2011高三数学一轮热身AB组4函数的应用

1、第四章函数的应用x(x + 4), x 0.3个.答案:解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有32 根据表格中的数据，可以判定方程ex x 2= 0的一个根所在的区间为x10123x e0.3712.727.3920.09x+ 212345解析：据题意令 f(x) = ex x 2,由于 f(1) = e1 1 2 = 2.72 30，故函数在 区间(1,2)内存在零点，即方程在相应区间内有根.答案：(1,2)3. 偶函数f(x)在区间0, a(a0)上是单调函数，且 f(0) f(a)0)上是单调函数，且f(0) f(a)1时，g(x)有2个零点； a的

2、最小值为1.答案：1a0.1 + 15ln , xw 6,a x6. (2009年高考上海卷)有时可用函数f(x) =x 4.4x-r，x6，描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x N ), f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a与学科知识有关.(1)证明：当x 7时，掌握程度的增长量f(x+ 1) - f(x)总是下降;的取值区间分别为(115,121,根据经验，学科甲、乙、丙对应的a学科知识6次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科.0 4 解：(1)证明：当 x 7 时，f(x+ 1) -f(x)=.而当 x 7 时,(x- 3)(x- 4)(121,

3、127 , (127,133.当学习某函数y= (x- 3)(x- 4)单调递增,且(x- 3)(x-4) 0,故 f(x+ 1)- f(x)单调递减.当x7,掌握程度的增长量f(x+ 1)-f(x)总是下降.由题意可知0.1 + 15ln匚=0.85，整理得一匚=e0.05,a- 6a - 60.05e解得 a=06 20.50X 6= 123.0, 123. 0 (121,127.e -1由此可知，该学科是乙学科.B组1. (2010年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函

4、数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 y= 2x- 2 y=(x y= logzx y= 2(x2-1)解析：代入点(2,1.5), (3,4)检验.答案：2. (2010年安徽省江南十校模拟)函数f(x)= 2x+ x- 7的零点所在的区间是 (0,1)(1,2)(2,3)(3,4)解析：因为 f(0) = - 60 , f(1) = 2+ 1 7 =- 40, f(2) = 22+ 2 7 =- 10，所 以函数的零点在区间(2,3)内.答案：13. 已知函数f(x) = x+ log2x,则f(x)在?, 2内的零点的个数是 .解析：易知g(x) = x与h(x)= l

5、og2X均为增函数，故函数f(x)为增函数，且f(2) fg)0 ,故函数有且只有一个零点.答案：14. (2010年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分钟)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于分钟.tt解析：由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n = 220，令n = 1000,得220= 1000,又210= 1024 ,所以时刻t最接近200分钟.答案：2005 .某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生1产n年的累计产量为

6、f(n)=，n(n+ 1)(2n + 1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年.1 1解析：由题知第一年产量为 a1 =1 x 2x 3 = 3;以后各年产量分别为an= f(n) f(n 1)=?n (n + 1)(2n1 *+ 1)刃(n 1)(2n 1) = 3n2(n N*),令 3n2 150,得 1 nW 5 2? 1 nW 7,故生产期限最长为 7 年.答案：76. (2010年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不

7、超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米 2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了 km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得：广 8+ 1, x (0,3f(x) = y 9+ (x 3) X2.15 , x (3,8.9+ 5 X2.15 + (x 8) X2.85 , x (8,+ 令 f(x) = 22.6，解得 x= 9.答案：9ABCD中设计图案，他分别以 A、B、C、D为形边上线段(圆弧端点中实线部分总长度的7. (2010年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为

8、3的正方形3圆心，以b(0bW )为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形最小值为.解析：由题意实线部分的总长度为1= 4(3 2b)+ 2也=(2 n- 8)b+ 12 , l关于b的一次函数的一次项系数2n 80，故I关于b的函数单调递减，因此，当 b取最大值时，I取得最小值，结合图形知，b的最大33值为，代入上式得I最小=(2 8) X + 12 = 3n答案：3 n&在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量 M kg,火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系是v= 2000 ln(1 + M/m).当燃料质量是火箭质量

9、的 倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.解析：由题意得2000In(1 +罟产12000, ae6 1.答案：e6 19. (2010年浙江省宁波市十校高三联考1)定义域为R的函数f(x) = S |x 1|若关于x的函数h(x)=J,x= 1f2(x) + bf(x) + 1 有 5 个不同的零点 X1, X2, X3, X4, X5，则 x/+ X?2+ X3?+ XqJ X52 等于.2 1解析：假设关于t的方程t2+ bt+ - = 0不存在t= 1的根，则使h(x)= 0的f(x)的值也不为1,而显然方程f(x) = k且kM 1的根最多有两个，而h(x)是关于f(x)的二次函数

10、，因此方程h(x)= 0的零点最多有四个，2132311与已知矛盾，可见 t = 1 时 t + bt + = 0,即得 b=-，所以 h(x)= f (x) f(x) + 2 =2(f(x) 1)(2f(x) 1),而方程f(x) 1 = 0的解为x= 0,1,2,方程2f(x) 1 = 0的解为x= 1,3，由此可见五根分别为一1, 0,1,2,3,因此直接计算得上述五数的平方和为15.答案：1510. (2010年黑龙江哈尔滨模拟)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售.同时，当顾客消费金额(兀)的范围200,400)400,500)500,700)700,900)获得奖

11、券的金额(元)3060100130在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券:根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为金额为320元，获得的优惠额为：400X 0.2+ 30= 110(元).设购买商品的优惠率=400元的商品，购买商品获得的优惠额则消费商品的标价试问:(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？1对于标价在500,800)(元)的商品，顾客购买标价为多少元的商品时，可得到不小于-的优惠率?33100.1000 X 0.2+ 13033解: (1)1000= 130，即顾客得到的优惠率是(2)设商品的标价为 x元，贝U

12、 500Wx800.则消费金额满足 4000.8x640.0.2x+ 60 i当 400W 0.8x500,即 500 x 解得 x 450,不合题意；当 500 0.8x640.即 X30.2x+ 100 i625W x3解得 625 x 725.x3一 1因此，当顾客购买标价在625,725(元)内的商品时，可得到不小于3的优惠率.11. 已知某企业原有员工 2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补

13、贴0.5万元.据评估，若待岗81员工人数为X,则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1 而)万元.为使企业年利润最大，应安排多少 员工待岗?解：设重组后，该企业年利润为y万元依题意得y= (2000 - x)(3.5 + 1 3240.5x= 5(x+) + 9000.81 ,x324 y= 5(x+)+ 9000.81(0xw 100 且 x N), xy= 5(x+ 弩)+ 9000.81 5X 2 . 324 + 9000.81 = 8820.81 ,324当且仅当x= 324即x= 18时取等号，此时y取得最大值.x即为使企业年利润最大，应安排18人待岗.12. (2010年扬州调研)某

14、汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投 入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加已知年利润=(每辆车的出厂价一每辆车的投入成本)X年销售量.(1)若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？25若年销售量T关于x的函数为T= 3240( x + 2x+ 3),则当x为何值时，本年度的年利润最大？最 大利润为多少？解：(1)由题意得：上年度的利润为 (13 10) X 5000= 15000万元；本年度每辆车的投入成本为10X (1 + x)万元；本年度每辆车的出厂价为13X (1 + 0.7x)万元；本年度年销售量为 5000 X (1 + 0.4x)辆.因此本年度的利润为2y= 13 X (1 + 0.7x) 10X (1