大学课件：理论力学

1、理论力学 课本及内容 力学与理论力学（下册） 中国科学技术大学国家基础科学人才培养基地 物理学丛书 作者：秦敢，向守平 科学出版社，2008 其中，上册以力学为主，下册以分析力学 为主，是理论力学课程的主要内容。 力学内容 质点运动学 质点的位置、速度、加速度，轨迹 质点动力学 质点的受力，由初始位置和速度确定之后的运动 质点系力学 多个质点体系的守恒量，内力和外力 非惯性参考系（平动和转动） 刚体的平面运动（角速度，角动量，转动动能， 一些简单应用（如有心力场，碰撞，振动等） 质点运动学 质点运动的描述： 位置、速度、加速度随时间的变化 轨迹 坐标系： 直角坐标系（x,y,z） 柱坐标系 (

2、r,j,z) （极坐标系）(r,q) 球坐标系 (r, q, j) 其他正交曲线坐标系 自然坐标系 力学内容 2 2 )()( )(, )( )(),( dt td dt td t dt td tt rv aa r vvrr ( ),( )0tfrrr 其他一些应用课题 有心力场（万有引力和行星运动，带电粒 子散射） 碰撞（两体碰撞，散射截面） 振动（阻尼振动，受迫振动，多维小振动） 带电粒子的运动 狭义相对论 非线性力学 流体力学 连续介质体系的力学 分析力学内容 约束与虚功原理 拉格朗日力学 达朗贝尔原理，拉格朗日方程，泛函变分和哈 密顿原理，运动积分、对称性和守恒定律 哈密顿力学 正则方

3、程，正则变换，泊松括号，哈密顿-雅克 比方程 刚体的欧拉运动学和动力学 分析力学的基础 以牛顿三定律的经典力学为理论基础 应用数学方法建立完整的理论体系 得到一些原理性的结果 有些结果推广到非经典的领域（如相对论 和量子力学）更加自然 分析力学与牛顿力学方法比较 分析力学分析力学牛顿力学牛顿力学 优点处理方法流程规范 善于复杂的体系处理 约束越多方程数越少 直观，易于理解 解算简单问题比较方便 缺点不够直观 对于简单问题的处理 显得麻烦 常常需要具体灵活的分析 约束越多方程数越多越繁 琐 直角坐标系 xyz xyzreee xyz xyzveee xyz xyzaeee 0 xyz eee 坐

4、标：(x,y,z) y x z o 直角坐标系中的矢量运算 3 1 iiii i aa aeae ii aba b ijkjki a ba be 点乘： 叉乘： 矢量的表示和爱因斯坦求和约定： 1( , , )(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) 0 1( , , )(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1) ijk i j k others i j k 直角坐标系的矢量运算举例 1 0 ij ij ij ()() () ()() iijkjk ijkkmnjmnimjninjmjmn immjnjninnjmjm innimmi a a b ca b c ba cca b b

5、a cc a b eabcbc eb a cc a b ()()()ab ca c ba b c 证明： 其中： ijkkmnimjninjm 可证： 柱坐标系 rz rrz q qveee rz rzree 2 ()(2) rz rrrrz q qqqaeee ,0 rrzqq qq eeeee 坐标：( , , )rzq r e rq ee q x y z o r q p 第1次课 cos ,sin cossin,sincos rxyxy xryr q qq qqqq eeeeee 球坐标系 sin (cossin)cos cos (cossin)sin sincos rxyz xyz x

6、y rrr q j qjjq qjjq jj reeee eeee eee sin cos, (sincos) r r r qj qj jq qqj qqj jqq eee eee eee 坐标：( , , )rq j z p x y o r q j 坐标转换可用单位并矢点乘： , rr iii qqjj rrre ee ee e 球坐标系与直角坐标的关系 r rre sin r rrr qj qqjveee 222 2 (sin) (2sincos ) (sin2sin2cos ) r rrr rrr rrr q j qjq qqjqq jqjqqjq ae e e 通过求导可得球坐标中：

7、z p x y o r q j 曲线坐标系 123 1 1 122233 3 (,)q q q h qh qh q rr veee 1 , jj jjj h qhq rr e 坐标： 123 (,)q q q x y z o p 2222222 112233 ()()()()dhdqhdqhdqr 称为拉梅系数。曲线长度满足 约束与自由度 一个自由质点运动的自由度为3 在有约束的情况下，运动的自由度有所减 少： 约束质点在平面内运动，自由度为2 约束质点沿轨道运动，自由度为1 自由度是描述物体运动所需的独立变量个 数 约束可使变量之间变得不独立，从而每个 约束使系统的自由度减1。 约束与自由度

8、 一般情况下，约束约束为k个方程 假设约束有k个。对于n个质点，3n个坐标 中，有k个约束，则自由度自由度为s=3n-k，从理 论上说，可以用s个独立变量来描述系统。 这些独立变量描述系统，在分析力学中对 应于由这些自变量组成一个函数（系统函 数）。 ( , , )0,1,2,., m ftmk r r 约束的类型 约束方程分类，依照含不含速度，分为： 完整约束或几何约束，非完整约束运动约 束或微分约束，如果可以积分，可将微分 约束转化为几何约束； 依照是否显含时间，分为：稳定约束，非 稳定约束； 依照是否为等号，分为：不等号时是可解 约束，等号是不可解约束。 约束的类型 完整约束（几何约束）

