【100所名校】2018—2019学年北京八中第一学期高三期中考试数学(理科)试题(解析版)

1、2018 2019学年北京八中第一学期5.在ABC中,M是BC的中点,AM = 3,点P在AM上，且满足？?= 2?则1?（?+高三期中考试数学（理科）试题A. 4 B. 2C. - 2 D. -4数学号 证 考 准注意事项：1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。2 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。4 考试结束后，请将本试题卷

2、和答题卡一并上交。一、单选题1 .已知 m,n R,集合 A = 2, log 7m,集合 B =m, n,若 A AB =0,则 m + n =A . 0 B. 1 C. 7 D . 82. 已知抛物线 ? ? = 8?的焦点为？准线与？轴的交点为？?，点？在？上且|?|=迈|?,| 则?的面积为A . 4 B. 8 C. 16 D. 323. ? 0”是？?+ sin? 0”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件14 .函数?= （?- ?cos?（-? ? 0，且？?工1 ）及？?= log ?（?0,且？?工1）的图象与线段?分别交于点？?

3、，?且？?，？?恰好是线段?的两个三等分点，则?满足A . ?* ? 1 B . ? ? ? 1D . ? 11_ _ 1 ? 1已知?(?= ?_ ,一,若函数?(?=In?0 ? 1,?（?） ? ?只有一个零点，则?的取值范围是?A . (- 8,-1) U(1, +s)B. (_1,1)C . 0,1 D . (- 8,-1 U0,1?8 .设?（?= ?sin2?+ ?cos2?其中？?？? ? 0,若？（?齐 |?）| 对一切？?恒成立,则下列结论正确的是 ?毎=0 ； 函数？?= ?（?既不是奇函数也不是偶函数； ?（?的单调递增区间是?+ -,?+三（? ?； 存在经过点（?,

4、?的直线与函数？?（?的图象不相交.A . B . C. D .、填空题9.在极坐标系中，圆？?= 2的圆心到直线?cos?+ ?sin?= 2上的动点的距离的最小值为10 .若双曲线? + 7? = 1的一条渐近线的倾斜角为 60 则?=.11.已知直线？?？（?+ 2）?+ 1 = 0, ?+ ? 2 = 0 .若？丄?,则实数？的值是 ?+? 3 012 .若直线?= 2?上存在点（?？,?满足约束条件?- 2?- 3 ?围.好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页）好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）13 .如图，线段？?= 2，点? ?分别在？轴和？?由的非负半轴上运动，以 ？

5、?为一边，在第一象限内作矩形？?？?*= 1.设？?为原点，则?的取值范围是=1成立，则称函数?(?具有性14 .对于函数？?=质?(1) 下列函数中具有性质 ？?勺有.?(?= -2? + 2 烷?(?= sin?(?E 0,2 n)？(?3 ?+ ?,(? (0, + )?(?= ln(?+ 1)(2) 若函数?(?= ?ln?具有性质？则实数?的取值范围是 三、解答题(2)若直线I与抛物线交于不同的两点A、B，求|FA|+|FB|的取值范围.18. 已知函数 f (x) = x e-x (x R)(I)求函数 f (x)的单调区间和极值;(n)若 x (0, 1),求证：f (2 - x

6、) f (x);(川)若X1(0, 1),x2(1, +8且f(X1)= f (x2),求证：X1+x2 2.? ?19. 已知椭圆？?諒+诵=1(? ? 0)上的点到它的两个焦的距离之和为4，以椭圆？的短轴为 直径的圆？经过这两个焦点，点？ ？分别是椭圆？的左、右顶点.(1) 求圆？和椭圆？的方程.(2) 已知？ ？?分别是椭圆？和圆？?h的动点(？ ？竝于？轴两侧)，且直线？?与？?由平行，直 线？?？?分别与？轴交于点？?，?.求证：/ ?定值.20. 将所有平面向量组成的集合记作？，？是从？到?的映射，记作？?= ?(?或(?,?)= ?(?!?),其中？,？?,？?,？?都是实数.定

7、义映射？的模为:在|? = 1的条件下|?的最大值，记做II ? II 若存在非零向量？? ?,及实数？使得？?(?= ? ?则称？为？的一个特征值.1(I)若？?(?？?)=(訂?,？?)，求II ? II(n)如果?(?)=(?+ ?,?- ?),计算？的特征值,并求相应的?(川)试找出一个映射 ?满足以下两个条件：有唯一的特征值?II ?I |?| (不需证明)15 某中学高一年级共 8个班，现从高一年级选 10名同学组成社区服务小组，其中高一(1)班选取3名同学，其它各班各选取 1名同学现从这10名同学中随机选取 3名同学，到社区老年 中心参加尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同

