第一数学归纳法及其应用毕业论文

1、 2012届本科毕业论文第一数学归纳法及其应用院（系）名称数学科学学院专 业 名 称数学与应用数学学生姓名 学号 指导教师 完 成 时 间2012.5第一数学归纳法及其应用 摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一, 这不仅因为其中大量问题都与自然数有关, 更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程. 本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述. 重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路, 以及在求解数学问题中的应用和技巧.关键词：归纳法 第一数学归纳法 不等式 数列1 引言 对于数学归纳法的研究国内已有不少论文, 这些论文在具体方面做了详

2、尽的论述. 同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼. 我国的数学期刊或数理杂志, 如数学教育报, 数学通报, 数学通讯等, 刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题. 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法, 也是中学数学一个非常重要的内容, 用于证明与无穷的自然数集相关的命题. 但凡涉及无穷, 总会花费数学家大量时间与精力, 去理解并弄清它的真正意义. 普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”, 自然也需要一个漫长的认识过程.在16世纪晚期, 数学归纳法开始出现在代数中. 1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1

3、575）在他的著作算术中就提出了这种方法, 并证明了, 虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底, 例如经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎, 但是可以说莫洛里克斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家, 一般认为, 历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）, 1654年, 帕斯卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整数时的二项式展开式的系数公式, 从而得到有名的帕斯卡三角阵. 继帕斯卡之后, 数学归纳法就成为数学家们手中得心应手的工具, 如在费马（1601-1665）、伯努力（1654-1705）、欧拉（1707-1783）这些大数学家们

4、的出色工作中, 都可以找到数学归纳法的例子, 1889年意大利数学家皮亚诺(cpeano, 18581932, 意大利)发表算术原理新方法, 给出自然数的公里体系, 使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础现在开始我们重新认识一下数学归纳法. 2 数学归纳法的原理2.1 归纳法在现实中的一些运用先从少数的事例中摸索出规律来, 再从理论上来证明这一规律的一般性, 这是人们认识客观世界的方法之一. 不论在数学上, 或在其他场合, 从对一系列具体事物的考察中引出一般性结论的推理方法或过程, 叫做归纳法. 人们从有限的经验中得出经验性的结论是屡见不鲜的, 在这个过程中人们自觉或不自觉地运用了归纳法.

5、许多闪烁着人类思想光芒的谚语、成语、格言等, 都是应用归纳法的产物. 如“兵贵神速”、“骄兵必败”, 都是对战争的胜负规律的一种认识, 同样“滴水石穿”、“有志竟成”是人们考察了古往今来许多有成就者的经历后得出的. 2.2 数学归纳法的本原理解了归纳法我们再具体到数学中来, 以识数为例. 小孩子识数, 先学会数1个、2个、3个, 过些时候, 能够数到10了, 又过些时候, 会数到20, 30, 100了, 但后来, 就不再是这样一段段地增长了, 而是飞越前进. 倒了某个时候, 他领悟了, 就什么数都会数了, 这一飞跃, 竟是从有限到无穷!怎样会有这种方式呢? 首先, 他知道从头数; 其次, 他

6、知道一个一个按次序数, 而且不愁数了一个以后, 下一个不会数, 也就是领悟了下一个数的表达方式, 可以由上一个数来决定, 于是, 他也就会数任何数了. 解释这个飞跃的原理就是, 正是运用了数学归纳法的思想, 数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物, 由简到繁, 由有限到无穷. 1979年6月9日, 在英国伦敦, 一群记者和上千名观众静静注视着一个人,急切的等待着一项基尼斯世界纪录的诞生. 这个人就是迈克凯尼, 他用13天的时间, 用了169713块骨牌搭出一个长达6900米的多米诺牌阵, 当迈克凯尼走到第一块骨牌前, 用手轻轻推到它时, 奇迹出现了将近17万张骨牌组成的长达6900米的多米诺阵在