9、 稳定的几何约束 不稳定的几何约束 不完整约束 且不可积分成完 整约束，也称为微分约束。 可解约束： 或 或双面 可解 0);,.,( 21 trrrf n 12 ( ,.,)0 n f r rr 12 ( ,., ; )0 n f r rr t ( , ; )0ft r r ( ; )0ft r( ; )0ft r 可积分的条件 非完整约束是否可以通过乘以某个函数变为可积 分的？若使 必须 即 则 反之亦然 ddfjfr ()0jf (ln )j ff 0ff oo (x,y) (x,y) 完整约束使得自由度减少，一般的完整约束可写为 方程 变分之后，可成为线性变分，形如 123 (,.,

10、)0 s f q q qq t 约束的线性变分 0 ii i a q 完整约束使得自由度减少，非完整约束中，一般 不可积分，因此不影响独立变量的个数，但如果 是线性约束，能影响广义坐标变分的独立性。线 性非完整约束形如 可导致变分约束（注意到t=0） 0 ii i a qb 可化为线性变分的非完整约束 0 ii i a q 第2次课作业：1.1，1.2，1.4 广义坐标 用s个独立坐标来描述系统，这些独立变量 称为广义坐标广义坐标，而这些坐标的数目即为系 统的自由度。对应满足约束条件的质点坐 标位置，有 对于可解约束，是将其视为不可解约束来 处理，如果发生离开约束的情况，就放弃 约束，增加一个

11、独立坐标，重新处理。 12 ( ,.,),1,2,., iis t q qqinrr 广义坐标的选用 各个质点的真实坐标可以入选系统的广义坐标。 n个质点的系统，真实坐标有3n个，但广义坐标 只有s=3n-k个。由于存在k个约束，广义坐标的 个数较少，需要选择使用。 广义坐标也可以选用其他参数。选取的原则是： 能够方便地表示系统每个质点的几何位置。即表 达式 越简洁越好 12 ( ,.,),1,2,., iis t q qqinrr 虚位移虚位移 假想系统的各质点瞬时发生了微小的符合 约束条件的位移，称为虚位移。 位移发生在与约束面相切的方向，而约束 力是发生在与约束面垂直的方向。 用广义坐标

12、表示了各个质点的位置之后， 虚位移可以看作当广义坐标任意变化之后， 各个质点位置随之变动而产生的位移。 广义坐标的变化可以任意选取，但真实坐 标的变化因为有约束存在而不能任意选取。 理想约束 约束力是与约束的切线方向相垂直的，有 其中 是虚位移 习惯上，将虚位移视为变分，实位移视为微分。 分析力学中处理的约束情况绝大多数（或者说 默认为）是理想约束。对于不是理想约束的情 况，分析力学常用的方法是不成立的。 0 ii i r r j ji i i q q r r 考虑空间曲面的约束，取3维空间直角坐标 为广义坐标，曲面的几何约束为 对于曲面上相邻的任意点，相距 r，有 即 与曲面的切面垂直。同时

13、，约束力也与 曲面的切面垂直，因而两者平行，满足关系 其中c是常数，r是约束力。 理想约束 ( )0fr ()( )0ffff rrrr f cfr 理想约束 两质点a和b安置在刚性 轻杆两端，杆可绕中央的 o点旋转。在质点a上施 加一个力f，考虑两质点 所受到的约束力，是否一 定与虚位移方向垂直？是 否为理想约束？ 这个例子，虽然每个质点 的约束力并不与虚位移垂 直，可验证其仍是理想约 束。 a o b f 虚位移和真实的微小位移的差别 1.虚位移是瞬时完成的（t=0），而实位移 需要一小段时间（dt0）。 2.虚位移在满足约束的条件下可以任意选取， 并未真是发生，而实位移一般与质点的真 实

14、运动相关。 3. 虚位移的方向无论是稳定约束还是非稳 定约束，都是沿着约束的切线方向，而实 位移在非稳定约束时，不一定沿着约束的 切线方向。（例如，在膨胀着的气球上爬 行的小虫） 虚功原理 系统处于平衡时，每个质点所受合力为0 考虑虚位移所做的功，有 对于理想约束，约束力所作虚功为0。从而 在虚位移下主动力做的功总和也为0，即 ()0 iii i w frr 0 ii fr 0 ii i fr 虚功原理 虚功原理能使我们处理系统的平衡问题。 此时，我们只要关注系统的主动力的虚功 为0的事实。而约束力在方程中消失，我们 不必去解算。 显然，这是系统处于平衡的必要条件。对 于不可解的(稳定)约束，

15、这个条件可以证明 也是充分条件（约束如果不是稳定的，就 不会有静力平衡的情况出现）。 虚功原理 使用广义坐标，方程可以化为： 由于广义坐标是独立变量，因此有必要定 义广义力 方程化为 11 0 sn j ji ij i q q r f 1 0 n j ij j i q q r f 1 0 s ii i q q 由于广义坐标的独立性，可得 对于保守力体系， 则 虚功原理 0 i q jjv f 1 0 n j ij j ii v qv qq r 对于保守力体系，虚功原理可化为 则系统的势能达到极值，极小值时平衡是稳定的， 极大值时平衡是不稳定的 虚功原理 11 1 0 ns jjii ji s

