正弦、余弦函数的对称性

1、正弦、余弦函数的对称性复习1 .函数f (x)的图像关于直线 x =a对称等价于f (a x) = f (a +x)2 .函数f (x)的图像关于直线(a,0)对称等价于f (a-x) = f (a+ x)二.研究f (x) = sin x的对称性探索：你能用诱导公式说明f (x) =sinx关于原点和(n,0)对称，关于直线x=工和x = 3l对称吗？(提示：如可用22sin(2nx) =sin x 说明 f(x)=sinx关于点(n,0)对称)总结：1 .正弦函数y =sin x(x w r)的对称中心是(knq/kwz),对称轴是直线x =k- k z ；余弦函数y =cosx(x w

2、r)的对称中心是1 kn + ,01(kwz),2对称轴是直线x = k二k z(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴(中轴线)的交点).2 .函数 f (x) = asin(cox + 中)或f (x) = acos(sx + 中)(ao #0)的对称性(1) f(x)关于直线 x=a 对称 u f(a)=a,f(x)的对称中心为图象与 x轴(中轴线)的交点(a,0) , f(a)=0说明：f(x)是奇函数之f(x)是偶函数u f (x) = asin(8x + 0) +b或f(x)=acosx+ *) +b (a = 0)的对称中心为图象与直线

3、x=b的交点(a,b),f (a)=b三.例题、练习题：1. (07福建文5)函数y =sin . 2x + 的图象()3a .关于点,0 i对称3、，一_八、冗b .关于直线x =一对称4 j冗c.关于点 -,0对称14 )、，兀d .关于直线x =一对称3(写出所有正确结论的编号 ). 2.(安徽文15)函数f (x) =3sin . 2x-工j的图象为c ,如下结论中正确的是311图象c关于直线x = u冗对称;12图象c关于点，2,0 i对称;3函数f（x）在区间匚，5i内是增函数12 12由y =3sin 2x的图角向右平移 个单位长度可以得到图象 c .33.函数y =sin2x的

4、图象向右平移邛（中0）个单位，得到的图象关于直线x=工对称，则邛的最小值为6(a)(b)11二（c） ue（d）以上都不对124. （2009全国卷i文）如果函数y =3cos（2 x十勒的图像关于点4 二（,0）中心对称，那么3任的最小值为jia.6b.ji4c.ji3d.5. （2009青岛一模）设函数f （x） =sin（2x + 土），则下列结论正确的是（）3a. f（x）的图像关于直线x= 三对称3b f（x）满足 f（4-x）=-吟+x）c.把f （x）的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像12d. f（x）的最小正周期为n ,且在0, 上为增函数610 已知函数 f (x)

5、=sin(2x-9)+1 满足 f (一 x) 3nnf ( +x),设 g(x) =cos(2x8 )+1 贝u g()=33课标要求 了解函数对称性、周期性的概念，能应用对称、周期的概念解决问题。考点回顾1 .函数f二（工）图象本身的对称性（自身对称）1、/。+1）=/（4-不） q/二的图象关于直线x = a对称。2、私）=/（21）01二/的图象关于直线；=&对称。3、氏和八2a+x） o j 的图象关于直线工二a对称。（7 + x） + （j - x） a-hb4、/（。+万=，。一了）丁二/。）的图象关于直线工2厂 对称。5、f（a + x）+/（） =2b q产/的图象关于点0功

6、对称。6、/m+f（2a-x） = 2i a二八工）的图象关于点&b）对称。7、ar）+/（勿+好=o”网的图象关于点以切对称。8、仅+ ）+*-1）=2c qj=/的图象关于点力-）对称。2 .两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数j=力#+1）与j =图象关于直线工二0对称。2、函数）=与=/（2。-期图象关于直线1二g对称3、函数）=一（一1）与j = /（2a + i）图象关于直线1二-a对称i-a4、函数了二了（。+彳）与广川一同 图象关于直线（a+x）-x）= 对称即直线2对称5、函数）二1f 3与 y=-a。 图象关于x轴对称。6、函数了

7、二/与了=/（一工）图象关于丫轴对称。7、函数/二/与/二-/（-）图象关于原点对称3 .函数的周期性1、+qj=/的周期为72、氏+。）=八计功）产加）的周期为4、0”丁。）的周期为t-2a5、仆=-看0）二/。）的周期为7=216、a二丁（工）的周期为7二2。7、/q+g=_ i/w+1o产/的周期为7二%3、o的周期为7二2口9、人3+ 2。） = /。+乃一/a ）=，6）的周期为了二&8、）二/a）的周期为7二%10、）二/（1）有两条对称轴1 = 4和i=b（a_ y2i=i则有2 2, 2 . 5,尸一为代入曲线c的方程，得士/的方程：sf = q_x7f即乃=（勒t）-（阳-）