7、半小时内统统颠覆. 这就是神奇的多米诺现象, 在这个过程中要使所有的骨牌倒下必须满足两个条件, （1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌, 只要前一块倒下, 后一块必定倒下. 这样我们就会发现这与数学中一个极其重要的证明方法数学归纳法如出一辙. 并且摆多米诺阵的人应该注意的关键问题竟然也和使用数学归纳法的人应该注意的关键问题神似韵合. 2.3 命题的长蛇阵在前面我们屡次提到数学归纳法, 那么究竟什么是数学归纳法？我们现在先看一个命题. 试证：在一个正方形的纸上有个点, 已知这个点连同正方形的4个顶点, 其中任意3点都不共线试证：至多可以剪得顶点属于上述个点的三角形纸片个我们可以把这个命题看

8、成是无穷多个命题组合而成, 这无穷多个命题列举如下：命题1：在一个正方形纸上有1个点, 已知这5个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉5个点的三角形4个. 命题2：在一个正方形纸上有2个点, 已知这6个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉6个点的三角形6个. 命题3：在一个正方形纸上有3个点, 已知这7个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉7个点的三角形8个. 命题：在一个正方形纸上有个点, 已知这个点中任意3点都不共线证明：至多可以剪得顶点属于上诉个点的三角形个. 命题:在一个正方形纸上有个点, 已知这个点中任意3点都不共线, 证明：至多

9、可以剪得顶点属于上诉个点的三角形个. 上述无穷多个命题排成了一个命题的长蛇阵, 它像无穷多个骨牌, 一个接着一个的摆放在那里. 如何证明这无穷多个命题呢？命题1的证明：当正方形内有一点, 且五点不共线, 则可以如图1所示, 得到4个三角形. 命题1得证. 命题2的证明：根据命题1, 当正方形中有2点, 则另外一点一定在上题所分的4个三角行中任一个中, 假设如图2所示, 则可看作这一点把其中一个分成3个, 即多了2个, 有6个, 命题2得证. 命题3的证明：根据命题2, 当正方形中有3点, 则另外一点一定在上题所分6个三角形中任一个中, 假设如图3所示, 则可看作是这一点把其中一个分成了3个,

10、即多了2个, 共有8个, 命题3得证. 继续这个过程, 我们可以依次证明命题4、命题5、. 也就是说, 我们可以证明这一系列命题中的任何一个命题. 因此, 一开始给出的命题, 当是任意自然数时都是正确的. （图1） （图2） （图3） 2.4 什么是数学归纳法在上一部分, 我们把一个与自然数有关的命题写成一个命题长蛇阵, 然后依次来证明, 这种方法显然给人一种繁琐的感觉. 但是我们可以看到, 从命题2开始, 命题长蛇阵中的每一个命题都是在前一个命题成立的基础上被证明的, 并且证明的方式很类似. 也就是说, 命题是在命题成立的基础上被证明的. 因此我们处理长蛇阵的方法可以改用以下两步：1.证明命

11、题1成立;2.根据命题成立, 推出命题成立. 这样根据第二步可知以后每个命题都成立. 可见, 有这两步已经足够了. 如果把命题长蛇阵里的一个命题比作一块骨牌, 那么第二步就像把这些骨牌统统摆到了能产生“多米诺”现象的位置, 第一步恰如用手指轻轻地推倒了第一块骨牌. 仅用这两步就可以使命题长蛇阵中的每一个命题一个接一个的自动证明. 一般来说, 一个与自然数有关的命题可以看成是一个命题长蛇阵. 时为命题1, 时为命题2, 依次类推. 因此, 在证明一个与自然数有关的命题时, 可以采用以下两步： 证明时命题成立； 证明：如果时命题成立, 那么时命题也成立. 这种证明方法就叫做数学归纳法. 这种方法也