16、i i i wq q v qv q fr 双连杆的平衡问题 匀质的双连杆一端固定 在顶部，另一端受到水 平方向恒定的力，求平 衡时两杆的角度。 求约束力时，可将约束 力看成主动力，同时解 约束，增加自由度，然 后求解。 （本书29页。秦家桦， 285页。陈世民，170 页。金尚年，46页。） 虚功原理举例 f q1 q2 l1 l2 第3次课作业：1.9-1.11 求解 解： 1122 12 1121121122 12 1112111222 111222 12 211112222 ( ),( )(),( )() 22 sinsinsin 22 coscos0 ()sincos0,sincos0

17、 22 f f wmm ll lll ll wm gm glm g flfl ml m glflm gfl qqqqq q qq qq q q qq q qqqq grgrfr rereeree 12 122 22 tan,tan (2) ff mm gm g qq 圆弧中两球的平衡 问题 半径为r的固定圆弧 上，有两个同样大 小但质量不同的匀 质小球，其半径为 r/3，求平衡时两球 的位置。 这个问题用虚功原 理或势能最小原理。 虚功原理举例 rq1q2 求解 解： 这里三个球心正好构成正三角形。平衡时， 小球组的质心正好在铅垂线上，是最低的。 1121 1 11211 2 22 cosco

18、s()0 333 2 sinsin()0cot3(1) 3 vrm grm g m mm m qq qqq 求约束面的形状 一个均质杆一端靠在光滑的墙 壁，另一端所在的约束面是什 么形状才能使杆在任何位置都 能平衡？（本书第10页） 用势能最小原理，当虚位移发 生时，杆的重心高度应该不变。 虚功原理举例 y q x o 22 sin ,(1 cos ) 2 ( )(1)1 /2 a xay xy aa qq 达朗贝尔原理 考虑动态情况，这时可以将系统中的每个 质点的加速运动看成在局部的非惯性参考 系下的静力平衡问题，需要加上惯性力， 因此 1 11 11 () () ()0 n iiiii i

19、 sn i iiij ji j sn i jiij ji j wm mq q qmq q frrr r fr r r 达朗贝尔原理进一步深化 由于广义坐标的独立性，从达朗贝尔原理 可进一步推出 1 11 () n i jii i j nn ii iiii ii jj qm q dd mm dtqdtq r r rr rr 拉格朗日方程的由来 注意到由 同时将广义速度与广义坐标视为不同的变将广义速度与广义坐标视为不同的变 量量，可推得 22 1 s iiii k k jkjjj d q dtqqqt qq rrr r 1 s ii ik k k q qt rr r 1 s iii jk k jk

20、j qqq rrr 拉格朗日方程 因此，得到拉格朗日方程 其中t是系统质点的总动能 11 22 11 () 11 () 22 ,1, 2,., nn ii jiiii ii jj nn iiii ii jj jj d qmm dtqq d mm dtqq dtt js dtqq rr rr rr 保守力体系的拉格朗日方程 对于保守力，由于 拉格朗日方程成为 其中l=t-v是系统的拉格朗日量。 j j v q q 0,1, 2,., jj dll js dtqq 拉格朗日方程方法的长处 拉格朗日方程依然是从牛顿力学导出的，其方程与牛顿力 学给出的结果必然相同。 拉格朗日方程方法适合处理具有复杂约

21、束的系统。广义坐 标的优选可使得约束的表达式更加简单。约束使自由度减 少，从而使方程数减少，未知量减少，自然消去了很多不 需要知道的约束力未知数。 拉格朗日方法是使用能量作为分析对象的，而能量是标量， 处理方便；另外，能量在各种物理过程中普遍存在并相互 转化，可方便地推广应用到其他物理领域。而牛顿力学是 使用矢量分析，受坐标变换影响大，且矢量有较多的分量， 处理较繁琐。 拉格朗日方程解法步骤 确定系统自由度 选择广义坐标 将各个质点的位置矢量用广义坐标表达 计算各个质点的速度 给出系统的总动能 如果是保守系，给出势能，如果不是保守 系，给出广义力 相应得到拉格朗日方程组 结合初始条件求解 实例

22、 12 2222 122 22 1212 , 11 (),() 22 ()0,()0 rz rrr tmrrm rvm g rl dd mmrm rm gr dtdt q q q qq veeve r m1 m2 q o x z 连线穿孔两小球的运动 自由度为2 广义坐标r，q。 r1= r er，r2= (r-l) ez 第4次课作业：1.6，1.8，1.13，1.14 哈密顿原理 作用量的定义 体系从时刻t1到时刻t2的运动过程中，定义其作用量为 哈密顿原理告诉我们，系统从t1演化到t2的所有可能 路径中，系统将沿着使作用量取极值的那条路径移 动。 “可能路径“是指广义坐标qi关于时间t的

