等差数列知识点总结与基本题型.doc

1、等差数列知识点总结与基本题型一、基本概念1、等差数列的概念(1) 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。( 2)对于公差d ，需强调的是它是每一项与它前一项的差(从第2 项起)要防止把被减数与减数弄颠倒。( 3 )d0等差数列为递增数列d0等差数列为常数列d0等差数列为递减数列( 4 )一个等差数列至少由三项构成。2、等差数列的通项公式1)通项公式： an a1 (n 1)d ，(当 n 1时，等式也成立) ；(2) 推导方法：不完全归纳法：在课本中，等差数列的通项公式是由a1

2、,a2,a3,a4,L归纳而得， 这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全归纳法。 迭加法：也称之为逐差求和的方法：a2 a1 d, a3 a2 d,a4 a3d 丄，an an 1d L，上述式子相加， an a1 (n 1)d，即 an a1(n1)d。 迭代法：anan 1 d (an 2 d)d an 2 2d (an 3d)2dan 3 3d La1 (n 1)d 。(3) 通项公式的应用与理解 可根据 d 的情况来分析数列的性质，如递增数列，递减数列等。 用于研究数列的图象。Q an a1 (n 1)d dn (a1 d) ，(i)d 0时，an是n的一次函数，由于n N ，

3、因此，数列 an的图象是直线 an dn (ai d)上的均匀排开的无穷(或有穷)个孤立点。(n) d 0时，an a1，表示平行于x轴的直线上的均匀排开的无穷(或有穷)个孤立点。不难 得出，任意两项可以确定一个等差数列。 从函数知识的角度考虑等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d dgi a1 d，an是关于n的一次式(n N )，所以等差数列的通项公式也可以表示为an pn q (设p d, q a1 d) 等差数列具有下列关系：(i)数列中任意两项 an与ak，满足：an ak (n k)d或danakn k(u)在等差数列中，若 m n p q，贝U am an ap aq。3、

4、等差数列的等差中项(1)定义：如果a,A,b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项。a b(2) 充要条件：a, A,b成等差数列 A -2(3) 推论：an是等差数列an i n匚224、等差数列的主要性质若 m n 2k(m, n,k N )，则 am 务 2ak。an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即alana2 an 1 L ai 1 an i L 。 若an为等差数列，则a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9，仍构成等差数列。 an是等差数列，则a“a3,a5,L仍成等差数列。 下标成等差数列且公差为 m的项：ak, ak m, ak 2m

5、, L (k, m N )组成公差为 md的等差数列 数列 an b ( ,b为常数)是公差为 d的等差数列。二、基本题型例1、判断下列数列是否是等差数列：2(1) an 4n 3 ； (2)an n 2n。分析：用定义去判断。解：(1)an 1 an 4(n 1) 3 (4n 3) 4，二数列 an 是等差数列。2(2 )由ann 2n 得 &3,a28, a315 ，贝Ua235,a3a27Q a2a-ia3a2，二数列 an不是等差数列评注：如果判断一个数列为等差数列，需用定义去证明，但若一个数列不是等差数列，只要取特殊值 说明即可。例2、求等差数列 10,8,6, L 的第20项。解:

6、 Q an 10 (n 1)g( 2) 2n 12，a202 20 1228例3、在等差数列an中，已知a51，a82，求a1与d。a1 (5 1)d1”解：由题意知：a1 (8 1)d2 解得 a15，d1。1例4、已知为等差数列，且a22 1,a4.2 1，求a10。例5、等差数列On中，已知a2a3 a On 36，则 a52a111d 的值。an分析：有的同学习惯于数列an等差数列，对于an是等差数列就束手无策了，关键还是对定义理解不透彻。解: V1-为等差数列，11 11(21)1)2 2d，ana4a2 2121d11 1，又1，1-丄111 (辽1)1 ,2 2，a? aa1a2

7、,2 111-(n 1)d2(m 1)(1)n.23，ana1110.2327，则 01o12 701o2747O8分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求岀解法1：:根据题意，有(a) d)佝2d)(a19d)(a110d)36 :，4a122 d 36，则 2a111d18。而 a5 a8(a14d)(a17d)2a111d，因此，a5818。解法2:根据等差数列性质，可得a5a8a3a10a?a1 36218。评注：解法1设出了 a1,d但并没有求出a1,d，事实上也求不出来，这种“设而不求 ”的方法在数学 中常用，它体现了整体的思想，解法2实际上运用了等差数列的性质：若p q

8、m n, p, q,m,n N ，则 am an ap aq。例6、三个数成等差数列，它们的和等于9,它们的平方和等于 35，求这三个数。分析：若设这三个数为a,b,c，则需列三个方程；若根据等差数列的定义，设这三个数为 a d,a,a d，只需列两个方程，因此，采用后一种设法更好。(a d) a (a d) 9解：设这三个数为a d,a,a d，由题意得222解得(a d)2 a2 (a d)235a 3,d2 ,这三个数为1,3,5，或5,3,1。评注：注意最终结果的写法，为了避免引起歧义，这三个数写岀来时，就写成数列的形式例7、等差数列 耳 中，a9p,ai8 q，求a36。分析：由a9

9、p,a18 q，直接列方程组；解出两个基本量 a1和d，这是常规解法，但比较麻烦,2(2a18 a9)3)83a18 2a? 3q 2 p 观察a9,a18,a36的下标，可以联想到 a9,a18,a27,a36成等差数列，利用等差数列的性质，必能提高解题解法1:d 18 9 q 9 P，%6 氐(36 18)d q 18g 3q 2p解法2 :2a18a9a27,Q a9 , 3l8 , a27 , a36 成等差数列，2a27a18a36 ,速度。a362a27a18例8、在 1与7之间顺次插入三个数 a,b, c，使这五个数成等差数列，则这个数列为 分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解。解法1：设这几个数组成的等差数列为an ，由已知印1,a57 ，71(51)d。解得d2，所求数列为1,1,3,5,7 解法2 :可利用等差数列，b是1,7的等差中项,a是1,b的等差中项，c是b,7的等差中项。1 7 c1 bb 7即b3,a1,c5 222二所求数列为