Fi PF2 90，知点P在以IF1F2I 2c为直径的圆上。 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点 P，故有c bc2 b2 a2c2 2 2 x y 变式(1):圆尹 + *L=1(ab 0)的两焦点为 Fi (-c , 0 )、 F2 (c,

9、0), P是以丨FiF2丨为直径的圆与椭圆的一个交 点，且/ PF1F2 =5 / PFzFi ,求椭圆的离心率 分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。 解：由正弦定理: | F1F2 | sin F 1PF I FiP| sin F 1F2P PF2 sin PF1F2 根据和比性质: | FE | = sin F 1PF F1P | + | PF2 | sinF 1F2P+S in PF 1F2 变形得: / PF1F2 =75 / PF2F1 =15 o e= sin90 sin75 o +sin 15。 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 I F1F2 | I PF

10、 | + | F1P | =3 sin F 1PF2 sin F 1PF2 sin F 1F2P +si n PF 1F2 2c =e 2a e= sin F 1F2P +sin PF 1F2 2 2 x y 变式(2):椭圆 h +=1(ab 0) a b 的两焦点为F1(-c , 0)、F2 (c,0), P是椭圆上一点，且/ F1PF2 =60 o，求 椭圆离心率e的取值范围 分析：上题公式直接应用。 解：设/ F1F2P=a，则/ F2F1P=120o e= sin F 1PF2 sin 60 sin F 1F2P +sin PF 1F2sin a +sin(120 1 1 2sin(

11、 a +30 o )2 1 .产 eb 0)的两焦点为 F1 a b (-c , 0)、F2 (c,0)，满足MF =0的点M总在椭圆内部，贝U e 的取值范围 分析：MFj 解： c2c 如图所示 ,画图可知点 M的轨迹是以 M在圆O上，与椭圆没有交点。 BF?为直径的圆，则它在椭圆内部 c bc2 b2 e2- ；0 2 1 2 x 8,椭圆r a 2 + =1(ab 0) 的两焦点为F1 (-c ， 0)、 F2 (c,0) ，P为右准线 2 a L: x= 上一点，F1 P的垂直平分线 c 恰过F2点, 求e的取值范围 分析：思路 1,如图FF与F2M垂直，根据向量垂直，找 a、 b、

12、 c的不等关系。 思路2:根据图形中的边长之间的不等关系，求 解法一: 既（若 F1(-c , 0) F 2 (c,0) P( 2 a 则 PF1 =-(+c, y c M( 2 a -c cy0 厂,4 ME =-( 2) 2) b2 2c_-c, 2 a (-+c) ( J 2 ) b2 -c)+ 2c丿 PFi MF =0( 2 a c+c, y 0 ) b2 (莎-c, 2 )=0 解法 2:| F1F2 2 牛=0a2-3c 2w 0 =2c 2 a I PE |-c c 2 小a 则2c-c c 3c w e3c a c 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二

13、是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运 用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家 注意。 9,如图，正六边形 ABCDE的顶点A D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 心率的取值范围是 3 1 C E、F均在椭圆上，则椭圆离 解：以AD所在直线为X轴，AD中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为 r,则椭圆的半焦距c r，易 知AAOF为等边三角形， c仝 2, 2 2 c 2 a 3c2 a 4，即: 3e2 1 e2 e2(1 e2 3e2 4(1 e2),e4 8e24 C），代入椭圆方程 1 , e 1, ,3 法二：如图，

14、连结 AE, 易知 AED 900 ，设AD 2c,则EA 3c, ED c，由椭圆定义, 有: EA ED 2a , 1)c 2a, 2 x 10，椭圆尹+ 2 y bL=1(ab 0)，过左焦点 F1 且倾斜角为60的直线交椭圆与 AB两点，若| FA| =2 | BF | ,求 椭圆的离心率 e的值 解：设| BF | =m 贝U| AF | =2a-am | 在厶AFF2及厶BF1F2中, 由余弦定理得: I =2a-m -c2=m(2a-c) 2 2、 BF2 2 a 2(a 2-c 2)=m(2a+c) 2a c 1 两式相除：+= 2 2 e=3 练习题: (a b 0）上有一点

15、 M F1, F2是椭圆的两个焦点，若 MF 1 MF2 2b2 ，求椭圆的离心率 解析：由椭圆的定义，可得 MF 1 MF2 2a又 MFh MF2 2b2，所以IMFMF是方程 2 2 2 2 x 2ax 2b 0 的两根，由 (2a)4 2b 0,可得 a2 2b2，即 a2 2(c2 a2)所以 e -, a 2 所以椭圆离心率的取值范围是?,1） 2 3 2, 在厶 ABC 中，A 90/, tan B .若以 A, 4 AB 解析AB 4k, AC 3k, BC 5k,e AC BC 3, 已知FF2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若 B为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率e

16、 2 PFi F2 : PF2F1 : F1PF2 1： 2:3,贝毗椭圆的离心率 解析31 三角形三边的比是1：3:2 4,在平面直角坐标系中，椭圆 22 x y. 22 1( a b a b 0）的焦距为 2 a 2，以O为圆心，a为半径的圆，过点,0 c 作圆的两切线互相垂直, 则离心率 2 解析乞 .2a c 2 2 5，在厶ABC 中, 30,|AB| 2, S ABC 3 .若以 A B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 S ABC 2|AB| 2 | AC | si nA . 3 |AC| 2.3 |BC| J AB

17、|2 |AC |2 2| AB| | AC | cos A 2 |AB| | AC| |BC |2.3 2 2 y 仝 1(a b 2 6，已知椭圆冷 a b 0）的左、右焦点分别为 sin PF1F2a F1cc,。，若椭圆上存在一点P使而崩c， 则该椭圆的离心率的取值范围为 解析 在 PF1F2中，由正弦定理得 PF2 PF1 则由已知，得 a c ，即 aPF1 cPF2， PF1 sin PF1F2 sinPF2R PF2 PF1 c -PF2，由椭圆的定义知 a |PF1 PF2 2a， |PF2 a PF2 2a， 即PF2 2 2a ，由解法三知c a PF2 2 2a a c2 1 e 1 椭圆的离心率 e . 2 1,1。 c a c a 7,已知椭圆m：% 詁1(a b 0)的左、右焦点分别为Fi c,0 , F2 c,0 , P为椭圆M上任意一点，且科龙 的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c ab2，则该椭圆的离心率的取值范围为 2 心 y。X0 2 2 y c，而 解析:设P X