【2019年整理】空间曲线的主法线曲面的几何性质

1、空间曲线的主法线曲面的几何性质目录第一章 绪论 1.第二章 空间曲线的主法线曲面的曲率 1.2.1 第一基本形式 1.2.2 第二基本形式 2.2.3 法曲率 2.2.4 主曲率 2.2.5 高斯曲率 3.2.6 平均曲率 3.第三章 空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族 3.3.1 渐近线 3.3.1.1 空间曲线的主法线曲面的渐近线方程 3.3.1.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件 43.2 曲率线 5.3.2.1 空间曲线的主法线曲面的曲率线方程 5.3.22 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件 53.3 测地线 6.3.3.1 空间曲线的主法线曲面

2、的测地线方程 6.3.3.2 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件 73.3.3 空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件 7第四章 主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件 8.4.1 空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件 84.2 空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件 8第五章 特殊曲线的主法线曲面的性质 9.5.1 曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质 95.2 正螺面的几何性质 1.0致 谢： 1.1.参考文献： 1.2.附录：错. 误！未定义书签第一章绪论本文主要是对空间曲线的主法线曲面的几何性质进行系统化、全面化、深入 化的研究。通过

3、类比一般空间曲线、曲面的研究方法，将向量、微积分的思想融 入到空间曲线的主法线曲面几何性质的研究中，从而更全面的分析和了解空间曲线的主法线曲面的几何性质。因此，对于主法线曲面的几何性质的研究首先就是 要了解其度量性质如：曲面上曲线的长度、面积等等这些内蕴性质。了解了曲面 的内蕴性质就是要研究其几何性质包括曲面的弯曲程度。所以我们首先就是要给出它们的第一基本形式和第二基本形式，进而给出它们的法曲率、主曲率、Gauss 曲率、平均曲率等来刻画曲面的弯曲程度。再通过研究曲面上的特殊曲线：渐近线、曲率线、测地线并给出参数网是渐近线网、曲率线网、测地线网的充要条件 等等来说明主法线曲面的特殊性质。最后通

4、过研究特殊曲线的主法线曲面来深化 以上的性质，使我们对于主法线曲面有更形象更深刻的认识。第二章 空间曲线的主法线曲面的曲率2.1第一基本形式第一基本形式描述了曲面的度量性质，它可以使我们计算出曲面上曲线的长度与区域的面积。设任意空间曲线的自然参数表示为r(s)，为曲线上任意一点P的主法a向量，贝U曲线r(s)的主法曲面为x(s,t)= r(s)，t： (s)。根据空间曲线的伏雷内 = k(s) P(Frenet )公式，即= k(s)+e(s)?，则有Y = T (s) PXs(s) t-k(s)： (s)(s) (s)H(tk(s)r (s) t (s) (s)，Xt(s)，则曲面的第一基本

5、量 r(s) *r(s) =(vtk(s)2 (t (s)2，F =0，G =1。因此，空间曲线的主法线曲面的第一基本形式是：2 2 2 2 2 2I =Eds 2Fdsdt Gdt 二(1-tk(s) (t (s) ds dt。2.2第二基本形式正如在研究空间曲线的时候我们不仅仅研究了弧长，还研究了曲线的曲率与挠率。对于曲面我们也不仅仅要研究该曲面的内蕴性质，即曲面的第一基本形式所确定的几何性质还应该研究刻画曲面离开切平面的弯曲程度的量。因此，我们引入第二基本形式来表示空间曲线的主法线曲面的弯曲性。曲面的单位法向量 n = Xs_x_ _xs_ = 1-tk(s) (s)-t (s)： (s

6、)，Xs 迸 X |JEGF2J(1tk(s)2 +(t：(s)2 2 2 - *Xss=(-tk(S)： (S)(k(S)-t(k(S) -t( (S) )：(S)t(S)(s)，Xst 一 -k(s)： (s)(s) (s)，则有第二基本量分别为:(S)Lrn t(s)k(s)+tUs)t2k(sH(s) M r n(1-tk(s)2 (t (s)2L 二b，M二 g n22，讥1-tk(s)2 + (W(s)2N = rtt* n = 0因此，空间曲线的主法线曲面的第二基本形式是:2 22 (s)n = z(s)k(s)w(s)-tk(s)：(s)ds2-7dsdt。(1tk(s)2 (

7、t.(s)2J(1-tk(s)2W(s)22.3法曲率由第二基本形式可以知道曲面在已知点处的弯曲性仍与方向相关，即沿着不 同的方向曲面以不同的速度离开切平面。 所以，我们用法曲率kn刻画曲面上一点 在方向d5上的弯曲性，则空间曲线的主法线曲面的法曲率为:2 (s)2 2, Lds 2Mdsdt Ndtkn2牙二EdS2 2Fdsdt Gdt2t2_(s)k(s)=t=(s)二t2k(s)_(s) ds2dsdt.(1 匚 tk(s)r(厂(s)2. (1 匚 tk(s)2(厂(s)2(1 -tk(s)2 (t(s)2ds2 dt22.4主曲率曲面上已知点(非脐点)的法曲率是一个随着方向不断变化