23、所有连续可微的 函数关系qi(t)，且在初始时刻t1和终了时刻t2的位置是已知 的确定值。 2 1 ( ), ( ), t t sl q t q t t dt 变分法求极值 哈密顿原理告诉我们，求解真实运动过程 （得到坐标与时间的函数关系）就是寻求 作用量函数达到极值的问题。 对于自变量为“函数”的函数极值问题， 可以使用变分法。 为了求s的极值，使函数q(t)稍作改变，改 变量为l*q(t)，其中q(t)在两端为0且连续 可导，l为系数参量。 变分法求极值 函数q(t)变成q(t)+l*(t)，这时积分值s也可 以看成是参数l的函数。 如果函数q(t)可以使s取到极值，同样必须 在l=0时，

24、s(l)取极值。即 2 1 ( )(, ) t t sl qq qq t dtlll 2 1 ( ) ()0 t t dsll qq dt dqq l l 变分法求极值 积分得（注意到dq=dq） 由于q(t)在两端为0且其他点的任意性，从 而必须有 2 2 1 1 ()0 t t t t ldll qdtq qdtqq 0 ldl qdtq 变分法求极值 s取极值时，所需满足的条件正是拉格朗日 方程。反之，真实的过程满足拉格朗日方 程，能使作用量函数s取到极值。 以上过程也能直接用变分法进行： 2 1 22 11 2 1 (, )(, ) (, )() ()0 t t tt tt t t s

25、l qq qq tl q q tdt ll l q q t dtqq dt qq ldl qdt qdtq 变分法求极值的其他例子 最速下降线问题。上下两端点固定，求哪 种曲线的轨道能使质点从上端点由静止在 最短时间内运动到下端点？ 2 1 2 2 1 2 1 ()0 2 x x y tdx gx dy dxyygx 变分法求极值的其他例子 最速下降线问题，解为摆线。 令q为曲线上的切线与x轴的夹角，则 2 22 1 constant 2 2(1) y ygx cyxy 2 2 tan ,2 sin(1cos2 ), 4 sin,(2sin2 ) yxcc dycdyc qqq q qqq x

26、 y q 变分法求极值的其他例子 悬链线问题，解为双曲余弦线。 22 0 22 2 22222 1 2 1 1 1,()(1)0, 10,(1)0, 1 2(1),1 cosh l d vyy dxyy dxyy dyy yyyy dx y ydyydyycy xc yc c x y 光线行进时间为极值（通常是极小值）的 路径。 变分法求极值的其他例子 x y 22 00 2 2 1( ) 11 ()( ( ) 1)0 ( ) ( )sinconstant 1 ll n x tydxydx vc d n xy dxyy n x y n x y q 单位球面上短程线问题。 a代表切线et与经线e

27、q夹角。这说明 由于z轴选取的任意性，erxet必须为常矢量。且短 程线在与之垂直的平面内。 变分法求极值的其他例子 22 0 22 2 1 22 1sin, ()1sin0 sin sinsin 1sin l d sd d d d c j qjqj q qj qjj qj aq qj z p1 x y o r q j p2 1 sin()sin()() rtttzrzrt c qj qqeeeeeeeeeee 事实上，可积分求解球面上短程线问题： 是过零点的平面方程，应该是同时过始末 两点，且与球面相交所得的圆。 变分法求极值的其他例子 1 22 1 2 1 3 22 31 3 32 323

28、2 3232 ,cot, sinsin 1 arcsin(), sin()cot sin( sincos)cos( sinsin)cos sincos c d dw c cdww ddc cc cw ccw ccrccrr xccyccz q jq qq j jq qjqjq 第5次课作业：1.16，1.18，1.20，1.21 条件变分问题 积分约束条件下的变分问题 举例：由一条长度为l且始末两点是x轴上 固定点的曲线与x轴围成最大面积。 通用的处理方法：将约束条件乘以参数l， 加到被积函数之中，使之取极值。 参数的某些取值可以使s取到极值。 22 11 2 1 xx xx sydxydxl

29、l x y 条件变分问题 令q为曲线切线与x轴的夹角，则 2 2 ()(1)0 10 1 d yy dxyy dy dx y l l x y 1 2 222 12 tan ,sin, sin,cos ()() yxc dydyc xcyc qlq lq qlq l 与哈密顿原理类似的其他原理 莫培督原理。应用于保守力体系。等能而 不等时的变分为0。由哈密顿原理： 上式中的广义动量p和哈密顿函数h以后再 介绍。为了强调是等能变分而不是等时的， 变分符号用 代替 ： 2 1 1 0 n iii i md vr 222 111 11 222 111 11 ()() sn jjiii ji nn ii

30、iiii ii ldtp dqhdtmdedt mdedtmd vr vrvr 莫培督原理 进一步，通过将动能t改写，有： 这即是莫培督原理的变分形式。 22 , 11 ,11 22 2 , 11 ,1 1 , 2 ()0 sn i jijiii i ji s i jij i j ta q qmdtdt tt dteva dq dq vr 莫培督原理举例 ，求抛体运动 2222 22 00 100 22 0 sin(sincos)11 cos , 2222cos vgyv cmvemvx ggv aaa a a y x a 2 2 1 2 1 1 2 2 1 22 2 112 21 2 1 (

