线线角_线面角_二面角的一些题目

1、筑筑角与线面角习題二.镌诲独1 在杳间g边形ABCD中，AD=BC=2. E. F分别为AB、CD的中点且EF= V5 AD. BC 所成的角为 2如臥在长方体ABCDA】B】CD中，B|C和C】D与底面所成的角分别为60。和45,则异而直线B|C和CjD所成角的余孩值为(A).V64(B)当V2(C)-V3 平而Q与直线d所成的角为直线与平而Q所冇直线所成的角的取值国3是4 如国.ABCD是正方形.PD丄平面ABCD.PD=AD.刪PA与BD所成的角的度散为(A) 30 (B) .45 (C) .60 (D) .90 5 冇一个三角尺ABG/A = 30 ZC=90BC是贴于東而上. 生三角

2、尺与桌面成45。角时.AB边与来面所成角的正孩值 是.i.典旻钢题ADAB例1如图正方形ABCD所疫平面与正方形BABEF所亦平面成60角求幷而直线AD与BF所成角的余孩值 备谍说刖:1 求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形作法冇： 平移比:在异面直线的一条上选择“特殊点” 作另一条直线平行线 戎利用中佞线补形比:把杳间團形补成就急的几何体其目的A于彖 易发现两条异面直线的关糸2鮮立几计算題要先作出所求的角并要 冇产格的推理论证过程还要冇令理的步骤.的2 如图在正方体AC】中. 求BC】与平面ACCA所成的角：(2)求AD与平而A】GB所成 的角AB备课说朗：求直线与平面所成角的关键是找直

3、线在此平面上的射彩为此 必须A.这条直线上找一点作平面的垂线.作垂线的方出常采用:利用平 而垂直的性质找平而的垂线点的射彩A面的特珠住五 A例3 已知直三梭住ABCADGAB=ACF为拔BB】上一点.BF : FB】=2 : 1.BF = BC=2d 若D为BC的中点.E为线A AD上不同于A、D的任意一点证刚：EF丄FC】: 忒问：若AB=2c確线段AD上的E点能召使EF与平面BB】C】C成60角为什么？证朋你的结论.备谍说刖：这赴一道探索性命幾也是近年壽考热点问题解 决这类问題常假设命題成立冉研克是否与己知条件矛盾. 从而判新命題是丢成立.叫反债條习1沒集合A. B. C分别表示并而直线所

4、成的角.平面的斜线与平而所成的角.直线与平而 所成的角的取伎臥则(A)A=B = C(B)A=BuC (C)AcBcC(D) BuAuC.2両条亘烦a上与平而所成的角相寻则直线a的住1L关糸是(A)平行(B)相交(C)异面(D)以上均右可能.3设枚长为1的正方体ABCDA|B】CD中，M. N分别为AA|和BB】的中点，则直线CM和 D|N所成角的正孩值为4己知a. b是一对幷而直线.且a. /?成60。角.刪心过咗间任克点P的所冇直线中，与 a . 均成60。角的直线冇条.5异而亘規a、互相垂直，c与a成30。角,fHc与/?所成角的谢是6/ACB = 90。疫平面tz、PC与CA. CB所

5、成的角Z PCA= / PCB = 60.#ii PC与平而a所成的 角为7设线段AB= a .AB心平而a .CA丄a .BD与a成30 角.BD丄AB.C、D疫Q同 側.CA=BD=b 求：(1)CD的长;(2)CD与平而a所成角正弦值.1. 60。2 .A 34.C5.垃324典憂钢题例 1 解:TCB /ADZCBF为异面直线AD与BF所成的角连接CF. CE很正方形ABCD的边长为Q 則BF=TCB丄AB. EB丄AB/./CEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角.ZCBE=Z60 CE=a FC= pN/.cos / CBF=V2VOB 例2解:设所求的角为Q丸证BD丄平面ACC

6、|A|j：l sina =sin/OC】B= =故BC 2/6.ybA|H =。故 cosZ. B|A|H =所求角为 arccos3533例3鮮:连接OF汆易证期AD丄而BBCQ DF是EF A面BQCB的射彩且DF丄FC“ FG丄EF(2) TAD丄面BBQC. Z EFD是EF与平面BBQC所成的角在ZkEDF中若上 EFD = 60。则 ED = DF - tan60 =、行石=VHd .T AB = BC=AC=2d .二 AD=馆“ .Tf5ay/3a.：.E DA的延长线上而不在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与 平而BBQC成60。角.反债林习4/51. D2.D3.