8、的变量，在这些变化的值中存在的最大值和最小值，即曲面在已知点的主曲率k1、k2。根据主曲率的计算公式(EG F2)kN2-(LG2MF NE)kN (LN 一 M 2) = 0。(s)2即有空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式为:心tk(s)2 (t.(S)2kN2 -t2 (s)k(s) t.(sht2k(s).(s)k0,(Vtk(s)2 (t(s)2 N(1-tk(s)2(t(s)2解之得:kJ 4EM212Ek2 L24EM22E2.5高斯曲率ki、k2是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则高斯曲率是-(s)2(1-tk(s)2 (t.(s)22它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的总

9、的弯曲程度。当曲面的高斯曲率是常数时，我们就称此曲面是常曲率曲面。不难发现，曲面上任意一点都有 KM，贝U空间曲线的主法线曲面上的点不 可能是椭圆点。同时，我们也可以知道空间曲线的主法线曲面是一类直纹面。特别地，当且仅当对于曲面上任意一点 K=0时，有挠率.(s)=0，即空间曲线r(s)为平面曲线时，空间曲线的主法线曲面是可展曲面。2.6平均曲率ki、k2是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则平均曲率是：门 k,+k2 L tS(s)k(s)+ ti(；)t2k(s)i(；) H22 3/22 2E 2(1tk(s) +(H(s)它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的平均的弯曲程度。第三章 空

10、间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族3.1渐近线3.1.1空间曲线的主法线曲面的渐近线方程空间曲面上渐近曲线的微分方程是 Lds2 2Mdsdt Ndt2 =0。由空间曲线的主法线曲面的第二基本量可知，此类空间曲面上的渐近曲线的微分方程是2Lds 2Mdsdt=0,2 * * 2 *dsdt 二 0t (s)k(s) t (s)-t k(s) (s) ds2 2(s).(1tk(s)2 (t(s)2(Vtk(s)2 (t(s)2所得渐近线的微分方程为ds=0以及t2 (s)k(s) t (；)t2k(s) . (s)ds 2 (s)dt =0(3.1 )。整理(3.1 )可得：.(s)k(s)-k

11、(s)(s)ds.1(；)ds 1dt=0。2(s)2t(s)t令叫，则有齐-urS- (s)k(2；s)(s)k(s)，可以发现上式是一次线性非齐次方程。因此，根据常微分方程的常数变易法可得到(3.1)的通解为:t Ju_(s)k(s_(s)k(s)-2)ds。综上所述，空间曲面上的渐近曲线的方程为s = g (其中Ci为常数)，t 1(s)k(s).(s)k(s)tds。 (S)-2(S)特别地，空间曲线r(s)在它的主法线曲面上是渐进曲线。因为空间曲线的主法线曲面的法向量是n = 込蹙坠坐，而曲线XsUtVegF2J(1tk(s)2+(t(s)2r(s)的主法向量是:(s)，故n与1 (

12、s)的夹角是孑，则曲线上任意一点处沿切方 向的法曲率kn =0，即空间曲线r(s)在它的主法线曲面上是渐进曲线。3.1.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件由3.1.1可知空间曲线的主法线曲面的渐近网的方程是 Lds2 2Mdsdt二0， 而曲纹坐标网的方程是dsdt=0，即ds = 0或dt=0。因此，若该曲面的曲纹坐标 网是渐近网，则必可推出L =0。同样的，若L =0，则曲纹坐标网的方程与渐近 网的方程相同，即该曲面的曲纹坐标网就是渐近网。 由此，我们可以知道空间曲 线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是 L=0，即2 2t t(s)k(s)+tp(s)-1 k(

13、s)吨(s)(1tk(s)2 (t.(s)2则可以得到t .(s)k(s)_k(s) .(；).(；) =0，由t的任意性可知:由微分知识可知.(s)和k(s)均为常数。i(s)k(s) k(s) i(s) =0我们知道常见曲线一一一般螺线的一个等价定义为：曲率和挠率之比是一个 定比，即k(s) =C2 (其中c2为常数)的空间曲线称为一般螺线。故我们有以下结1( S)论：定理1空间曲线r(s)的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是r(s)为空间的一般螺线。3.2曲率线3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程空间曲面上曲率线的微分方程是(EM -LF)ds2 (EN -LG)dsdt