8、).(1) 求选出的3名同学来自不同班级的概率；(2) 设X为选出同学中高一(1)班同学的人数，求随机变量 X的分布列和数学期望.?16 .函数f(x) = cos(计0(0 ?0)则厶 AFK 的面积=4X2v2m?1=4v2m 又由 |AK|= v2|AF|,过A作准线的垂线，垂足为P,三角形APK为等腰直角三角形，所以 m=1AFK的面积=4 X2 V2m?2=8故答案为B考点：抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握.3. C【解析】令?(?= ? sin?则?(?)= 1 + cos?0, ?(?单调递增，且？?(0)= 0, ? 0

9、”是”？?+ sin? 0”的必要条件.故选 C.【解析】1 1由?(-?) = (-? + -?cos(-?) = -(? - -?cos?= -?(?),所以函数?(?是奇函数，所以函数?(?的图象关于原点对称，故排除 ?1 1当？?= ?时，?(?= (?-吩COS?=乞-? 0，排除 B,故选 A.5. D【解析】【分析】yyyyyyyy.y2 1? ?2?又?= 2?可得? ? ?=_ ?代入3 3?(? ?即可得出.【详解】? ? ?= - ?33/ AM=3 , ?(?- ?= - ?r? ?33 -=-?= - X32= - 499故选：D.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向

10、量的平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6. A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数，所以 0 ? 1 , 0 ? 0,且？?工0)的图象经过点？?，根据对数函数的图象和性质可知：？? ? ? ? 1 .故选 A .【解析】9. C. -【解析】试题分析：函数?(?= ?(?- ?+ ?只有一个零点，?= ?(?与?=? ?只有一个交解：在极坐标系中，圆 ？?= 2 ?+? = 4的圆心(0,0)到直线?cos?+ ?sin?= 2即为点，图象如图所示,k的取值范围是(-8,-1) U 0,1.x+y=2的距离为-10. -3【解析】由题意可知双曲线的渐近线方

11、程为？?= 土 V?,其中一条渐近线的倾斜是60 , V-? = V3，故?=-3 .考点：函数零点问题.8. A【解析】试题分析：？(？= ?s in 2?+ ?cos2?= V ?+ ?s in (2?+ ?, 其中角？满足 cos?= f，sin?= F， ?(?戶 |?(?)| 对一切？ ?亘成立，? ?V ?+ ?或-V? + ?，得 2 X ? +6?)=?-+ ? ? ?因此？?=?6 +? ? ?11. 0 或一3【解析】试题分析：由题意得:考点：直线位置关系12. (- 8,1【解析】试题分析：由题意，由279?打?. 3?= 0，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线？?=

12、2?上存在点?(?= V ?+ ?si n( 2? +?+6?= V ? ?sin(2?+ 6)或-V ?+ ?sin(2?+?6)，?+? 3 0,(?满足约束条件? 2?- 3 0,如图所示，可得? ?,则实数m的取值范围(-8,1.11? ? 11? 11?对于， sin (2 X 五+ ) = sin 2?= 0,二？?行)=V 2?+ ?s in(2 X +?6)= 0,故正确；对于，根据函数的表达式，得？?(-?)工土 ?(?)故？?= ?(?既不是奇函数也不是偶函数，故正确；jc-2v-3=0“ f (丸)=+ 戸 &q(2x+对于，函数的表达式？?(?= V ?+ ?si n(

13、2?+ 6?或.，表达式不确定，故? ?,?+爭不一定是增区间，故不正确；对于，采用反证法，设经过点(?的一条直线与函数？?= ?(?的图象不相交，则此直线与x轴平行方程为？?= ?且|?| V?+ ?，平方得?+ ?矛盾，故假设不成立，所以经过点 (?的所有直线均与函数？?= ?(?的图象相交，故不正确.考点：三角函数的图象变换、两角和与差的正弦函数.考点：线性规划.13. 1,3【解析】好教育云平台 名校精编卷答案第4页(共12页)好教育云平台 名校精编卷答案第4页(共12页)好教育云平台名校精编卷答案第5页(共12页)好教育云平台 名校精编卷答案第6页(共12页)解：如图令 ZOAB =

