第二章随机变量及其分布

1、第二章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图基本事件、.随机变量；P(A)； F(b)F(a)：0 - 1分布二项分布离散型*泊松分布，分布函数：F(x)=P(Xx) 超几何分布八大分布几何分布j jT函数分布均匀分布、连续型，指数分布，正态分布(1)离散 型随机变 量的分布 律2、重要公式和结论设离散型随机变量 X的可能取值为 X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为P(X=xJ=Pk, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X | ux2, ,xk,P(X =xk) p1, p2, , pk,显然分布律应满足下列

2、条件: pk =0，k =1,2,(2)连续 型随机变 量的分布 密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数X，有XF (x) = f (x)dx皿 ，则称X为连续型随机变量。f(X)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1 f(x)AO。2Qfgdx。(3)离散 与连续型 随机变量 的关系P(X =x)茫 P(x vX 兰 x + dx)拓 f (x)dx积分元f (x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X = xk) = pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布 函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F

3、(x) = P(X 兰 x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a c X兰b) = F (b) - F (a)可以得到X落入区间(a, b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-a, x内的概率。分布函数具有如下性质：10 兰 F(x)兰 1,血 CX +吆；2F (x)是单调不减的函数，即 xiX2时，有F(xi)兰F(X2)；3F(-) = lim F(x) = O,F(畑)= lim F(x)=1;x-bc4F(x+O) =F(x)，即 F(x)是右连续的；5P(X =x) = F(x)-F(x-0)。对于离散型随机变量，F(x) = 2； pk ；xk$X对于

4、连续型随机变量，F(x)= Jf(x)dx。(5)八大 分布0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为 p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2，,n。P（X=k）=Pn（k）=C：pkqn，其中q =1 - p,0 v p 0，k=0,1,2 ，k!则称随机变量 X服从参数为 人的泊松分布，记为 Xjt （人）或者P（丸）。泊松分布为二项分布的极限分布（np=入，nis）。超几何分布.7 .、CM CN；3 k = 0,1,2，1P(k k) n,cNnl=mi n(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分

5、布，记为H(n,N,M)。几何分布V.AP（X=k）=q p,k=1,2,3,，其中 p 0, q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G（p）。均匀分布设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f(x)在a , b 上为常数 1 ，即b af 1f (x) = b _ a0,a x b其他，则称随机变量X在a , b上服从均匀分布，记为XU(a, b)。分布函数为 0，x a )b -ax气F(x) = f f (x)dx =-=CI 1,xa,a xb。当awxiX2W b时，X落在区间(xi，x2)内的概率为X2 XiP(Xi :： X : x2 H 21 。b a指数分

6、布x _0x : 0其中，则称随机变量 X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为1-e,F(x)二x _ 0x0。记住积分公式：-boxnedx 二 n!正态分布设随机变量X的密度函数为1 Zf (x) =e 2g ， X 0为常数，则称随机变量X服从参数为 卩、2 的正态分布或咼斯(Gauss)分布，记为X N(Aq )。f(x)具有如下性质：1f(x)的图形是关于x = P对称的；2当x=P时，f(P) 丄为最大值；2 V2ncr若X N(1r ，则X!的分布函数为F(x)=k_J 乞 dt时2g -北。参数-0、=1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N(0，1)1其密度函数记为半&)

7、=沪2寸2兀，一辺 X +辺，分布函数为1%上(x) e 2 dt。(X)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。口1(-x) = 1-(x)且(0)=。2X久如果 X N(Pq2)，则N(0,1)。x2 耳1x-i 一 4、P( cX 兰x2)=1-1。(6)分位 数jJ下分位表：P(X兰卩=a；上分位表：P(XA=a。(7)函数 分布离散型已知X的分布列为Xx1, X2,xn,P(X =Xi) P1, P2,pn,Y =g(X)的分布列( =g(x互不相等)如下：Yg(x1), g(x2),g(xn),p(Y = yJ12 n 若有某些g(Xi)P相等,p则应将对应的 , pj相加作

8、为g(xi)的概率。连续型先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y) = P(g(X) wy)，再利用变上下限积分的求导公式求出fWy)。例2. 1 : 4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X( 3 )为“取白球的数”，求X的分布律。例2. 2:给出随机变量 X的取值及其对应的概率如下：X |1,2,k,p1 1丄丄 ，3,32，3k，判断它是否为随机变量 X的分布律。例2. 3:设离散随机变量 X的分布列为X 一 1,0,1,2P，8 8 4 21 33求X的分布函数，并求 P(X ) , P(1 :： X ), P(1乞X )。2 22例2. 4: f1(x)

9、 f2(X)是概率密度函数的充分条件是：(1) f1 (x), f2(X)均为概率密度函数(2) 0 (X) f2(X)韵例2. 5:袋中装有a个白球及B个黑球，从袋中先后取 a+b个球(放回)，试求其中含a个 白球，b个黑球的概率(a a , b 3 )例2. 6:某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击 5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。例2. 7:设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2. &袋中装有a个白球及3个黑球，从袋中任取 a+b个球，试求其中含 a个白球，b 个黑球的概率(a a , bw 3 )。例2. 9 :袋中装有a个白球及3个黑球，从袋中先后取a+b个球(不放回)，试求其中含a个白球，b个黑球的概率(a0,则A=。例 2. 15 :设 X N(L)，求 p(| x -卜:丈)。例 2. 16 : XN(2, d 2)且 P(2X4) = 0.3，则 P(X0) = ?例2 . 17 :设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的：,0 ： : ： 1)，数u满足PX AU=G，若 Px| ex =ct，则 x