7、4.3 5.60906.4597鮮:(1)作DD，丄Q于D 连接AD BDCA丄a ./.CA/DDZ .s边形CADZ D是直角 槎形,/CADz =/DDA=90JABuq.AB 丄 DDz 又 AB 丄 BD. AB 丄平面 BDD，BDZ u 平而 BDD AB 丄 BD /ZDBDZ 是 BD 与 a 所成的角./DBDZ =30BD= Z? ,DDZ-,BDZ :2=.A. A ABDZ 中,AB= a ,BD 7 = ,Z ABD z =90 AD 2 2=AB2 + BD2 = 护 + 牛.层 CAD D 中,CD= AD2 +(AC-D D)2 = yla2+b2 .作Dz

8、Cz II DC交CA于Cz .上C D A是CD与a所成的角,sin Z Cz Dz _AC_ b=CD = 27线面角与而而角练习一.知识与方出要点: 1.斜统与平面所成的角就赴斜线与它心平而的射影的夹角。求斜线与平而所成的角关键是 找到斜线亦平面的射彩，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时絞常要用而 而垂直来确支垂足的iKo若垂足的後置难以确岌，可考虑用其它方出求出斜线上一点 列平面的距雷。二而角的大小用它的平而角来度量，求二面角大小的关键是找列戎作出它的平而角(要链 朗)。作二而角的平而角经常要用三垂线定理.关键是过二面角的一个面的一支向另一个 而作垂线并确定垂足的住置。若二而

9、角的平而角难以作出，可考虑用射彩而孩公式求 二面角的大小0判岌两个平而垂JG 关键是衣.一个平而找到一条垂直于另一个平而的直线1。 两个平面垂直的性质岌理是：如采两个平面垂直， 线垂直于另一个平而.二.例题 例1.正方体ABCD-A|BCD|中，M为C|D|中点(1) 求证：AC】丄平而A】BD.(2) 求BM与平而AiBD成的角的正匕值.解：(1)4. AC,C|C丄平面ABCD,C】C丄BD.又AC丄BD,.AC|丄BD.同理AC】丄A【BA】BriBD=B AC丄平而A|BD.(2)设正方体的披长为a ,连AD“ AD】交AQ于E,AC|丄平而A】BD/.ME丄平而A】BD2.3.那么右

10、L个平面垂直于它们交统的直连结 ME,在D|AG 中，ME/ACh决结BE,则上MBE为BM与平面AD成的角.A RtAMEB中,MEBE =a, .-.tanZMBE = = 6BE 2例2.如国，把等牍直角三角形ABC以斜边AB为軸炎转， 使C点移动的距离等于AC对停止，并北为点P.()求证：面ABP丄面ABC； (2)求二而角C-BP-A的余孩值.由題很知AP二CP二BP.& P疫而ABC的射彩D应是AABC的外心.证朗(U即DAB. TPD丄AB, PDu而ABP,由面面垂直的判定岌理知，而ABP丄面(2)解法1 取PB中点E,连结CE. DE. CD. V ABCP为正三角形，.CE

11、丄BD BOD为等腹直角三角形，DE丄PB.ZCED为二面角C-BP-A的平而角. 又由C1J知.而ABP丄面ABC, DC丄AB, AB二而ABPD而ABC, 由而而垂直性施主理，得DC丄而ABPDC丄DE.因此 CDE为直角三角形.ill BC = 1, fl* CE =, DE = , cos Z.CED =- = -= .22CE 卫 3c2例3如團所示，A正三核柱ABC-A0IG中，E w BB槪面人EC丄側面AC】. 求证：BE = EB、；. F(2)若M = AB,求平面AC与平面AEG所成二面角(锐角)的皮救.|CCi2-5证朗：底札面A吒C,过E作EG丄AC G是垂足，如图

12、而A EC丄面AC】,/.EG丄側面AC】取AC的中点F.分别连.结BF和FC,由AB二BC得BF丄AC.而ABC丄侧面AC，.BF丄側而AC1 ,得BF/EG. BF和EG确定一个平面，交側而AC】于FG.BE/側而 ACBE/FG, 边形 BEGF 是 u, BE=FG. BE/AA /. FG II AA. , AAAAFGC 丁AB = FC,；FG=+aAi= ?BB,乙o即 BE=*BB,故BE二EB.解：分别延长CE和C1B1交于AD连结DTEBjJI CC“ EB2= |bB!= |cCl,.DB=舟DC】二 BG 二典陽* Z B! A j C| = Z B j C! A j