14、(FN -MG)dt2 =0。由空间曲线的主法线曲面的第一、 二基本量可知，此类曲面上的曲率线的微分方 程是 EMds2 -Ldsdt -Mdt2 =0，即卩2 2 2 2 * * 2 * 2(1 tk(s)2 (t (s)2 (s)ds2 t2 (s)k(s) t (s)-t2k(s) (s)dsdt- (s)dt2=0 特别地，由球面的第一、二基本量E = R2 cos2二，F = 0 ， G = R2 ，E gL - -Rcos，M =0，N = -R可知1，且 L、M、N 不同时为零，L M故球面上的每一点都是圆点。同时，平面上每一点处都有L二M二N = 0，故平面上每一点都是平点。因

15、此，我们可以知道平面上和球面上任意曲线都是曲率线。3.2 . 2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件由3.2.1可知空间曲线的主法线曲面的曲率线网的方程是：EMds2 - Ldsdt -Mdt2 = 0，而曲纹坐标网的方程是dsdtO，即ds=O或dt=O。因此，若该曲面的曲纹坐标 网是曲率线网，则必可推出EM =0 , M =0。同样的，若M =0，则曲纹坐标网 的方程与曲率线网的方程相同，即该曲面的曲纹坐标网就是曲率线网。由此，我们可以知道空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是M =0，即 (S)=0,解得.(s) = 0。我们知道.(s) = 0的曲线是(

16、1-tk(s)2 (t.(s)2平面曲线。故此充要条件可以表述为：空间曲线r(s)的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是曲线r(s)为平面曲线。3.3测地线331空间曲线的主法线曲面的测地线方程因为空间曲线的主法线曲面X(s,t)的第一基本量中F =0，所以x(s,t)上的曲纹坐标网是正交网,则根据刘维尔(liouville )公式可以得到该曲面上测地线(C)s = s(s1)(其中为(c )的自然参数)的一阶微分方程为:1；:l nEt (s)I日 1剖n E口1clnG门=lcos日 一 一lsin 日ds!2(G 乱2Es。将2.1和2.2中的第一、二基本量带入ds1 口丿=co

17、s日ds1 VEdt 1 a=sin 廿 3 VG_1 讪(1-tk(s)2 (t (s)2)cost2可得dqI ds.竺=,1cos日，dqJ(1-tk(s)2 十(ts)2dt . A=sin y特别地，我们可以知道空间曲线r(s)不可能为其主法线曲面x(s,t)上的测地线。由于空间曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是曲线主法向量1与曲面的法向量n共线。所以，如果空间曲线r(s)是其主法线曲面x(s,t)上的测地线，则 必有nxs=O， nxt=0，并且有一 Xs 。而对于空间曲线的主法线曲面而-Xt = 0言，一：Xs三0，1Xt三0，故空间曲线r(s)不可能为其主法线曲面x(s,t)

18、上 的测地线。332空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件半测地坐标网的定义为：曲面上的坐标网，其中一族是测地线，另一族是这 族测地线的正交轨线。因为空间曲线的主法线曲面上F =0，即曲纹坐标网是正交网，那么只要有S-曲线是测地线，则t-曲线必是其正交轨线，此时空间曲线的 主法线曲面的曲纹坐标网是半测地坐标网。当s-曲线是测地线时，有s-曲线的方程是dt=0。由型=sin “ -0得到， ds1一 2 2V -0。并且由刘维尔公式可知ln(1 -tk(s) (t (s)= 0，即E与t无关，贝U有 ct-JXE =1。而反过来，如果E =1时，那么s-曲线dt =0使得一 -si

19、n “ -0，即二-0 0 ds1代入刘维尔公式可知其测地曲率为零，即s-曲线是测地线。由此，我们可以知道： 定理2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地坐标网的充要条件是E =1。3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件如果空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网，那么就是说s-曲线和t-曲线都是测地线。又因为F =0可以知道该曲纹坐标网是测地网同时也必是半测 地坐标网，即该曲面的第一基本形式是I =ds2 dt2。s-曲线的方程为dt = 0，由 虫二si nr =0得到二=0。代入刘维尔公式可知其测地曲率为零，即s-曲线是测ds1地线。同样的，t-曲线的方程为ds

20、= 0，由吏=遇“ =0得到 ，贝M弋入刘ds12维尔方程可得kg = 0，即t-曲线使测地线。由此可知:定理3对于空间曲线的主法线曲面而言，若其曲纹坐标网是测地线网的充要 条件与是半测地坐标网的充要条件一致，即 E=1。第四章 主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件4.1空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件若空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面，即高斯曲率K是常数，则得方程式氷0仓 ，解之得i(s)=0。在学习空间曲线的相关性质时，我们知道挠率恒等 cK=0l. cs于零的空间曲线是平面曲线。相反地，对于.(9三0的空间曲线r(s)而言，其所对应的主法线曲面x(s,t)的高斯曲率是恒等于零

