2000真题及解析

1、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上 )arctan x - x(1) lim3x P In(1 2x ) 设函数y =y(x)由方程兰y所确定，则dy x卫二.严 dx2 .2 (x 7) . x -21 曲线y =(2x -1)ex的斜渐近线方程为-_10001设A =-2300,E为4阶单位矩阵，且B =(E +A)(E - A)则0-4500067_(E B)=.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)X(1)设函

2、数f(x)bx在内连续，且lim f(x)=O,则常数a,b满足()a+eJR(A) a : 0,b : 0.(B) a 0,b 0.(C) a - 0,b0.(D) a - 0,b ： 0.2设函数f (x)满足关系式 (x) f (x)二x，且(0) = 0，贝y ()(A) f(0)是f(x)的极大值.(B) f(0)是f(x)的极小值.(C) 点(0, f (0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) f(0)不是f (x)的极值，点(0, f (0)也不是曲线y二f (x)的拐点.(3 )设f (x),g(x)是大于零的可导函数,且f(x)g(x)f(x)g(x) ：0,则当a ：x

3、：b时, 有()(A) f(x)g(b) f(b)g(x)(B) f(x)g(a) f(a)g(x)(C) f(x)g(x) f (b)g(b)(D) f(x)g(x) f (a)g(a)若臥sin6x+xf(x)x3=0，则処乞fx)为()x(A)0.(B)6.(C)36.(5)具有特解ye-, y2xe-, y3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是(A) y - y - y y = 0.(b) y -y-y=o.(C) y -6y 11y -6y =0.(D) y -2y -y 2y=0.三、(本题满分5分)设 f (ln x)二 ln(1 x)，计算 f (x)dx.x四、(本题满分5分)

4、设xoy平面上有正方形D - x,y) 0 _ x _1,0 _ y 及直线丨：x y =t(t _ 0).若xS(t)表示正方形D位于直线丨左下方部分的面积，试求 .0S(t)dt,(x 一0).五、(本题满分5分)求函数 f(x)=x2l n(1 x)在 x=0 处的 n 阶导数 fn(0)( n _ 3).六、(本题满分6分)x设函数 S(x) | cost dt，(1)当n为正整数，且n- 0时比x高阶的无穷小，且f (x)在X=1处可导，求曲线y=f(x)在点 (6, f (6)处的切线方程.十、(本题满分8分)设曲线y =ax2(a 0,x_0)与y=1-x2交于点A，过坐标原点

5、0和点A的直线与曲 线y二ax围成一平面图形问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？ 最大体积是多少？十一、(本题满分8分)函数f (x)在0,=)上可导，f(0) =1且满足等式1Xf (x) f(x)0 f (t)dt =0,x +1 0(1)求导数f (x)；证明：当X0时，成立不等式e乞f(x)乞1成立 十二、(本题满分6分)T是一：的转置,求解方程2B2A2A4x B4x十三、(本题满7分)*0、a5、9、已知向量组P1 =12，1与向量组% =202 =003 =61.1丿厂7.丿具有相同的秩，且打可由r,：/,：线性表出，求a,b的值.2000年全国硕士研究生入学

6、统一考试数学二试题解析、填空题【答案】-16【详解】arctanx-x limt-x 0 ln 1 2x3ln 1 2x3 L2X3limX 0、 1 1 2arctanx -x洛,.1 x2-x2lim2 = lim 2亍J06xJ0 6x2 1x22x3设函数y =y(x)由方程2xx y所确定，则dy x二【答案】(l n2_1)dx【详解】方法1:对方程2xy = x y两边求微分，有2xy ln 2 (xdy ydx)二 dx dy.由所给方程知，当x=0 时 y=1.将 x=0，y =1代入上式，有ln 2 dx =dx dy .所以，dy|x=0 =(ln 21)dx.方法2：两

7、边对x求导数，视y为该方程确定的函数，有2xyln 2 (xy y) =1 y.当 x=0时 y=1，以此代入，得 y=ln21，所以 dyx出=(ln2 -1)dx.ji【答案】一3【详解】由于被积函数在 x =2处没有定义，则该积分为广义积分 照不定积分计算，再对其求极限即可.作积分变量替换，令-、2=t,x -2 =t2dx =2tdt,.对于广义积分，可以先按r dx2 (x 7). x-22t(t2 9)t4 c 1 X tdt =2 arcta n-3【答案】y = 2x 1【公式】y = kx b为y = f (x)的斜渐近线的计算公式:k = lim x 4 : xxx心,b=