14、 ?由于 AB = 2 故 0A = 2cos? OB = 2sin? ?如图/DAX = - ? BC = 1，故xd = 2cos?+ cos (-? = 2cos?+ sin?yD = sin (- ? = cos?故OB =(2cos?+ sin? cos?同理可求得 C (sin? cos?+ 2sin?，即 OC = (sin? cos?” 2sin?,.OSOC =(cos?+2sin? cos?(sin?2cos?+sin?=2 + sin2?OSOC =(cos?+2sin? cos?(sin?2cos?+sin?=2 + sin2?OB OC的最大值是3,最小值是1,故答案

15、是：1，3 14. ( 1)(2) ? 0 或？?W -?【解析】试题分析：(1)在xMO时，f (x) =?有解，即函数具有性质P,令-2x+2=河即-2?2 + 2 v2?- 1 = 0=8-8=0,故方程有一个非 0实根，故f (x) =-2x+2 v2具有性质P;1f (x) =sinx (x 0, 2 n的图象与 y=?有交点，1故 sinx=?有解，故 f (x) =sinx (x 0, 2n具有性质 P;令x+ ?=?此方程无解，故 f ( x) =x+? ( x ( 0, +s)不具有性质 P；综上所述，具有性质 P的函数有：，(2) f (x) =alnx具有性质P,显然aK

16、,方程xlnx=1有根，1/ g (x) =xlnx 的值域-+p- -? ?解之可得：a 0或ae.考点：本题考查方程和函数的综合点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的 根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大.15. ( 1) 49； ( 2)详见解析.60【解析】试题分析：(1)求得所有基本事件的种数以及符合题意的基本事件种数，利用古典概型从而 求解；(2)求得?= 0 , 1, 3时的概率，得到分布列后即可求解期望.试题解析：(1 )设 选出的3名同学来自不同班级”为事件?则?(?= ?7?13? = -40，选出的3名同学

17、来自班级的概率为 竺;(2)随机变量？的所有可能值为0, 1 , 2 , 3，则60?貯0)=尊諾；?阶1)=警=冷；?的2)=尊=嗚；?(?= 3) = -? = ，随机变量？勺分布列是?0123?72171244040120随机变量？?的数学期望721719?(?)= 0 x + 1 X- + 2 X- + 3 X-=.24494012010考点：1.随机变量的概率分布及其期望；2.古典概型.?516 .( 1) ?=-, ?= - ；( 2)见解析【解析】试题分析：(1)将点(0,乎)代入，由已给条件可求得？?= *由cos( t?+-n =耳并结合图象5 可求得? = 3.(2)由(1

18、)可得到?(?+ ?：?+=V3cos( n?+)，由?-，得-w菩可得在 n+f = 0和n?+ =弓时，函数?(?分别取得最大值和最小值。333试题解析：(I)：图象过点(0, F), cos?= ,又 0 ? 才， ？?=,n/31由 cos ( n? + ；)=，得? = 2?或? = - ; + 2? ? ?6723又?(?的周期为2 ,结合图象知0 ? 0，得-身v kv#. -孑 v kv 0 或 0v k v 身.4-4? 2?+?_? .? ?|FA|_? + 2 _ ?+ 1 , |FB|_? + - _ ?+ 1 ,M ,4-4?24则 |FA|+|FB|_ ?+ ? +

19、 2_ -；?- + 2_ -2 + 诵， 0 v ? v ,咕 2，则-2+? 6. |FA|+|FB|的取值范围是(6, +s).(2) 而看函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有切化弦”；(3) 三看结构特征”分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式通分”等.17 . ( 1) y = 0 或 x v2y + 2 = 0(2) (6, +【解析】【分析】(1) 当直线I的斜率为0时，直线I的方程为y=0 ;当直线I的斜率不为0时，设直线方程为 y=k (x+2)，联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为 0求得k值，则直线方程可求?