12、可以概括为：“1对；假设对, 那么也对”. 这种概括是著名数学家华罗庚提出来的. 2.5 数学归纳法的历史与原理在前面的论述中我们从游戏入手已经基本理解了数学归纳法的基本思想和主要步骤, 那么什么事保证数学归纳法的正确性呢？数学归纳法的背景是什么呢？在这里我们简要地介绍一下数学归纳法的理论背景. 意大利有一个数学家, 名叫皮亚诺(cpeano, 18581932, 意大利), 他总结了自然数的有关性质, 并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理, 后人称为“皮亚诺公理”. 1是一个自然数； 1不是任何其他自然数的后继； 每个自然数的后继是自然数； 若两个自然数的后继相等, 则这两个自然

13、数也相等；（归纳公理）自然数的某个集合若含有1, 而且如果含一个自然数就一定含有这个自然数的后继, 那么这个集合含全体自然数. 其中公理5被称为归纳公理, 是数学归纳法的逻辑基础自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性, 所以也可以把数学归纳法当作公理来看待. 所谓公理不是已知数学理论的逻辑推理的产物, 而是未经证明的产物, 其承认的的根据是生活实践. 3 第一数学归纳法第一步：当时, 等式成立;第二步：假设当时, 这个等式是成立；也就是假设 3.1 第一数学归纳法的步骤及其误区下面我们具体论述第一数学归纳法的步骤. 设是一个含有自然数的命题, 利用第一数学归纳法的证明步骤是：验证时成立

14、;假设时成立, 能推出时也成立. 根据（1）、（2）知, 对一切自然数,成立. 第一数学归纳法的第一个步骤是奠基, 是命题论证的基础；第二个步骤是归纳, 是命题的正确性能够由特殊递推到一般的依据. 这两个步骤密切相关, 缺一不可. 如果只有奠基步骤而没有归纳步骤则属于不完全归纳法, 因而论断的普遍性是不可靠的. 如果只有归纳步骤而没有奠基步骤, 则归纳的假设就失去了依据, 从而是归纳法步骤的证明失去意义. 甚至会导致一些错误. 下面我们来看几个例子. 误区一：忽略了归纳奠基的必要性. 例1 试证明.错证：假设时等式成立, 即,当时.则时等式成立.根据数学归纳法原理可知, 当是任意自然数时, 等

15、式都成立. 事实上我们知道这个题目本身就是错的, 但是我们竟然把错误的结论“证明”出来了, 此种怪现象出现的原因, 就是缺乏归纳奠基这一步. 切莫以为归纳基础这一步就是“当时命题正确”这么一句话, 似乎无关紧要, 可有可无. 从上例可以看出, 不去认真的验证这一步, 或者根本没有这一步, 都可能陷入错误之中. 误区二：忽略了归纳递推的必要性例2 求证:错证：当时, 得；这时等式成立. 假设时, 这个等式成立；也就是说假设.当时, 而 所以也就是说, 当时, 这个等式也是成立的. 归纳步骤完成, 结论成立. 乍看起来, 上面的证明似乎也用到了数学归纳法的两个步骤, 特别是也有了第二个步骤, 但事

16、实上, 在证明等式的过程中根本没有用到这个式子. 所谓从“”到“”的过程, 意思是必须把“”时的命题, 当作已经给定的条件（假设）, 在这个基础上来证明“”时的命题. 上面这个证明的过程中, 只不过是把要证明的公式加以“注解”而已, 等于什么也没有做. 正确的证法应该是：在这个等式两边都加上,得而.所以 .这就是说, 当时, 这个等式是成立的.归纳步骤完成, 就可以断定, 对于任何自然数, 这个等式都能成立. 误区三：忽略了归纳递推与归纳奠基之间的协同配合例3 试证任何个人都一样高.错证：当时, 命题变成“任何一个人都一样高”, 结论显然成立. 设时, 结论成立, 即“任何个人都一样高”, 那