8、 xim f (X) kx【详解】k“imlm(2-韦xx=2,b=xm(y2x)= lim(2 x1)e去-2xx.令1二ux呷咛亠eum务e所以，x：:方向有斜渐近线y =2x 1 当x；门时，类似地有斜渐近线y =2x 1.1总之，曲线y=(2x-1)e亍的斜渐近线方程为 y=2x1.-j00 0【答案】-120 00-23 0-00-34_【详解】先求出(E +B)1然后带入数值，由于B = (E +A)(E A)，所以(E+ B)= _E +(E+A)(E-A)(E A)(E A) (E A)(E - A)=2(E A)d (E A)_20001_100 01-2400-120020

9、-4600-23000_68一00-34一二、选择题(1)【答案】D【详解】排除法:如果a ：0，则在(：)内f (x)的分母a - ebx必有零点X。，从而f (x)在x=x处不连续，与题设不符.不选(A)，若b 0，则无论a=0还是a = 0均有lim f(x)=Q,与题设lim._f(x) =0矛盾，不选(B)和(C).故选(D).【答案】C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数 f (x)在沧出具有二阶导数且 f(x0) = 0 ,f (x) =0，那么：(1)当f (x)0时，函数f (x)在x处取得极大值；当f (Xo) ： 0时，函数f (x)在Xo处取得极小值；【详解】令等

10、式f (x) f (x)2 =x中X =0，得f (0) = 0 - f (0) 2 = 0 , 无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：f (x) =(x f (x)f) =1 2f (x)f (x)以x =0代入，有f “(0) =1，所以f(X)-f(0) f (x),f (0) =limlim1.xTx 0T x从而知，存在x = 0去心邻域，在此去心邻域内，f “(X)与x同号，于是推知在此去心邻域内当x ：0时曲线y =f(x)是凸的，在此去心临域内x 0时曲线y=f(x)是凹的，点(0, f (0)是曲线y = f

11、(x)的拐点，选(C).【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数题设中已知f (x)g(x) - f (x)g (x) ： 0,想到设函数为相除的形式 丄凶.g(x)【详解】设 F(x)=3，则 F(x)(X)g(x)2f(x)g(x)2g(x)g (x)则F (x)在a x b时单调递减，所以对 - a ： x ： b， F (a) F (x) F (b)，即f(a)f(x)f(b)g(a)g(x)g(b)得 f(x)g(b) f (b)g(x), a x b，(A)为正确选项.【答案】(C)【分析】本题有多种解法：(1)将含有f (x)的要求极限的表达式凑

12、成已知极限的表达式，或反之；(2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出f(x)代入要求极限式中； 将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限【详解】方法1：凑成已知极限6 f(x) 6x xf(x) 6x-sin6x sin6x xf(x)所以x2x3x36x_si n6x 洛,.6_6cos6x 6(1_cos6x)lim 2 limx-03xJlim3x 0x3limfx 0 x26x sin6x9巴四3x21 _(由于 1-cosxx2-2sin6x xf (x)1 22 - (6x)2二 lim 二 36J0x11-cos(6x) (6x)2)=36 0 = 36方法2：由极限与

13、无穷小关系，由已知极限式解出 sin6x xf (x)x3a， lim a = 003从而sin 6x xf(x)=ax3 二 f (x ax sin 6x所以小 ax3 -sin6x6 f(x) 63ax 6xsin6xx36 f (x)3ax +6xsin 6x 二 limx_0x3极限的四则运算lima lim6xsin6xx )0x )0x33x21 22 - (6x)2二 lim X刃 x=36方法3：将sin6x在x = 0处按佩亚诺余项泰勒公式展开至x3项:sin 6x=6x_： (x3) =6x _36x3： (x3),3!333sin 6x xf (x) 6x xf (x)

14、-36x r (x )6 f(x)(x )6 x从而limx 06 f (x)2x=limx_0336 - xim 爭=0 36 一 0 = 36.【答案】【详解】由特解y1= e, y2x=2xe ,对照常系数线性齐次微分方程的特征方程、特征根与x解的对应关系知道，Q二-1为特征方程的二重根；由y3 = 3e可知=1为特征方程的单根, 因此特征方程为232(r _1)(r 1) r r -r -1 二 0,由常系数齐次线性微分方程与特征方程的关系，得该微分方程为y -y -y y =0.三【详解】方法1:为了求不定积分，首先需要写出f (x)的表达式.为此，令In x二t，有x二dln(1

15、x) ln(1 et) f (t) = f (In x)xef (x)dx = eIn(1 ex)dx - - ln(1 ex)dex分部积分-_eln(1 ex)亠 ie e x dx1 +e-x-eln(1 ex)1ex ex1exdx拆项ex=-el n(1 ex)(1)dx1 +exx xe=-e ln(1 e )亠 i1dxx dxL1 +e1=e ln(1 ex)1dx- dexT+ex1-en(1 ex)亠 i1dxx d(ex 1)L1 +e-eln(1 ex) x ln(1 ex) C方法2：作积分变量替换，命x = lnt，f (x)dx = f (ln t) fdt =