8、+ s可知点*（孙必）在曲线c上反过来，同样证明，在曲线c上的点幺的对称点在曲线c上.因此，曲线c与c关于点幺对称.（3）证明：因为曲线c与。有且仅有一个公共点，方程组y=（彳-。*-*+s有且仅有一组解，消去了 ,整理得 我-互+（-加。,这个关于1的一元二次方程有且仅有一个根,.4%4-121（-）= 0,即得心454而=0 ,/一因为。，所以 4.2拱无理数）例2.已知函数y=f （x） =m1为有理数）.(1)证明这个函数为偶函数;(2)证明t=1是函数的一个周期，进而寻找函数是否有其他的周期， 最后说明这个函数的周期组成什么 集合.解：(1)对任意实数x, x与-x同为有理数或无理数

9、，所以包有f (x) =f (-x),又定义域关于原点 对称，函数为偶函数；11 1 1(2)当t=w时，对任意实数x, x与x+5同为有理数或无理数，所以恒有f (x) =f (x+2 ),所以t=5 是函数的周期； 当t为有理数时，对任意实数x以及有理数t, x与x+t同为有理数或无理数，所以恒有f (x) =f (x+t), 所以t是函数的周期； 当t为无理数时，f (-t) =0, f (-t+t) =f (0) =1,所以t不是函数的周期，函数的所有周期组成有 理数集合 题型二：利用函数的周期性与对称性 例3.已知函数了二/是定义在r上的周期函数，周期7 = 5,函数二。)(-1金1

10、)是奇函数.又知丁二/q)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在工二2时函数取得最小值-5.证明： 川)+/(4)=0；求丁 =e14的解析式;求jwh9 上的解析式.解：/是以5为周期的周期函数，=,又“二为)(一0)是奇函数，川)二-於1)一(4),当mel4时,由题意可设了0曰0-2/-5(00)由川+/(4)二。得心2)?-5+代步5=0.(3=2.j=2(14). j二/（-&）是奇函数，. /（。）二。，又知加）在川 上是一一次函数，可设/（1）6（工在1）,而/。）=2。-2-5二-3,“二-3, 当ow时，/二一%,从而当-1。时，1/= -/（r）=-%,故时,/二

11、-3九. 当4wx，6时,有-1wi-5m1,；，二加-5)=-3of+15.当 6m9 时，11-5,4, j 二，(1)二2。-5)-2f -5=2(1)-5卜3i+15, 4 x 6一=2(l7y-5, 6x9/（x）=w（z+-）a（x）= （x+-）+2川们，例4.已知函数工的图象与 41的图象关于点力1】对称。（1）求用的值;若如一+士在（0,2上是减函数，求实魏的取值范围。4工-.,y 0=2 .解.（1）设p（x,y）是h（x）图像上的一点，点p关于a（0,1）的对称点为q（x0,y0）,则2-y二胞(一x-1) y - ?(x + ) + 2fn = -x ,即工 ，从而 4

12、.,、1,1、 11 / 厘 +l g(x)= k + ?+丁/+工):,在（。,2上是减函数,g工应彳e 口2上恒成.即。之/_而w2上恒成立。令心）-1,当xe（0,2时，*=3 “之3方法归纳：1 .证明函数的对称性、周期性注重定义的使用2 .注意对称性、周期性与奇偶性、单调性的综合运用，解题时注重数形结合思想的运用。实战训练1.定义在r上的函数/任）不是常数函数，满足 加-d=/g+d ,川+加川-力,则函数/（b）a.是奇函数也是周期函数b.是偶函数也是周期函数c.是奇函数但不是周期函数d.是偶函数但不是周期函数解析：由二/q+d,知=，所以/以2为周期，再由川+1）二川-工）得，川

13、川二.令仁”1,则有，（7）二4），了是偶函数.故/是偶函数也是周期函数.2、/的定义在r上的奇函数，它的最小正周期为 t,则的值为（a）t_ta. 0b.1c. t d.一 一3、设/为奇函数，对任意代r峋前（i + 4） =/已郑（-1） = 3 ,则*3）等于（与a. -3 b. 3c. 4 d. 44、已知函数）二八工）为偶函数，/（l 2）在卬上是单调减函数，则（a）a.他 於1)距. t)/ q)/q)c.“小伤加 d.做 /(-1)加b.|2 c.3 d.2+| x+1|5.设 f(x)(xc r)为偶函数，且 f(x 2)=f(x+2)恒成立，xc 2, 3时，f(x)=x，则

