北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题(解析版)

1、北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）第4页，共11页、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知复数么x的取值范围是为虚数单位,在复平面内对应的点在第二象限，那A.B.C.D.【答案】【解析】解：复数 ，解得那么x的取值范围是故选：A.利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出.本题考查了复数的运算法则及其几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力,属于基础题.为虚数单位,在复平面内对应的点在第二象限,2. 已知 ，那么下列不等式中一定成立的是A. B.C.D.-【答案】D【解析】解：若，则，则，故A错误，不一定成立，贝U C不成立，-,- ，则-

2、，成立，故D正确，故选：D.根据a, b飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可.本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础.3.已知等差数列的前15项和，那么等于A. 6B. 10C. 12D. 15【答案】A【解析】解：等差数列的前15项和故选：A.推导出一一，由此能求出的值.本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4. i是虚数单位，复数一等于A.B.C.D.【答案】B【解析】解:故选：B.直接利用复数的除法运算进行化简计算. 本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，

3、是基础题.5. 已知椭圆一的一个焦点是，那么实数A.B.C. 3D. 5【答案】D【解析】解：因为椭圆的一个焦点是所以所以故选：D.，利用a, b, c的关系，求出k的值即可.通过椭圆的焦点，确定本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题.6. 已知为数列的前n项和，那么A.B.C.D.【答案】C【解析】解：时，可得：，化为时，数列从第二项起为等比数列，公比为2,首项为那么故选：C.利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出.本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7. “直线 平面”是“直线在平面 夕卜”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.

4、充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“直线I与平面平行” “直线I在平面夕卜”“直线I在平面 夕卜”则直线I与平面 平行或相交，故“直线I在平面 夕卜”不能推出 “直线I与平面平行”故“直线I与平面 平行”是“直线I在平面 夕卜”的充分非必要条件故选：A.根据直线I在平面外则直线I与平面平行或相交可判定“直线 I与平面平行”与“直 线I在平面 夕卜”的关系.本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件的判定，同时考查了分析问题的能力， 属于基础题.8. 已知为直线 说法中：I的方向向量，分别为平面，的法向量不重合那么下列确的有;正A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】

5、B【解析】解：平面，不重合；平面，的法向量平行 垂直 等价于平面，平行 垂直； 正确；直线I的方向向量平行 垂直于平面的法向量等价于直线I垂直平行于平面 都错误.故选：B.可以想象图形即可判断每个说法的正误.考查平面法向量的概念，直线方向向量的概念.9.三棱柱的侧棱与底面垂直，,N是BC的中点，点P在 上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为A. -B. -C. D.【答案】A【解析】解:如图，以AB, AC,分别为x, y, z轴,建立空间直角坐标系0,平面ABC的一个法向量为0,-时,，此时角最大为场Cl故选：A.建立空间直角坐标系， 利用向量的夹角公式， 求出直线PN

6、与平面ABC所成的角，即可 求得结论.本题考查使线面角的最大值的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量 法的合理运用.10.已知数列1，1, 接下来的两项是1, 2，4，1, 2, 4，8,，再接下来的三项是1, 2， 4，8, 16,其中第一项是 ，依此类推那么该数列的前第4页，共11页50项和为A. 1044B. 1024C.1045D. 1025【答案】A【解析】解：将已知数列分组，使每组第一项均为 即：第一组：，1,第二组： ，第三组： ，第 k 组：，根据等比数列前 n项和公式， 求得每项和分别为：每项含有的项数为：1, 2, 3, , k,总共的项数为时,故该数列的前5

7、0项和为故选：A.将已知数列分组，使每组第一项均为1,第一组:，第二组:,，第三组：，, 第k组：，根据等比数列前 n项和公式，能求出该数列的前50项和.本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论 证能力、归纳总结能力，属于中档题.二、填空题（本大题共 6小题，共24.0分）11.命题，的否定是.【答案】，【解析】解：原命题为：，原命题为全称命题其否定为存在性命题，且不等号须改变原命题的否定为：，故答案为：，根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：“若A,则B”的否定为“若，则”；全称命

8、题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题本题考查第二种形式，属简单题12.当且仅当 时，函数-取得最小值.【答案】-【解析】解：由于，由基本不等式可得-，当且仅当-，即当-时，等号成立.故答案为：-.利用基本不等式时，等号成立，即-时，得出x的值.本题考查基本不等式的应用，使用基本不等式注意三个条件“一正、二定、三相等”， 考查计算能力，属于基础题.13.已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为，则抛物线C的标准方程为【答案】【解析】解：由题意可设抛物线C的方程为准线方程为，-，解得抛物线C的标准方程为.故答案为：由题意可设抛物线 C的方程为，由

