46正弦定理和余弦定理

1、4.6正弦定理和余弦定理、选择题1.在厶ABC中，若/ A= 60 b= 1,SA ABC=d3,则a + b+ c sin A + sin B+ sin C的值为（A.26/33c.亨D.13/331解析：/ Saabc= , 3，即 2bcsin A= 3,二 c= 4.由余弦定理 a2= b2 + c2 2bccosA = 13 ,-a = 13,a + b+ csin A+ sin B + sin C sin A 3答案：B2.在厶 ABC 中，已知/ B= 45 c= 2/2,b =甘，则/ A等于（）A. 15 B. 75 C. 105D. 75。或 15 解析：根据正弦定理孟si

2、n B，辽4；33,csin B 22 X sin C= b C= 60或 C= 120 因此 A = 75或 A = 15答案：D3.在厶ABC中，设命题p：sin B sin C sinA 命题q： ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A .充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D .既不充分也不必要条件解析：若 ABC是等边三角形，则 孟=snA ；若si?B=snA，a2= bc,asin Absin Bcsin C，则 b2= ac,c2 = ab,即a= b= c. p是q的充要条件.答案：C4.若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围

3、是（ ）解析：设厶ABC三内角为A、B、/ C ,且/A + Z B + Z C = 180sin(60 4 A) 3 sin A12 cot A + 22.答案：B二、填空题5.在厶ABC中,7sin A + cosA=和,z 5sin A+ 4cos A 则15sin A 7cosA解析：由已知2sin AcosA =舄,289 cosAv 0,即 A 为钝角， (sin A cosA)2= ,6.7.1712- sin A cosA=，贝sin A=,1313答案：43cosA 务原式二43.在厶ABC中，Z C= 60 , a, b, c分别为Z A、Z B、Z C的对边，则倉+ 十b

4、十c c十a解析：因为 Z C= 60 所以 a2+ b2= c2 + ab,所以(a2 + ac) + (b2+ bc)= (b+ c)(c+ a),所 以一匚4 = 1,故填1.b+ c c+a答案：1在厶ABC中，a、b、c分别为Z A、Z B、Z C的对边长，已知 a, b, c成等比数列，且 a2 c2= ac be,则Z A=, ABC 为.解析：/ a, b, c 成等比数列， b2 = ac.又 a2 c2 = ac bc, b2 + c2 a2= bc.2. 2 2b 十 c abc 1在厶ABC中，由余弦定理得 cosA=h = 1, /A= 602bc2bc 2b2由 b

5、2= ac, 即卩 a=，代入 a2 c2 = ac bc 整理得(b c)(b3+ c3 + cb2)= 0,c b= c.则厶ABC为正三角形.答案：60正三角形三、解答题8. （2009湖南）在厶ABC中，已知，求角 A、B、C的大小.解答：设厶ABC三内角A、B、C的对边分别为a, b, c,由2丽历苹 -IT：.3斎 得2cos A= 3,=bc= V3a2,由 cosA=23，又 0v Av 180 贝U A= 30C,其对边为 a、b、c,且 AvBvC,由 2Z B= ZA + ，可得/ B = 60,由已知/Av3。=I =貯=9.已知圆内接四边形 的面积.解答：如图，连结B

6、D,则有四边形ABCD的面积2 . 2 2 2 . 2 2根据余弦定理cosA= b + c a，即b + c a =，2bc2bc 2代入整理得.3b2 4bc+3 c2= 0，b= 4cP 16羊“卅，解得 b= W c，或 c= V3b.b= 3 c时，c= a，贝U C= A= 30 B= 180 (A + C)= 120c= 3 b时，b= a，贝U B= A= 30 C= 180 (A+ B)= 120.综上可知： A = C= 30 B= 120或者 A = B= 30 C= 120.ABCD的边长分别为 AB = 2, BC= 6, CD = DA = 4,求四边形 ABCD1

7、 1AD + BC CD)sin AS= abd + bcd =，AB ADsin A+ BC CDsin C.T A+ C= 180 二 sin A = sin C. S=2(2 x 4+ 6X 4)sin A = 16sin A.由余弦定理，在 ABD 中，BD2= AB2+ AD2- 2AB ADcosA=22+ 42 2x 2 x 4cosA= 20 16cos A.在厶 CDB 中，BD2= CB2+ CD2 2CB CDcosC= 62+ 42 2x 6x 4cosC= 52 48cos C.-20 16cos A = 52 48cos C,1/ cosC= cosA，. 64co

8、s A= 32，cosA= ?， A= 120S= 16sin 120 =8 3.10.在 ABC 中，已知/ B = 60最大边与最小边的比为 违匕，求 ABC的最大角.解答：解法一：设最大边为 a，最小边为c，边a、c所对角为A、C，则c =于，由正弦定理隸2卄，即 sin a=sin C.又 sin A= sin180 (B+ C) = sin(B+ C)= sin BcosC+ cosBsin C= cosC+ fsin C，3 +1312 sin C= 2 cosC+ qSin C，即 sin C= cosC .又 0 C v 180 / C = 45 A = 180但 + C)=

9、75解法二：设最大边长为a,最小边长为c,则譽止2,由害=2 ,则 b2= a2+c2 ac.2 2 2 处 a + b c cosC=2ab22a ac2aa2 r- cc2a . a2+ c2-ac ?aa；_ a* “2.c c c又 0 C 180 a C= 45 则 A= 180 (B+ C) = 751.在厶ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c , a= 2 3 , tanAB + tanC = 4,2sinBcosC = sin A,求 A, B 及 b, c.解答：由tan号+ tanC = 4得叫=4，C c cos2 sinq C+C= 4, siri cos2

10、CL_C = 4.sincos2 sin C = 1,又 C (0 , n). C = f,或 C=尹,由 2sin BcosC = sin A 得 2sin BcosC = sin(B + C),n2 n即 sin(B C)= 0,. B = C , B = C = , A = n (B + C)=631由正弦定理.a = b = ”c 得 b= c= aS B= 2寸-2 = 2.sin A sin B sin Csin A寸 322.如下图，D是直角 ABC斜边BC上一点，AB= AD ,记/ CAD = a, / ABC = 3(1)证明 sin a+ cos 23= 0; (2)若 AC = . 3DC ,求 3 的值.解答：（1）证明：T AB = AD,则/ ADB = 3,C= 3 a.又/ B + Z C = 90 ,即 2