13、 = 60 ZDAjBZAjDB -(180 -ZDB1A1)= 30 ,/ Z DA | C j = Z DA | B j + Z B | A t C)= 90 Pp DA 丄 A C 】 / CC丄面 A ： C 丨 B 由三垂线龙理得DA】丄A|C,所以ZCAC是所求二面角的平面角.且ZA1ClC = 90 T CC | = AA = Aj B j = A. Cj , /. Z CA C = 45 即所求二面角为 45 说朗：如采敌用而欣射影定理，則还冇另外的幷出.三.作业：1已知平面a的一条斜线a与平而a成0角，直线buct,且a.b异而，则a与b所成的角为(A丿a.冇呆小值e,有呆丸

14、值+B.无最小值，冇贡大值壬。c.有呆小值 无呆大值D.冇呆小值乞冇聂大值応一e。2. 下列命幾中正确的是(D)A. 过平面外点作该平而的垂而冇且只有一个B. 过克线外一点作该直线的平行平面冇且只有一个C. 过直线.外一点作该直线的垂线有且只有一条D. 过平面外的一条斜线作该平而的垂面有且只冇一个3. 一条长为60的线段夾疫互相垂直的两个平而之间.它和这両个平面所成的角分别为 45和30 这条线段的而个端点向平面的交线JI垂线，则垂足间的距雷是 (AJA. 30B. 20C. 15D. 124. 很正枚锥SABCD的側樓长为迈,底面边长为了，E是SA的中点，则异而直线1BE与SC所成的角是(C

15、)A. 30B. 45C. 60D. 905. 正三技锥的側面与底面所成的二面角arctan 2/2 ,则它的側披与底面所成的角为迈6. A 是ABCD 所在平面外的点 ZBAC= ZCAB = / DAB =60 , AB = 3, AC=AD=2 (I )求证：AB丄CD；CH J求AB与平面BCD所成角的余孩值7.正凹面体ABCD中.E旻AD边的中点，求：CE与康而BCD所成角的正弦值* 解 过A, E分别作AH丄而BCD, EO丄面BCD, H, O为垂足， /.AH &OE, AH, OE 确主平而 AHD,连结 OC, ZECO 即为所求.vAB=AC=AD, ,HB = HC=H

16、D .BCD是正三角形.H是ABCD的中心.连结DH并延长交BC于F, F为BC的中点2 2DH =-DF = -xa = a A RtAADH 中，3 3 23BDCAH = 7aP2 -DH2 = Ja2 - ja2 = ya图 1-49TOE 骂 AH,0 尝.OE = -xa=a,Ta8.在凹面体 ABCD 中，DA丄面 ABC, /ABC = 9O , AE丄CD, AF丄DB. 求证：fl； EF丄DC； (2)平面DBC丄平面AEF(3)若AD =刘AB = a, AC = a,求二面角B-DC-A的正弦值.证朗 如图183()VAD丄面ABC. /.AD丄BC.又T上ABC =

17、 90 二 BC 丄 AB.BC丄而DAB.DB是DC A面ABD的射彩 TAF丄DB.AF丄CD C三垂线支理丿e/AE丄CD. CD丄平而AEF. .CD丄EF.(2) VCD丄AE, CD丄EF. CD丄而AEFTCD匸面BCD.面AEF 丄而BCD(3)由EF丄CD, AE丄CD .ZAEF为二面角BDCA的平面角，在RtZXADB中BD = JaAJ =在RtZkADC 中 CD = 2a 二 AE =a* 3a 73=a2a 2又TAF丄DB, AF丄CD, BDf CD = D .AF丄平面 DBC,_4F又EF在平面DBC內佔丄EF在RtZXAEF中，sinAEF = AETa

18、ITTaa/6T故二面角BDCA的正弦值为当.二面角题同:如图所示，已知PA丄面ABC , S*bc=S、Sbc =s，二面角P-BC-A的平而角为求证：Scos = S2. 如图，A空间国边形ABCD中，3CD是正三角形，4U辺是等股直角三角形，且 ZBAD = 90 ,又二而角A BDC为直二面角求二面角A CD B的大小。BBD例3.设A疫平面3CD的射彩赴直角三角形BCD的斜迦BD的中点 O, AC = BC = 、CD = 4,求C1J AC与平面BCD所成角的丸小；(2) 二而角A BC D的大、；(3) 并而直线AB和CD所成角的大小。例4农正方体ABCDATTCQ中.M为 必的中点.求审用DMB与底面ABCD所成 较小的二而角的大小。选用：如图，正方体的核长为1. BfC0BCl = O9求：C1丿AO与KU所成角；(2) AO与 ABCD所成角的正切值；(3) AOB