31、)(1)0 () ()(1)0 , 1 2() , 4 emgxydx d emgxy dxyy c dxemgx ycdy y emgxc cecmg yc ycemgxcx mgmgc 与哈密顿原理类似的其他原理 费马原理 应用于几何光学。光线沿用时最短的路径 前进 平衡体系能量最小（重力势能，静电能， 磁场能量），如果没达到最小，可经过一 段时间的调整，最后达到最小。而哈密顿 原理和费马原理的最小值取得是瞬时的。 2 1 0nds 从哈密顿原理看拉格朗日函数的 相加性 两个相互独立体系组成统一体系： la=ta-va，lb=tb-vb，则l=la+lb 由于两系统相互独立，必须两项都为0

32、 2 1 22 11 (, ) (, )(, )0 abab aaabbb l qqqqt dt lqqt dtlqqt dt 拉格朗日函数可以加上任一个函数f(q,t)的时间全 微商，不影响结果。因为全微分的积分是定值， 对作用量的变分没有贡献。 由于始末端固定，f的变分为0 也可以直接验证 满足拉格朗日方程。 22 2 1 11 ( , )0 df ll dt sldtldtf q t 从哈密顿原理看拉格朗日函数的 非唯一性 l 直接验证： 为了简便，拉格朗日函数中的时间全微分项可以 适当去除。 ()() 0 dddf l dtqqdtqq dt ddfdfdfdf dtq dtq dtd

33、tqdtq 从哈密顿原理看拉格朗日函数的 非唯一性 解题实例 螺旋线上的珠子 轨道方程为已知 22222 1., 1 (1) 2 razbz lm aa b zzmgz q 222 2., 1 () 2 razb lm abm gb q qq 陈世民，p25例1.5 解题实例 在竖直平面内的弹簧摆 2222 0 2 0 2 11 ()cos() 22 cos()0 ()sin0 lm rrmgrk rl mrmrmgk rl d mrmgr dt qq qq qq q 解题实例 在竖直平面内的两个 绳连重物 22 1 22 (2)0 (2)(),(0)(0)0, (cos1) (2) y y

34、lmymymgymg l mgy mm ymg l mgml mm yyyy lm mlmg yt mlmm 第6次课作业：1.24，1.25，1.26，1.28 m m m 拉格朗日函数与运动积分 一般情况下，拉格朗日方程为s个二阶微分 方程（s为自由度），求解之后，有2s个积 分常数。这些积分常数需要初始条件（t=0 时的广义坐标和广义速度）确定，得到 有时，某个ci可以表示为广义坐标和广义 速度的组合，在运动过程中保持守恒，成 为运动积分： 1212 (,.,;,.,) iiss cc q qq q qq 122122 ( ;,.,),( ;,.,) iisiis qq t c ccqq

35、 t c cc 拉格朗日函数与运动积分 广义动量的定义： 拉格朗日方程成为类似牛顿定律的方程 循环坐标：如果拉格朗日函数中不显含有 某个广义坐标，则此坐标成为循环坐标。 循环坐标对应的广义动量守恒，是运动积 分。 i j l p q () i i j dpl q dtq 0,constant i i j dpl p dtq 拉格朗日函数与广义能量 当拉格朗日函数不显含时间时，能够得到 的运动积分是广义能量 h。 1 11 11 () () constant s ii i ii ss iii ii iii ss iii ii i dlll qq dtqq dlldl qqq dtqqdtq l

36、hqlp ql q 拉格朗日函数与广义能量 对于几何约束，可以求速度表达式为： 动能表达式中所含的广义速度的 1 s ii ij j j q qt rr v 2 1 22 111 210 1 2 1 ()2() 2 n ii i nss iiii ijj ijj jj tm v mqq qqtt ttt rrrr 拉格朗日函数与广义能量 此时，l不显含t时，有守恒量 对于稳定的几何约束，t=t2，h=t+v是机 械能。这里着重指出的是，如果约束是不 稳定的，系统的机械能并不守恒，守恒的 是广义能量h。 2121020 1 2() s i i i t hqltttttvttv q 广义能量举例

37、求解一个弹簧振子在一个以w角速度绕z轴旋转的、 在xy平面内的光滑管中的运动。 与机械能守恒不同 2222 2 2222 11 () 22 0 111 222 lm rrkr mrmrkr mrmrkrh w w w q z x y 相对论中的光速不变性，要求光在运动时的空间和 时间的参量变化保持下式不变（都为0）： 推而广之，我们要求在相对论中，质点移动产生的 ds在不同参考系中也保持不变。同时我们知道在普 通三维空间中，两点之间的间距|dr|在不同参考系 中都保持不变，因此，只要将时间变成第4维，运 动位移成为4维向量 而ds正比 于它在4维空间中的间距|dr(4)|，也能保持不变。 22

38、 0dsc dtddrr 相对论时的拉格朗日函数 (4)(4)22 |,| /( )1/dsi dddicdtvcrr (4) (,)ddx dy dz icdtr 如何描述一个自由质点的运动，是最基本最简单 的问题。对此，我们希望给出相对论时空中的自 由质点运动的作用量函数。因为作用量函数是标 量，标量不会因选取不同的坐标系而变化，而对 于自由运动的质点，我们能构造出的具有这种不 变性的量仅仅是它运动时的4维间距，是仅知的 标量。因此，取 为了能在低速情况下回到经典的拉格朗日函数， 必须取恰当的系数 相对论时的拉格朗日函数 dsds 2 2 2 1 v dsmcdsmcdtldt c 这样，