16、ln(；2 竹 dt Jln(1 t)d ”分部积分ln(1 t)t)dt部分分式求和ln(1 t)t1 1.严d(1 t)ln(1 t)tIn t - In(1-t) C-eln(1 ex)x In(1 - ex)C.四【详解】先写出面积 S(t)的(分段)表达式，当0 :t ：:1时，图形为三角形，利用三角形的面积公式：1 2S(t)弓2 ；当1 :：:t ：:2时，图形面积可由正方形面积减去小三角形面 积，其中由于x y =t与y =1交点的纵坐标为t -1，于是， 小三角形的边长为：1 -(t 一1) =2 _t，所以S(t) =1 一扣t)2 =1 一押4t 4) 一”2 2t 一1

17、 ；当t 2时，图形面积就是正方形的面积：S(t)=1,则1 2-t2,0兰t 兰 1,21 2S(t)= 1-?(2-t),仁：仁 2,1,2ct.IX0 S(t)dt 二=X 1 202血XX0 S(t)dt 二10S(t)dt 辺 S(t)dt 二1 1 2 x 12三tdt+H1 二(t2)dt6 (x1)(x2)36 63X 21X _x _63当 x2时，f0 S(t)dt2x0S(t)dt 2S(t)dt=121dt=x-1.1 3-x30 兰 xE16X1321因此S(t)dtx3 x2 - x1 ： x 乞 2p63x-1xa2五【详解】方法1：按莱布尼茨高阶导数公式:为了求

18、ln(1 x)的n阶导数，设y = In(1 x)，3(X)般地，可得y(n) (-1严(n-1)!(1 X)nlln(1 - x)严(-1严5 -1)!(1 - x)n设 u = ln(1 x),V=x2，利用上述公式对函数展开，由于对X2求导，从三阶导数开始就为零，故展开式中只含有前三项f(n)(x)(1 x)n(V x)nJ(1 x)n，代入x = 0，得:f(n) (0)= 3,411(.二 n(n -1)(-1)nJ3( n - 3)! =()n !,n n 2方法2： y = f (x)带佩亚诺余项的麦克劳林公式：f(x) =f (0) f (0)x f-(0)x| fxn?(xn

19、)2!n!求fn(0)(n3)可以通过先求y = f(x)的的麦克劳林展开式，则展开式中xn项的系数与n!的乘积就是y = f(x)在点x = 0处的n阶导数值f (n)(0).由麦克劳林公式，23n-2In (1 x)=x_0 X (_1严上 W),23n -245n-2所以 X21n(1 x)=x3-0 X(T)nJl_X(Xn).23n -2对照麦克劳林公式f (0). f (0)2f(n)(0) n . _ / n、f (x)二 f (0)XXX - (X ),1!2!n!从而推知f(n)(0) (一1)2n! n -2n -1 |得f(n)(O)=G 丄，n=3,4|(.n 2六【详

20、解】因为 cosx兰0,且n兀Exc（n+1）兀，n兀x（n卅）兀所以 jcosx dx乞jjcosx dx cosx dx.定积分的性质又因为cosx具有周期兀，所以在长度为 兀的积分区间上的积分值均相等：a 二cosxIH|dx = cosx dx，从而0 cosxdxj2nJ cosx dx = n( J2 cos xdx - 丘cos xdx)2cosx dxS Vnjtcosx dx III(n)_：cosxdx丑n=n(sin x 2 -sin x 冬)=n(1 一(0 1) = 2n2十(n +)兀所以 ocos xdx = 2(n 1).x所以 2n 兰|cosxdx c2(n

21、+1),即 2n 兰S(x)c2(n+1).亠亠 ”八 丄八 2n S(x) 2( n+1) (2)由有，当n二空x二(n -1)二时，(n +1)兀xn 兀命nr -取极限,lim2n(n 1)-：. 2 2 =limn “ 1、 二(1 ) :nlim心n n二12(1 ) =lim-n :： 二JT由夹逼定理，得limSX一儿 x2ji七【详解】设从2000年初（相应t =0）开始，第t年湖泊中污染物 A的总量为m ,浓度为m Vdtdmdt =(巴-巴)63d(mo-m)63“ Cu/mo m3ln (巴一 m)=t Ci6373)-3t矩m0m丁e：二63tCime3 J6Cl m0

22、 c=m3e 32tmgm 0 -C e 32_Ci(C则在时间间隔t，t dt内，排入湖泊中A的量为：宁gtW 谓dt，流出湖泊 的水中A的量为m Vdt = mdt.V 33因而时间从t到t dt相应地湖泊中污染物 A的改变量为：dm =：(巴_ m)dt.63由分离变量法求解:dmrmg(6两边求积分：一t是m =二 (1 93)，要满=mg29初始条件为m(0) =5m0，代入初始条件得 Cm0.2足污染物A的含量可降至 m0内，命m =m0,得t = 61 n3 .即至多需经过6ln3年，湖泊中A的含量降至m以内.八【证明】x方法 1 令 F(x)二 f (t)dt,0 Ex 乞二，

