任意角的三角函数

1、初中锐角的三角函数是如何定义的 x r x y r x x 1 r y x .口. 冋 数学辅导讲义 年级: 授课类型 任意角的三角函数 教学内容 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 知识讲解 sin cos tan cot sec 终边上任意一点P （除了原点）的坐标为（x, y），它与原点的距离为 在Rt ABC中，设A对边为a , B对边为b , C对边为c ,锐角A的正弦、余弦、正切依次为 .n a A b a si nAcosA -,ta nA . ccb A 同步导入 在直角坐标系中，设 曰 是 -个任意角， r(r |x |2 |y|2 JX2

2、2 y 0), 那么 (1) 比值 y叫做 r 的正弦， 记作 sin ，即 (2) 比值 x叫做 r 的余弦， 记作 cos ，即 (3) 比值 y叫做 x 的正切， 记作 tan ，即 (4) 比值 x 叫做 y 的余切, 记作 cot ，即 (5) 比值 叫做 的正割， 记作 sec ，即 1 三角函数定义 rr (6)比值叫做的余割，记作CSC ，即CSC. yy 说明：的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的 终边相同的角所在的位置； 根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点 P(x, y)在 的终边上的位置的改变而改变大小； yr

3、 当k (k Z)时， 的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标 x都等于0,所以tan 与sec 2xx xr 无意义；同理，当k (k Z)时，coy 一与csc无意义； yy 除以上两种情况外，对于确定的值，比值y、X、y、x、r、r分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、 r r x y x y 正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。 2三角函数的定义域、值域 函数 定 义 域 值域 y sin R 1,1 y cos R 1,1 y tan 12 k，k Z R cos 、 tan 例1:已知角的终边经过点P(2, 3)，求sin 3 例

4、2:求下列各角的三个三角函数值：（1） 0 ; （2） ; （3）. 2 3三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： 正弦值y对于第一、二象限为正（y0,r0），对于第三、四象限为负（y 0,r0）； r 余弦值X对于第一、四象限为正（x0,r0），对于第二、三象限为负（x 0,r0）； r 正切值y对于第一、三象限为正（x, y同号），对于第二、四象限为负（ x, y异号）. sin a, COS a, tan a在各个象限的符号如下: x 4同角三角函数基本关系式: 2 2 (1)平方关系：sin cos 1 (2)商数关系：tan sin cos k

5、,k Z 2 例3:确定下列三角函数值的符号: (1)cos250o ；( 2)sin( )； 4 (3) tan( 672) ；(4)tan11 3 1.已知角的终边上一点P（虑m），且sin 攀，求cos ,sin的值。 2.已知 sin0且 tan 0, （1）求角的集合；（2）求角一终边所在的象限；（3）试判断 帥_ sin _ cos_的符号。 2 2 2 2 3化简1域10 CO?0 sin 101 si n210 正切值的几何表示一一三角函数线。 当角的终边上一点 P(x, y)的坐标满足 X2 y2 1时，有三角函数正弦、余弦、 1 单位圆：圆心在圆点 0，半径等于单位长的圆叫

6、做单位圆。 2 有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 3 三角函数线的定义： P(x, y)，过P作X轴的垂线，垂足为 设任意角的顶点在原点 0，始边与X轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T . y A M o (W) （川） 由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OM x,MP y，于是有 sin y r 1 y MP， cos x x x OM , r 1 y MP AT ta n AT . x OM OA 我们就分别称有

7、向线段 MP,OM , AT为正弦线、余弦线、正切线。 说明： 三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到 x轴的垂直线段；余弦线在 x轴上；正切线在过单位 圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。 三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向 与的终边的交点。 三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与 x轴或y轴反向的为负值。 三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 例1利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围。 1 1 1口 1 (1) si nx (2

8、) cosx (3) 0 x ,sin x且 cosx 2 2 2 2 (4) | cos x | 1 (5) sin x 1口丄 一且 tanx 1 . 2 2 jj 蓉强化练习 n 象限. 1.若一2 Vav 0，则点 Q(cos a, sin a )位于第 1 73 2.已知角a的终边过点P , ，则sin a cos a = 2 2 3.若角a的终边过点 P(2sin 30, 2cos 30 )，则a 4若 ABC中，cos A- cos B cos 3 B.若a、3是第二象限角，则 tan tan 3 C若a、3是第三象限角，则 cos cos 3 D.若a、3是第四象限角，贝U tan tan 3 13.已知角 的终边经过点（2, 3），求 的正弦、余弦、正切值 求y的值. 变式1：已知角的终边经过点（3, y