39、我们得到了相对论时的拉格朗日函数，并 能验证它在低速情况下能回到经典力学的拉格朗 日函数（仅相差一个常数）： 从而，质点的动量为 与经典情况相比，产生了质量增加的效果。 22 2222 22 1 1(1) 22 vv lmcmcmcmv cc 相对论时的拉格朗日函数 2 2 1 lm v c v p v 保守场中，质点的运动方程为： 这即是质点的受力方程 动能 dv dt p f r 相对论时的拉格朗日函数 2 2 2 ()(1)0 dv mcv dtc vr 2222 222222 () () () 1/1/1/ d dtddddd dt m vccmvdvmc dd vcvcvc p fr

40、rvpp vpv 质能公式： 这里b是归一化速度，g是相对论因子。 拉格朗日函数这时并不是动能减势能。 有了拉格朗日函数，相对论的运动过程都已经得 到解决。具体运用到各个方面，可以与各个经典 物理的结果作比较分析。 相对论时的拉格朗日函数 2 22 2 , 1/ 1 , 1 m emc m vc v mm c bgg b 4维时空的“位移”： 位移的绝对值是4维空间的标量，不随选取不同 的坐标系而变化。 对于另外一个以匀速v0运动的惯性系，经典力学 给出伽利略变换： 我们需要寻找4维时空的变换，使得在低速时是 伽利略变换，且保持4维矢量的模不变。 相对论的时空变换 (4)(4)22 (,),|

41、 /()1/ddx dy dz icdtddicdtvcrr 0 ,xxv t tt 两个惯性系之间的4维时空的坐标进 行变换时，由于起始时间和原点重合， 因而时空坐标原点也重合。 因为 x=x-v0t=x+ibict，这里 b=v0/c， 可看作位置（x，ict）在 x 坐标轴上 的投影（点乘积）。故 x 轴的向量平 行于(1，ib)，归一化为(g，igb)，这里 g = (1-b2) -1/2 相对论的时空变换 0 2 0 () (/) xxv t ttv x c g g x ic t x ic t x=x-v0 t (x, ic t) 而时间轴（ict)与空间轴(x)应该相“垂直”，才能

42、保 证长度不变，故时间轴向量为（-igb，g)，从而得到 洛仑兹变换： 因为d 是4维空间的标量，是时空坐标变换时的不 变量，用它代替dt 求速度时，可得 4维空间的速度向量 u(4) =(dr, icdt)/d = g(v, ic) 4维向量：动量-能量 mu(4) = (p,ie/c) 它们都遵从洛仑兹变换。如 它们都有不变的模 相对论的时空变换 0 (/ ) () xx x ppe c eev p gb g 222 2222 ()() (/) i cc iecm c gg v p 第7次课 作业：1.30，1.33，1.36，1.37 拉格朗日函数的空间均匀性 拉格朗日函数的空间均匀性指

43、当将系统进 行一个微小的平移之后，拉格朗日量不改 变。 由r的任意性得到动量守恒。 11 111 111 ()() ()() ()()0 ss jjjj jj jjjjj sns i jiij jij jj nsn i iijiii iji j lldlldl lqqqq qqdtqqdt q dtd qmq dtqdtq ddd mqm dtqdtdt r r rp rr rr 拉格朗日函数的空间各向同性 拉格朗日函数的空间各向同性指当将系统 进行一个微小的转动之后，拉格朗日量不 改变。 由w w 的任意性得到角动量守恒。 空间均匀性可看作x,y,z是循环坐标，各向 同性可看作j是循环坐标。

44、 11 1 ()() ()0 nn iiiiii ii n i ii i dd lmm dtdt dd m dtdt r r rr j rr 带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数 在相对论中，我们取4维时空的位移向量为 空间的电磁场同样是由4维的电磁场势能向 量描述： 描述带电粒子在电磁场中运动的作用量函 数ds还需要有一个标量部分，这个标量要 有描述粒子运动位移的成份，也要有描述 电磁场的成份。此时，dr(4)(a,ij/c)符合要 求。两个4维向量点乘，得到不随坐标变化 的标量。另外还要乘以粒子的电荷e。 (4) (,)ddx dy dz icdtr (4) ( ,/ )icjaa 带电粒子在

45、电磁场中的拉格朗日函数 在相对论中，可取作用量函数为 而对于低速情况，可取普通的动能代替拉 格朗日函数的第一项。当然也可以不替换。 得到拉格朗日函数 拉格朗日方程： (4)(4) ()dsmcddeddtj rrar ()() d meee dt gj vav a 2 222 2 1 1 2 v lmceemveemc c jj a va v 带电粒子在电磁场中的拉格朗日方程 x分量为拉格朗日方程： 利用 得到洛仑兹力方程 d dtt v () () y xxxz xyz a d m vdaaa ee vvv dtdtxxxx gj , t j a eba () () d md em dtdt