23、有 F(0) =0,由题设有 F(：)=0 .又由题设 f (x)cosxdx =0，用分部积分，有jiji0 = o f(x)cosxdx= o cosxdF (x)=F (x)cos x Jo F (x)sin xdx = J。F (x)sin xdx 由积分中值定理知，存在-(0,二)使0F (x)sin xdx = F ( )sin (二-0)因为：(0,二)，sin -0，所以推知存在-(0,二)，使得F)= 0.再在区间0,与匚:上对F(x)用罗尔定理，推知存在 (0,)， 厂(/：)使F (J =0,F ( ；) =0，即 f ( J =0,f( ；) =0jr方法2：由o f

24、(x)ck 及积分中值定理知，存在1 . (0,二)，使f ( 1 =0 .若在区间(0,二) 内f (x)仅有一个零点i，则在区间(0, J与(1,二)内f(x)异号.不妨设在(0, 1)内f (x) 0，在(i,二)内 f (x) : 0.于是由 f (x)dx 二 0, f (x)cos xdx = 0，有0= 0 f(x)cosxdx- 0 f (x)cos x 二 o f (x)(cosx-cos 1)dxi二=J f (x)(cosx-cos-Jdx + 良 f (x)(cosx_cos-Jdx0 1当 0 ：:X ：: 1 时，coscos， f(X)(COSX -COS 1)

25、0 ；当 1 ：: X ：:二时，cosx ： cos，仍有 f (x)(cosx-cos J 0 ,得到：0 0.矛盾，此矛盾证明了 f(x)在(0,二)仅有1个零点的假设不正确，故在(0,二)内f(x)至少有2个不同的零点.九【详解】为了求曲线 y = f (x)在点(6, f (6)处的切线方程，首先需要求出y = f (x)在x二6处的导数，即切线斜率.而函数又是以周期为 5的函数，且在x = 1处可导，则在x = 6 处可导，且其导数值等于函数在x=1处的导数值将f(1 sinx) - 3f(1 -sinx) =8x匕(x)两边令x； 0取极限，由f的连续性得-2f(1) = 0f

26、(1)-3f (1)=IJm(8x ： (x) = 0 =故f(1)=0，又由原设f (x)在x=1处可导，两边同除si nx，f (1 sinx)-f(1)f(1-sin x)-f(1)8x(x)lim3limlimlimxt0sinxxt-si nxsi nx Tsinx根据导数的定义，得8x xa (x) xf (1) 3f (1) = lim lim (x24f (1) = 8x-0 x sinx xt xsinx所以f (1) =2，又因f (6) = f (5f (1)，所以f (6) =2，由点斜式，切线方程为(y-f(6) =f (6)(x-6).以 f (6) = f (1)

27、 =0, f (6) =2代入得 y=2(x6).即 2x y12 = 0.1十【详解】首先联立两式，求直线与曲线的交点：1 - x2二ax2，得：x二 丄，而x - 0， J1+a则交点坐标为：1aax(x,yT .心讥).由点斜式，故直线OA的方程为a由旋转体体积公式b 2Vf2(x)dx，要求的体积就是用大体积减去小体积:aax.1a2dx12122)a 1 二 ax2 dx = a 1 二(-a2x4)dx3a2x5(3(1 十 a) 5 丿2 二 a2515(1 a)2f、c22兀a2兀I 2 aF2兀2a5J5(1+a)2155 l(1 + a)2 丿-15为了求V的最大值，对函数

28、关于a求导,32 二2 二5(1 a)2 -adVda2 53(1a)2 25 (1 a)1515(1 a)22a(1 a) -总 a22 _(1 a)5152a(1 a)-；a22 -7(1 af25 22 a 2a a 27(1 a尸151 2.2 a a 27(1 a)24 aa2157(1 af-J /命=0,得唯一驻点a = 4，所以daa - 4也是V的最大值点，最大体积为V32 5=Ji心 18751 x十【详解】 为了求f (x)，将f (x) f (x)f (t)dt = 0两边同乘(x 1)，得x+ox(x 1)f (x) (x 1)f(x) - .o f(t)dt =0,两边对x求导，得f (x) (x 1) f (x) f (x) (x 1) f (x) - f (x) = 0即(x 1)f (x) (x 2)f (x) =0.上述方程为二阶可降阶微分方程，令u二f (x)，化为(x 1)u (x 2)u =0，即du(x 2),dxu(x 1)两边求积分:duu即 In u =-(x+ln(x+1) + G(_x _ln(x 1)-Ci)x 1Ci 所以 u - _e- _(ee )x+1c ce -x令