14、 xc 2,0 时，f(x)等于a.| x+4| x| lx+1|解析：根据y=f(x)以2为周期，画出函数图象可得出结论. 答案：c7 .已知f(x)是定义在r上的奇函数，且f(x+4)=f(x)对任意xcr成立，如果当x 0, 1时，f(x)=2x,logl 23则()的值是2323a.23 b. 16 c. 16 d. 23解析：利用f(-x)=-f(x),以及f(x)以4为周期可求出.答案：b8 .若函数 y=f(x)( x r)满足 f(x+2)=f(x),且 xc(-1 , 1)时，f(x)=|x|,则函数 y=f(x)的图象与函数y=log4|x|图或的交点的个数为ca.3b.4

15、c.6d.8解析：函数f(x)以2为周期，画出f(x)的图象，数形结合.9 .函数y=f (x+1)与y=f (1 -x)的图象关于a.y轴对称b.原点对称c.直线x=1对称 d.关于y轴对称且关于直线x=1对称解析：根据对称关系验证 a正确，选a.10、已知f (x)是定义在r上的奇函数，且满足/6 + & = )当口 $ di屹针,则使，的】 值等于(aa 一 . b 4，片.2 c -： _ d.11.定义在r上的函数.的如。的)+川ft及卬且当。mi:工ml时zuuo(c)a. 2b.c.三d, 12.定义在k上的函数，其图象关于点 对称，且j&+x), a-tm, hq)=-2,则

16、川)+/+/。)+/(4)=(a)a. 1b. 0c. -1 d. -2一工十日13 .已知函数f(x)=二-4+ 2的反函数 厂/)的图象的对称中心为(一1, 5),则实数a的值是(d)a. 3 b. 1c. 5 d. 714 .如果函数y=f (x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_直线x=1_对称.15 .定义在(00, +oo)上的偶函数f (x)满足f (x+1) =f (x),且在1,0上是增函数，下 面是关于f (x)的判断：f (x)是周期函数；f (x)的图象关于直线x=1对称；f (x)在0, 1上是增函数；f (x)在1, 2上是减函数；f (2) =f (0

17、).其中正确的判断是(把你认为正确白判断都填上).16 .对于定义在r上的函数f(x),有下述命题：若f(x)是奇函数，则f(x-1)的图象关于点a(1, 0)对称若对xcr,有f(x+1)=f(x-1),则，f(x)的图象关于直线x=1对称若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)为偶函数函数f(1+x)与函数f(1-x)的图象关于直线x=1对称其中正确命题的序号为 .17 .对于定义域为r的非常值函数f(x),请将下面左侧中每个f(x)满足的条件与右侧所提供的f(x)的 性质中一个用线连接起来fss汽*是周期函数/(r+ i)= /(i-i)点g是奇函数%+ 1) - f(l

18、-x)，是偶函敷+/关于直线”时称18 .已知函数f(x)的定义域为x| x w k九，k cz,且对于定义域内的任何x、y,有f(x-y)=/(y)-/成立，且 f(a) = 1( a 为正常数)，当 0 x 0 .(1)判断f(x)奇偶性；(2)证明f(x)为周期函数；(3)求f (乂)在2 2, 3a上的最小值和最大值.证明：(1) .定义域x| x w ktt, kcz 关于原点对称,又 f (- x) = f ( a-x) - a=加-力+i i+/g-1)= /in 111 1+加)-/w-1l_/(0/(工)+1 1 i+/u)2#a= f(x)fw = 工1=-2 = - f

19、( x),对于定义域内的每个x值都成立.；f (x)为奇函数易证：f(x+ 4a) = f(x),周期为4a.(3) f (2a) = f ( a + a) = f a-(- a)= ，(一外一/位)=-2/=。，/伽)+11f (3 a) = f (2 a + a) = f 2 a-(- a)= /27q2 = -/=-1 .先证明(乂)在22, 3a上单调递减为此，必须证明x (2a, 3a)时，f (x) 0 ,设 2a x 3 a,贝u 0 x- 2 a 0, . f ( x) 0设 2a x1 x2 3 a,贝ij 0 x2-x1 a, /. f ( x1) 0f ( x2) 0 ,

20、j+l .f (x1)- f ( x2)= (访而) 0,.f (x1) f ( x2),.一(乂)在22, 3a上单调递减 f ( 乂)在2 2, 3a上的最大值为f (2 a) = 0 ,最小值为f (3 a) = - 1 .kj119.设f (x)的定义域为xer且xw5, kcz,且f (x+1) =-/w ,如果f (x)为奇函数，当0vx5 时，f (x) =3x.2001(1)求 f ( 4 )；2(2)当 2k+，x2k+1 (kcz)时，求 f (x)；1(3)是否存在这样的正整数 k,使得当2k+exx2 kx 2k有解？解：(1) / f (x+2) =+ l)=f (x), f (x)是周期为2的周期函数.j 竿)=人500+ = /(3=3；1 2 2 1(2) /