46、 g vv e v b 粒子在电磁场中运动方程的4维形式 用4维向量重新写拉格朗日函数和方程： 得到 fji是电磁场张量。方程在4维时空坐标变 换下形式不变。 ()0 (), j i ji j ii j i jijiji ji u ad mceaeu dxu u a ad mueu ff dxx ()0 b iiii a smcuueau d 粒子在电磁场中运动方程的4维形式 矩阵形式： 矩阵fji是反对称的，求本征值方程|fji-li|=0时， 是关于l2的一元二次方程。由于本征值在坐标变 换时的不变性，因而方程系数也是不变的。 0/ 0/ 0/ /0 xxzyx yyzxy yxz zz

47、xyz tt uubbiec uubbiec d m bbiecd uu iecieciec uu 422222 (/) (/ )0beccllb e 粒子在电磁场中运动方程的4维形式 其中， 是标量，以后在电磁场的拉格朗日函数中 需要用到。 另一个系数eb也是不变的，但它是赝标 量（考虑时间反向的运动，速度反向，电 场不变而磁场反向，因而eb反号，而真 标量应该不变。） 222 /2 ijij becf f 第8次课 作业：1.29，1.34，1.38，1.39 两体碰撞 两体问题是质点相互作用中最简单最基本 的过程。 大到太阳和地球的相互作用，小到原子核 之间的散射碰撞，都可以简化为两体问

48、题。 两体问题可以约化为单质点的有心力问题。 用两点的质点系的质心位置rc和两点间的位 移r代替两质点的位置r1，r2。 1 12 2 12 12 , c mm mm rr rrr r 两体碰撞的拉格朗日函数 定义 m=m1m2/(m1+m2) 是约化质量，可解得 从而拉格朗日函数可写为 1122 /,/ cc mmmmrrrrrr 22 1122 22 12 11 ( ) 22 11 ()( ) 22 c lmmv mmvm vvr rrr r m2 m1 r1 r2 rc 两体碰撞是有心力作用下的平面运动 利用拉格朗日函数的相加性，分解为一个质 量为（m1+m2）的自由质点，与一个质量为

49、m 的在势能 v(r) 中运动的粒子。 牛顿第三定律告诉我们，两质点的相互作用 是沿着 r 方向的，因此势能 v(r) 产生的作 用力是有心力。 有心力作用时，力矩为0，因而角动量 j = r x mv守恒。以角动量的方向为z轴，因 为r垂直于j，质点可限制在xy平面内运动。 两体碰撞的方程 约化质量质点的拉格朗日函数： 相应的拉格朗日方程： 角动量守恒可写为 b是瞄准距离，v0是初始速度 22 ( ),()0 dd rrv rr dtrdt mm qq j r z x y 2 0 hrbvq 222 1 ()( ) 2 lrrv rmq 弹性碰撞与非弹性碰撞 弹性碰撞时，相互作用力是保守力，

50、机械 能守恒。约化质量的质点的初速度与末速 度相等。这意味着它的速率不变但运动方 向可能改变。|v1-v2|=|v1-v2| 非弹性碰撞时，有耗散作用力将一部分机 械能转变成热能，因而其末速率比初速率 小，两者比例为参数e。e=1是弹性碰撞， 而非弹性碰撞时e1。|v1-v2|=e|v1-v2| 弹性碰撞与非弹性碰撞 一般来说，碰撞之后的速度表示为 v1 = vc + | v1-v2 | e m2 / (m1+m2) v2 = vc - | v1-v2 | e m1 / (m1+m2) 其中 vc = (m1v1+m2v2) / (m1+m2) 是质心的 速度，e 是不超过1的向量，代表质点在

51、质 心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度 的恢复率。对于弹性碰撞，其数值为1，对 于非弹性碰撞，其数值小于1。 平方反比力的碰撞 对于平方反比力，假设 f(r)=k/r2 ，k的 符号决定是斥力或者是引力。对时间 积分： 从而 2 rr kk dtdtd rh mq ree ()() baba k h qq m vvee q eq er a b 平方反比力碰撞的偏转角 代入各个矢量 由此得到偏转角 这里b是瞄准距离， b0是偏转90的瞄准距离 0(cos 1)sinsin(cos1) xyxy k v h mqqqqeeee 2 00 0 2 00 cot, 2 v hv bbk b kkbv

52、 mmq m q a b b 微分散射截面 通过散射过程，某一小 块立体角dw（可以看作 是单位球上的一块小面 积）与某块入射面积ds 对应起来，微分散射截 面就是指 ds/dw。 由偏转角和瞄准距离的 关系就能得到散射截面。 卢瑟福散射实验 b q a b 微分散射截面 平方反比力的散射截面为 刚性球的散射截面 12 ()sin() 2 brr q 2 0 4sin 4sin 2 bdbd db dd d sj q q q j w q b 2 2 12 12 () ,() 4 rrd rr d s s w 碰撞速度的图示 质心系中，m1和m2的初 始速度为 v1，v2 （m2， m1） 碰撞