17、么, 当时将个人记为,由归纳假设, 都一样高, 而也都一样高,故都一样高. 根据数学归纳法原理, 任何人都一样高. 显然, 例题3的题目是错误的, 但是错证中数学归纳法的步骤齐全, 这次的问题出在什么地方呢？我们注意到在上述归纳推理步骤中, 有一个步骤是这样的：“由归纳假设, 都一样高, 而也都一样高,故都一样高. ”仔细推敲, 不难发现, 这个推理只有在时才能成立, 而在时不成立. 这就是说, 尽管由时命题成立, 可以推出时命题也成立, 但是由时命题成立, 不可能推倒出时命题成立. 此例中显然还需要“时命题成立”作为它的归纳奠基, 这显然是不会成立的. 这道题问题就出在归纳递推步骤与归纳奠基

18、的协同配合. 上面举的几类错误地应用数学归纳法的例子, 实际上通过这些例子说明了应用数学归纳法应当注意的地方. 让大家明白数学归纳法的两个步骤是密切联系、缺一不可的. 3.2 数学归纳法的应用在上一部分我们说明了数学归纳法的步骤及误区, 并且我们可以知道数学归纳法是一些涉及自然数的论断, 我们可能会这样问：“是不是涉及自然数的论断都可以用数学归纳法呢？或者什么时候用数学归纳法呢？”这个问题较难回答, 主要是决定于问题的具体情况. 例如, 要证明对于任意自然数, 等式成立. 我们可以直接计算左边式子而得到证明. 又如, 如果,都是自然数, 要证明对于任意自然数, 有. 这里, 我们可以利用分数的

19、基本性质, 通过计算来证明这个不等式成立. 像这类问题就不必用数学归纳法. 但是对于那些无法直接计算而必须按从小到大的顺序逐步计算的式子, 要证明这些论断的正确性, 一般需要应用数学归纳法. 运用数学归纳法, 可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等. 下面说明数学归纳法在一些数学问题中的应用3.2.1 用归纳法证明代数恒等式例4 (全国高考试题)证明下列恒等式：证明：当时, 左边=；右边. 等式成立. 假设当时等式成立, 即当时, 说明当时等式也成立, 恒等式对任何正整数都成立. 3.2.2 用归纳法证明不等式例5 设, 用数学归纳法证：证明：

20、当时, , , ,所以, 假设时, 成立证明时, 也成立. 所以原命题成立. 3.2.3 用数学归纳法解决整除问题运用数学归纳法来证明整除问题, 是充分运用整除的性质, 即：则. 例6 证明能被11整除. 证明：当n=l 时, =能被ll整除. 假设时, 能被ll整除. 则当时, 由于能被1l整除, 能整除ll, 所以能整除ll. 即当时命题也成立. 根据数学归纳法第一步与第二步可知, 等式对一切成立. 3.2.4 运用数学归纳法证明与数列有关的命题例7 设数列的前项和为, 若对于所有的自然数, 都有, 证明：是等差数列.分析：要证明是等差数列, 可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式,

21、即证：. 命题与有关, 考虑是否可以用数学归纳法进行证明. 证明：设, 猜测. 当时, , 当时猜测正确. 当时, ,当时猜测正确假设当时, 猜测正确, 即：.当时,将代入上式, 得整理得因为, 所以, 即时猜测正确. 综上所述, 对所有的自然数, 都有,从而是等差数列. 评注：将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数成立的问题.在证明过程中的得出是本题解答的关键. 利用已知的等式,数列中通项与前项和的关系建立含的方程, 代人假设成立的式子解出. 另外, 不能忽视验证、的正确性,本题 用数学归纳法证明时递推的基础是时等式成立,因为得到的条件是. 3.2.5 用数学归纳法证明几何问题例