20、= ?(? 2)(2) 联立联立？= ；?，得k2x2+ (4k2-4) x+4k2=0，利用判别式大于0求得k的范围，再由抛物线的焦半径公式及根与系数的关系可得?+ ?=4-4? 2?则|FA|+|FB|的取值范围可求.【详解】(1) 如图，当直线I的斜率为0时，直线l的方程为y=0;当直线l的斜率不为0时，设直线方程为 y=k (x+2),?= ?(? 2)联立?_ 4?，得 k2x2+ (4k2- 4) x+4k2=0 .由厶 _ ( 4k2- 4) 2 - 16k4_- 32k2+16_0，解得 k_ 土乎.直线方程为 y_ (?+ 2).综上，若直线I与抛物线C有且仅有一个公共点，直

21、线I的方程为：y_0或y_ 乎(?+ 2)；?_ ?(? 2) (2) 联立联立? ，得 k2x2 + (4k2- 4) x+4k2_0.2 _ 4?【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题.118. ( 1)在(-8,1)内是增函数，在(1,+s )内是减函数在?_ 1处取得极大值?(1)且 ?(1)_p(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】(I)直接利用函数的导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可求函数f (x)的单调区间及极值；(H)令 g (x) _f (x)- f (2 - x)求出 g( x) _ (x- 1) ( e2x2 - 1) e-x,

22、通过 x 1，判断g (x)在1 , +x)上是增函数，即可证明当x 1时，f ( x) f (2 - x);(川)因为X1, X2分别在(0 , 1)和(1, +8)禾U用函数的关系式，证明X什X2 2.【详解】解：? (_?(1 - x) e-X令? (?)0，则 x_1当X变化时，？ (?f (X)的变化情况如下表：好教育云平台 名校精编卷答案第8页(共12页)好教育云平台 名校精编卷答案第8页(共12页)x(8, 1 )1(1, +8)? (?)+0f ( x )/极大值 f (x )在(-a, 1)上是增函数，在(1 , +8)上是减函数1 f (x )在x=1处取得极大值-?(H)

23、 证明：令 g (x) =f ( X) f (2 - x)则 g (x) =xe x( 2 x) ex 2 g (x) = (x - 1)( e2x 2 1) ex当 0 ? 1 时，2?- 2 0,从而 浮亠 _ 1 0所以? (?)0,从而函数?(?在(0,1)是增函数飞x 0, g (x ) 0,.g ( x) 在 1 , +a) 上是增函数又T g (1) =0 0x1 时,g (x) g (1) =0即当 0x1 时，f (x) f (2 x)(川)证明：/ 0 ? 1由(n)得：?(?？ ?(2- ?) ?(? = ?(? ?(? 2 - ?即?+? 2【点睛】本题考查函数的导数的

24、综合应用，函数的单调性的判断极值的求法，考查分析问题解决问题的 能力.? ?19. ( 1) ?+?= 2; ?+?= 1;( 2)见解析.【解析】试题分析：(I) 根据椭圆定义知2?= 4，又？?= ?因此易求得？?？得椭圆方程，从而也得到圆的方 程；(2)设出？?(?？), ?(?,?)，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线AP的方程，求出M点坐标，同理写出 BP方程，求出N点坐标，再求得向量?并计算数量积 ?结果为 0,可得 / ? 90 .试题解析：2?= 4_(1)依题意?= ?，得？?= 2, ?= ?= 2 ,? = ? + ? ?圆方程？ + ? = 2，椭圆？方

25、程+-? = 1 .(2 )设?(?), ?(? ?),号 + 身=1 , ?+?= 2, ?工 0 , ?方程？?=恳(?+ 2)，令？?= 0时，?(0,善2)，?_2?0?方程为？?=冠(?- 2)，令？?= 0得？?(0,), ?_? 1 _ ?) ? ? (_?)_ ?) ?= ? + 響=2 - ?+ (4_2?0严=01 ?2_40_2?2 / ? 90.点睛：设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系(如和、差、积)来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种化难为易、化繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一

26、般如下：(1) 设直线方程？?= ? ?与椭圆为?+ ?= 1的两个交点坐标为?(?1?), ?(?);(2) 联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；(3) 利用韦达定理得? + ?, ?, ?+ ?,?，然后再求弦长以及面积，或求其他量(如本题向量的数量积).20. ( 1) 1 (2) ?= v2 ,?= ?(v2 + 1,1), ?=-辺，?= ?(1 - v2,1) (3)见解析【解析】【分析】1(1) 由新定义可得？?2+ ?2=4?2 + ?2，利用？?2 + ?2=1，可得?2+ ? W1,从而可得结 论；(2) 由特征值的定义可得：? + ?= ?由此可得f的特征值，及相应的?(3) 解万程组?；+ ?= ?可