53、之后速度为v1，v2， （em2, em1） 质心速度为vc 还原到实验室坐标系里， 末速度为v1，v2 v1v2 v1 v2 v2l v1l vc 第9次课 实验室参考系的偏转角 考虑实验室参考系中，初始时m2是静止的。 画出速度 v1c，v2c，v1c，v2c，v1，v2，vc 长度比例 m2，m1，em2, em1, ?，?，m1 2 21 sin tan cos l m mm q q q 12 22 1212 cos cos 2cos l mm mmmm q q q ql q 12 sinsin() ll mmqq q 实验室参考系的微分散射截面 只要求出实验室参考系与质心系的立体角之

54、 比，就能利用质心系的微分散射截面公式。 由 得 12 22 sin()sin,/ sin sin cos (cos()cos)(1) cos() cos cos()2 cos cos() ll lll l ll l l ll l mm dd dd qqaqa qq qq aq qqaq qq aq qqaq qq w w 实验室参考系的微分散射截面 考虑质量比a=m1/m21的三种 情况。 a1 12 cos l l d d aq w w 4cos l l d d q w w 22 2 22 (cos) cos 1sinl l d d qaa a q aq w w 实验室参考系的微分散射截面

55、 对于卢瑟福散射，考虑a=m1/m21的三种情况。 a1 1 2242 0 222222 2 4 10 sin,/ (11)1 4sincos 2 l l ll m bdk d m v qaqma asa q a qa q q w 22 0 4424 10 2, 4cos4cos 4sinsin l ll lll bkd dm v qq qqs qq w 实验室参考系的动能交换 碰撞之后 m1的动能平均值为（刚性球模型） 考虑质量比a=m1/m21的三种 情况，a=1时碰撞交换走的动能最大。 22 2 1212 10 2 12 222 222 12 101010 22 12 2cos1 2()

56、 1111 2()2(1)4 mmm m tm v mm mm m vm vm v mm q a a 碰撞问题举例 平面上两个小球的弹性碰撞，m2初始速度 为0。证明1、若 m1=m2时碰撞之后两小球 的运动方向相互垂直。2、若 m1m2时，偏 转角最大为多少？ 2 1 sin l em arc m q ql q qql 相对论高能粒子的碰撞 以 p1，e1，p1，e1和 p2，e2，p2，e2 分别 代表 m1和 m2 质点在碰撞前、后的动量和能 量，运用动量守恒和能量守恒，有 由于碰撞是平面问题，可以看作p1x，p1y， p2x，p2y，四个未知量，最后一个方程给出 了能量e的表达，e视为

57、已知。需求解的方程 只有3个（动量2个能量1个）还需要一个条 件，如偏转角，或其中一个粒子的末动能等。 12121212 22222 , / eeee pecm c pppp 相对论碰撞例题 能量为ei 的光子被质量为 me的静止电子所 散射。散射后光子能量为ef 并偏转 q ，证 明这几个量有关系 1 - cosq = mec2(1/ef - 1/ei ) 证： 2 22222 2222 2224 0, / (sin )(cos ) () ifeiefe efif iefe em cee pecm c p ceee em cem c qq ppp 相对论碰撞例题 一个静止的+介子衰变成m+子

58、和中微子。 三者静止质量分别是m0，mm0和0。求m子 和中微子的动能。 2 0 2222222422 0 22222 0000 00 222 002 0 0 () ()() , 22 () 2 m cee ep cp cem cm ce mmcmmc et mm mmc tm ce m m mmmm mm mm m m 第10次课 微振动 各个质点在平衡位置附近作微振动。 广义坐标一般为 qi=qi(0)+qi(1)，其中0阶量是 常量，是平衡时的位置，而1阶量是振动的 变量。 在解微振动的问题时，要重新取广义坐标 使得qi(0)=0。 因为有平衡位置，因此是稳定约束，动能 都是广义速度的二

59、阶齐次项：t=t2。 微振动势能 对势能 v(q) 在平衡位置附近进行小量展开 取v(0)=0，平衡点上又有 v/qi=0，并记 kij = 2v/qiqj|0，且保留到2阶小量。写为 矩阵二次型形式： 由于在平衡点v取极小值0，因此 v0，是 正定的。 2 0 0 11 ( )(0). 22 ijkjkjk ijk vv v qvqq qk q q qqq 1 ( ),( ),(),1,2,., 2 t iij vqki jsqq kqqk 微振动的拉格朗日函数 对动能 t 同样记为 这里 m 的各个分量一般是位置q 的函数， 但我们对动能只保留到2阶小量，只取平衡 点上计算 m，因此得到的

60、 m 为常量。 拉格朗日函数为 11 ,(), ,1,2,., 22 t jkjkjk tm q qmj ksq mqm 11 22 tt l q mqq kq 微振动的拉格朗日方程 拉格朗日方程为 这是一个线性常微分方程组，即如果 q(a) 和 q(b) 都是方程的解，则 q(c) = aq(a) + bq(b) 也是方程的解。因此，q 的运动尽管 可能出现多种频率的振动，我们可以把每 一个频率的振动单独分解出来研究。对于 频率为 w 的振动（无论sin，cos），得到 线性方程组： 0mqkq 2 ()0 w wmk q 微振动的久期方程 q = 0显然是方程的解。若要得到非 0 解， 必