3．1-变化率与导数-教学设计-教案14页

1、 教学准备 1. 教学目标 知识与技能1.理解平均变化率的概念.2.了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.3.理解导数的概念4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率.过程与方法理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力2. 教学重点/难点 教学重点平均变化率的概念教学难点平均变化率概念的形成过程3. 教学用具 多媒体、板书4. 标签 教学过程 教学过程设计创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促

2、进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果微积分的产生。【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。新知探究1.变化率问题探究1 气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm

3、)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么【分析】（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为0.620.16，可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?解析：探究2 高台跳水【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的

4、方法。【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10探究3 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: （1） 运动员在这段时间里是静止的吗?（2） 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.【活动】师生共同归纳出结论平均变化率:上述两个问题中的函数关系用yf（x）表示，那么问题中的变化率可用式子表示.我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1)这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样y=f(x2)-f(x1)，于是，平均

5、变化率可以表示为：【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率的几何意义是什么？【提示】：直线AB的斜率【设计意图】问题的目的是： 让学生加深对平均变化率的理解； 为下节课学习导数的几何意义作辅垫； 培养学生数形结合的能力。2.导数的概念探究1 何为瞬时速度2.【板演/PPT】在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度解： 探究2 当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?从

6、2s到(2+t)s这段时间内平均速度当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1 m/s.为了表述方便，我们用表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度趋近于确定值 13.1”.【瞬时速度】我们用 表示 “当t=2, t趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

7、那么,运动员在某一时刻的瞬时速度? 【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：t越小，V越接近于t2秒时的瞬时速度。探究3:（1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?（2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?导数的概念:一般地，函数 y = f(x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数,记作由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:1. 求函数的改变量2. 求平均变化率3. 求值【典例精讲】例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x

8、 h时, 原油的温度(单位:)为 y=f (x) = x27x+15 ( 0x8 ) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是根据导数的定义,在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3/h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.例2.求函数处的导数【小结】1求导方法简记为：一差、二化、三趋近2求函数在某一点导数的方法有两种：一种是直接求出函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法【变式训练】用定义求函数f

9、(x)x2在x1处的导数【当堂训练】1.函数yf(x)的自变量x由x0改变到x0x时，函数值的改变量y为 ( )Af(x0x) Bf(x0)xCf(x0)x Df(x0x)f(x0)2若一质点按规律s8t2运动，则在时间段22.1中，平均速度是( )A4 B4.1C0.41 D1.13.求y=x2在x=x0附近的平均速度。4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.【参考答案】1. D解析：分别写出xx0和xx0x对应的函数值f(x0)和f(x0x)，两式相减，就得到了函数值的改变量yf(x0x)f(x0)，故应选D.2. B【作业布置】1、复习本节课所讲内容2、预习下一节课内容3、课本 P.10习题1.1A组1,2,3,4. 课堂小结 1、函数的平均变化率2、求函数的平均变化率的步骤:（1）求函数的增量y=f(x2)-f(x1