21、的，即x(s,t)是常曲率曲面。即定理4空间曲线r(s)的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件是r(s)为空间的平面曲线，即.(s)三0。4.2空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件定义1当曲面的平均曲率是零时，我们就称此曲面是极小曲面。极小曲面刻画的是过空间光滑闭曲线(C)的曲面S,使得(C)包围的曲面 区域面积最小。如果空间曲线的主法线曲面x(s,t)是极小曲面，那么必有2 2.t i(s)k(s)+t i(s)t k(sp(s)门 日、1广 i/ i 丄亍广 cH2绘 0，即 t (s)k(s) k(s) (s)(s)三 0。2(1-tk(s) +gs)f *故(严k(s) (s) 0，则

22、(s)和k(s)均为常数。在3.1.2中我们也提到一般(s) =0螺线的一个等价定义为：曲率和挠率之比是一个定比，即9=0 (其中C2为常叫S)数)的空间曲线称为一般螺线。因此有以下结论：定理5空间曲线r(s)的主法线曲面是极小曲面的充要条件是r(s)为空间的一般螺线。第五章 特殊曲线的主法线曲面的性质通过以上四章的研究，我们知道了一般曲线的主法线曲面的许多重要的几何 性质。下面我们将通过讨论特殊曲线的主法线曲面的几何性质来深化对主法线曲 面的几何性质的理解。5.1曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质因为曲率k(s)和挠率.(s)均为常数，则不妨设k(s)=q，.(s)=q (其

23、中C3、C4为常数)，那么此特殊曲线必定是一般螺线， 并有k(s) =0和(s) = 0。同时, 可以计算得第一基本量是：E =(1 -tc3) 2 (1-0() (tc4)2，F = 0，G =1，第二基本量是：L=0,M = 4,N=0，故有第一、二基本形式分别为:J(1-心2+()2I =Eds2 2Fdsdt Gdt2 二(1-tQ)2 (tC4)2ds2 dt2，n =C4(1-tC3)2()2dsdt。为了研究该类曲面的弯曲性，我们将进一步研究它们的法曲率、主曲率、高斯曲率以及平均曲率。根据空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式可得：L、L2 4EM 22EC4|L- L2 4EM

24、2C4k2 =2E= 一(1 一 tC3)2 (tC4)2则咼斯曲率是(1 -tC3)2()22，平均曲率是H =0。由此可知这一类的曲面都是极小曲面，并且当且仅当(s)=Q=0时，即该曲线是平面曲线时，该曲 面才是可展曲面。下面我们将通过讨论这类主法曲面上的特殊曲线渐近线、曲率线以及测地线来研究其几何性质。根据空间曲面上的渐近曲线的方程可得S二m，t=n (其中m,n为常数)，即曲面上的s-曲线和t-曲线都是渐近线，由此也可以推出其曲纹坐标网一定是渐进网。同样的，根据空间曲面上的曲率线的方程可得:(1 -tC3)2 (tC4)2C4ds2 -C4dt2 =0，解得:ds 1di = (tC3

25、)2 (tC4)2或( s)三0。由此结果可以知道平面曲线生成的主法线曲面上的所有曲线都是曲率线。如果此类曲面上的测地网是曲纹坐标网，那么就有E =(1-)2 (tC4)2 =1，由t的任意性可知必有C3,C4均为零，即r(s)为直线的时候此类主法线曲面上的曲纹坐标网才是测地线网。5.2正螺面的几何性质正螺面是微分几何曲面论中重要研究对象，其本身具有很多重要的几何性质。我们下面就通过考察正螺面上某些特殊曲线的性质，使得正螺面的一些特征 更加形象生动。正螺面的方程为：r(u,v)二：ucosv,usinv,bvf，则可以计算得第一、二基本量 是 E=1， F=0， G=u2+b2， L = 0,

26、 M = | b_=：, N = 0，故有第一、二基本形Ju2 +b2 式分别为：I =Edu2 2Fdudv Gdv2 二 du2 (u2 b2)dv2， H = 一 dudv。从 第二章的研究中可以知道，高斯曲率和平均曲率可以体现曲面的总体曲率，因此 为了进一步探究正螺面的曲率，我们首先求得主曲率人 b和k2 一=，贝碍斯曲率K = 2，平均曲率H =0。由此可以说明正螺面2.u2 b2u2 b2是一个特殊的直纹面，而H = 竺 dudv=0，即du=0或dv = 0是沿着直纹 面的直母线。因为L二N =0，由主法线曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件可知，正螺面的曲纹坐标网是渐近网，则一族渐近线是r -山0cosv,u0sinv,bv*， 而另一族渐近线是r -、ucosv0,usinv0,bv(/，所以正螺面上一族渐近线是直线, 另一族是圆柱螺线。并且由平均曲率 H =0可知正螺面是极小曲面。致谢:本文是在杨明升老师的亲切