9、已知准线方程为可解得p，则抛物线方程可求.本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题.14.不等式的解集为.【答案】【解析】解：不等式等价为，即，即，则不等式的解集为，故答案为：将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可.本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键.15.已知，是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A, B两点,若是等边三角形，则这个椭圆的离心率是 【答案】-，焦距【解析】解：是正三角形,直线AB与椭圆长轴垂直，是正三角形的高，中，设，因此，椭圆的长轴椭圆的离心率为-一一 故答案为：-根据是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，

10、得到是正三角形的高，在中，设，可得-，所以，用勾股定理算出一，得到椭圆的长轴，焦距一，所以椭圆的离心率为一二.本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离心率重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题.16.如图所示，四棱锥中， 底面ABCD ,底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点,当直线PA与直线BEM所成的角为 时，那么线段PM的长度是 【答案】一【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则 0, ,0, ,2,是棱PB的中点，1，设 m，则解得 -，故答案为:建立空间直角坐标系，易得各点坐标，设出点M的坐标，可得向量，代入异面直线所

11、成角公式可得点 M的坐标，问题得解.此题考查了异面直线所成角，空间坐标系等，难度适中.三、解答题（本大题共 4小题，共36.0 分）17.等差数列中，I求数列的通项公式；n若，分别是等比数列的第4项和第5项，试求数列的通项公式【答案】解：I在等差数列中，由，n在等比数列中，有，公比一 ，则【解析】I在等差数列中，由已知求得d，代入等差数列的通项公式即可；n在等比数列中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案.第8页，共11页本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题.18. 已知顶点在原点，焦点在 x轴上的抛物线 C经过点I求抛物线C的标准方程；n经过抛

12、物线C的焦点且斜率为2的直线I交抛物线C于A, B两点，求线段AB 的长.【答案】解： I由题意设抛物线C的标准方程为，其图象经过点，则，解得，抛物线C的标准方程为；n抛物线C的标准方程为，焦点，准线方程为；过焦点且斜率为 2的直线I方程为，由，消去y,整理得，由根与系数的关系得，线段AB的长为【解析】I利用待定系数法求出 p的值，写出抛物线 C的标准方程;n写出抛物线C的焦点坐标和准线方程,写出过焦点且斜率为2的直线方程，与抛物线方程联立，消去 y得关于x的方程，利用根与系数的关系求得的值，再求线段AB的长.本题考查了抛物线的标准方程与弦长问题，是中档题.19. 如图，在三棱锥中， 底面AB

13、C,点D, E分别为棱PA, PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，I求证：平面BDE ;n求直线MN到平面BDE的距离；川求二面角的大小.【答案】证明：i在三棱锥中， 底面ABC,点D , E分别为棱PA, PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的 中点，,以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，第8X0,0,4,2,0,0,2,2,0,2,设平面BDE的法向量y,则，取,平面BDE,平面BDE .建立空间直角坐标系,n,0,，得直线 MN到平面BDE的距离:第11页，共11页川平面BDE的法向量0,平面DEP的法向量0，设二面角的大小为，二面角的大小为-.【解析

14、】I以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能证明平面BDE .n求出0,利用向量法得直线 MN到平面BDE的距离 .川求出平面BDE的法向量和平面 DEP的法向量，利用向量法能求出二面角 的大小.本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，短轴长为一，离心率为一.I求椭圆C的方程；n若过点的直线与椭圆C交于A, B两点，且P点平分线段AB,求直线AB的方程；川一条动直线I与椭圆C交于不同两点M ,N,0为坐标原点，的面积为一求证：为定值.【答案】解：I设椭圆方程为即有即由，可得则椭圆方程为n设，由可得即有直线AB的方程为川证明：设当直线I的斜率不存在时, 由? ,即卩，点为AB的中点，可得，相减可得-，化为，则M，N关于x轴对称，即的面积为匚，可得-即有一，可得当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为代入椭圆方程，可得可得，可得O到直线I的距离为则-化为即有则，综上可得，为定值5.【解析】I设椭圆方程为一 一，由题意可得b,运用离心率公式和a, b, c的关系可得b,进而得到椭圆方程；n设，运用中点坐标公