22、8 平面内有个圆, 其中每两个圆都相交于两点, 且每三个圆都不相交于同一点. 求证：这个圆把平面分成个部分. 证明：当时, 一个圆把平面分成两部分, , 命题成立. 假设当 时命题成立, 即个圆把平面分成. 当时这个圆中的个圆把平面分成个部分, 第个圆被前个圆分成条弧, 每条弧把它所在部分分成了两个部分, 这时共增加了个部分即个圆把平面分成即命题也成立. 根据数学归纳法第一步与第二步可知, 等式对一切成立. 从上面的一些例子可以看到, 数学归纳法在代数、几何等方面都有很广泛的应用, 当然这些例子只是九牛一毛, 例如运用数学归纳法证明三角函数的求和公式, 证明组合里的一些公式, 证明函数的各种性

23、质, 以及在微积分行列式一些证明中的应用等等. 总之, 遇到一个涉及自然数的问题的时候, 首先我们要考虑的是, 有没有简单直接的方法来把它算出来. 如果没有简单直接的方法, 就可以用数学归纳法来试试, 至于那些从对等情况递推而归纳出的结果, 它的正确性, 一般要用数学归纳法来证明. 4 第一数学归纳法的技巧应用数学归纳法证题, 易陷入困境的常在第二步, 解决这个问题并无万能方法, 应该遵循的基本原则：积极创造条件, 有效利用归纳假设, 巧妙变形过渡, 4.1 欲进先退若在由到的推导过程中陷入困境, 不妨先由 退到, 然后用归纳假设再进回到. 退的技巧有很多, 常用的有撤出、合并等. 4.1.1

24、 撤出例9 有个飞机场, 每个飞机场都有一架飞机, 各个飞机场之间的距离互不相等. 现让所有的飞机一起起飞, 飞向最近的机场降落, 求证必存在一个机场没有飞机降落. 证明：当时, 设3个飞机场为其中,则间的飞机必定对飞. 而不管机场的飞机飞向还是飞向, 都使机场无飞机降落. 现假设时命题成立, 当时, 由于机场之间的距离两两不等, 必有两处机场的距离是最近的, 这两处的飞机会对飞, 不会影响其他机场. 我们将这两个机场先撤出, 由归纳假设, 剩下的个机场中, 存在一个机场没有飞机降落, 再把撤走的机场放回, 则仍无飞机降落, 从而可知当时命题成立. 4.1.2 合并例10 设有个球分成了许多堆

25、, 我们可以任意选甲, 乙两堆来按照以下规则挪动：若甲堆的球数不少于乙堆的球数, 则从甲堆拿个球放到乙堆去, 这样算挪动一次, 求证:可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆. 证明：当时, 共有2个球, 若已成一堆, 则不必挪动；若分成两堆, 则挪动一次便可成功. 假设时命题成立, 当时,对于个球, 若将2个粘合成1个便退到个球的情况, 这种粘合要求每堆球的个数为偶数, 可讨论如下：若每堆球的个数为偶数, 则每挪动一次都挪动了偶数个球, 这样的任意一次挪动与将球两两粘合在一起挪动无本质区别, 从而等价与个球的挪动, 根据归纳假设, 这是可以做到的. 若存在球数为奇数的堆, 则由总球数为偶数知,

26、 有奇数的堆数为偶数, 将它们配对先挪动一次, 于是每堆球数都为偶数, 问题可以解决. 4.2 构造待添加的隐藏文字内容3在用数学归纳法证明某些问题时, 从到的证明中有时需要巧妙构造. 例11 对每个, 求证存在个互不相等的正整数,使得,对任意的成立.证明：当时, 取, 命题显然成立. 假设时命题成立, 即存在满足,记b为及它们每两数之差的最小公倍数,则个数,也满足, 即命题对时成立, 由数学归纳法知命题得证. 上例证明中从到的过渡用到了较高的构造技巧. 4.3 凑配有些问题从到证明过程中需要凑配出一些特定形式. 例12 设数列, 求证：当时, .证明：显然, 题设数列是正数列当时, , 而a

27、3=33=69, 所以, 原不等式成立. 假设时, 有,即, 当时,要证, 即要证, 由式两边分别乘以, 从而,两边消去, 得. 两边开次方即得. 即当时, 原式成立. 综上, 证得原命题成立. 上例证明第二步若要直接将代入是困难的, 因此用凑配法, 先在的两边乘以, 问题就迎刃而解了. 4.4 先猜后证有些题目的结论是不容易以下求得的, 根据特殊到一般的规律, 先从符合题意的最小基数入手, 探索, , 等个别特例的结果, 发现、总结其规律性. 对一般的自然数给出一个猜想, 再用数学归纳法论证这个猜想的正确性. 即先猜后证. 例13 设列的通项公式为求数列的前项和的公式. 解：因为, , ,至

28、此, 可以猜测数列的前n项和公式是 下面用数学归纳法证明. 当时由上述计算可知公式是正确的. 设公式当时正确, 当时,因为故公式当时也是正确的. 因此, 公式对一切自然数都成立. 即是数列an前项和公式. 这种求和方法观察-归纳-证明, 实质上是一种由不完全归纳到完全归纳的方法. 由于这种方法中, 的形式要从, , , 等几个数值中看出来, 因而对, , , 等几个数值的化简式变形就成了关键, 只有待其体现了某种规律时, 才有可能猜想出的形式. 4.5 顺势分流假如要做一件事, 一下子做不了, 我们不妨把其中能做的那一部分分出来先做了, 然后再去做剩下的一部分. 假如用数学归纳法证题, 一下子

29、证不出来, 我们不妨把其中能用数学归纳法的证明的那一部分分出来先证, 然后再去证明剩下的那一部分, 我们把这种方法叫做顺势分流, 即顺着数学归纳法之势, 将能做的与不能做的分开处理. 例14 试证：对于一切自然数, 都有.分析：当时结论显然成立, 设时结论成立, 即, 当时,此时发现, 仅当时,才有. 这就是说, 仅当时, 命题n=k+1成立. 因此我们不得不将的情况与的情况分开来处理, 具体的说, 我们可以采用以下的方式证题：直接验证时不等式成立, 即验证时不等式成立；用数学归纳法证明时不等式成立, 即验证“时对, 假设时对, 推证时成立”. 命题即可得证, 证明从略. 通过上述论证可以看出

30、, 数学归纳法的论证十分的灵活多变, 要完全掌握这一方法单靠死记硬背是行不通的, 关键是要培养自己的逻辑思维能力, 把握住归纳奠基与归纳递推所展示的逻辑链, 而逻辑思维能力是一个需要毕生精力不断苦练的功夫. 5 小结 通过上述论证可以看出, 数学归纳法是十分有效的方法, 也是一种认识可数无限集合性质的重要方法. 使用数学归纳法进行论证, 将会更深刻的理解所要论证的命题, 实现由有限到无限的飞跃. 当然, 并非一切与自然数有关的命题的证明都一定要采用数学归纳法, 有些命题虽与自然数有关, 但不用数学归纳法也可以证明. 另外, 对于有些问题运用数学归纳法比较简便, 而另一些问题则以不用数学归纳法较为方便. 因此在具体问题中, 何时运用数学归纳法比较简捷, 必须根据具体情况来确定, , 而题设命题的可数性则是用数学归纳法的必要条件. 总起来说, 数学归纳法的使用特点是：（1）用数学归纳法证明的命题必须与整数n有关, 这种关系有时是隐蔽的；（2）仅当命题p（n+1）与p（n）、p（n-1）、之间的关系易于发现时, 运用数学归纳法才容易成功. 总之, 尽管数学归纳法是一种证明方法, 但实质是递推思想, 只要把握住“递推”, 巧妙的进行命题转换, 以递推分析为住, 这样就可以理解其实质, 掌握证题技巧, 真正提高分析问题解决问题