高考中所遇的超越方程伪二次函数

1、超越函数伪二次函数如果说函数是高考的重头戏，那么高考数学试卷中所涉及的函数多数属于超越函数。今天我们来认识的超越函数叫伪二次函数，它常作为解答题甚至是压轴题的研究对象。形如的函数称为伪二次函数。首先伪二次函数是超越函数，其定义域为。伪二次函数的导函数为代数函数，当为莱克函数。时导函数又由可知其分子为二次函数。设，则方程的判别式为。下面给出时，关于函数性质和图像的结论。(1)当，且方程无正根时，是上单调增函数，无最大值和最小值，其图像大致为：(2)当，且方程有两相等正根时，是上单调增函数，无最大值和最小值，其图像大致为：数学(3)当，且方程有一正根一负根时，设为其正根，在上为减函数，在上是增函数

2、，当时，取最小值，其图像大致为：(4)当，且方程有两不相等正根时，设其根为，（），则在上为增函数，在上为减函数，在上是增函数，当数学时，取得极大值，当时，取得极小值，其图像大致为当时，可做一个变换，得到类似的结论。伪二次函数是高考常考函数之一，仅举几道2015年真题说明。例1【2015年福建文科(22)】(本小题满分14分)已知函数.（）求函数的单调递增区间；（）证明：当x1时，k(x-1).解析：（）由0得解得故的单调递增区间是（）令数学则有当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，（）由（）知，当k=1时，不存在满足题意当k1时，对于x1，有f(x)x-1k(x-1)，则f(x)k(x-1)

3、，从而不存在满足题意当kg(1)=0，即f(x)k(x-1)综上，k的取值范围是。例2【2015年北京文科（19）】（本小题13分）设函数。（）求f(x)的单调区间和极值；（）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间上仅存有一个零点.解析：（）由函数知，令，得。f(x)与在区间上的情况如下数学f(x)+所以，f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是；f(x)在处取得极小值（）由（）知，f(x)在区间上的最小值为因为f(x)存在零点，所以，从而当所以时，f(x)在区间上单调递减，且是f(x)在区间上的唯一零点。当时，f(x)在区间上单调递减，且，所以f(x)在区间上仅存有一个零点。综上可知，若

4、f(x)存在零点，则f(x)在区间上仅存有一个零点。例3【2015年山东理科（21）】（本小题满分14分）设函数其中。（）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；（）若成立，求a得取值范围。解析：（）由题意知，函数的定义域为令当此时，时，g(x)=1，函数在单调递增，无极值点；数学当时，当时，函数在单调递增，无极值点；当时，设方程因为所以由所以当当当的两根为，可得，时，函数单调递增；时，函数单调递减；时，函数单调递增；因此函数有两个极值点。当时，由当当，可得，时，函数单调递增；时，函数单调递减；所以函数有一个极值点。综上所述，当当当时，函数有一个极值点；时，函数无极值点；时，函数有两个极值点

5、。（）由（）知，当时，函数在单调递增，因为，数学所以当时，符合题意；时，得，所以函数在单调递增，又当所以因为所以当，所以时，符合题意；时，得时，函数单调递减；，时，不符合题意；时，设，因为时，所以在上单调递增，因此当可得时，即，当时，此时，不符合题意。综上所述，的取值范围是。例4【2015年四川理科（21）】（本题满分14分）已知函数，其中，（i）设是的导函数，讨论函数的单调性。（ii）证明：存在使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解。解析：（i）由已知，函数的定义域为，数学所以当在区间在区间当（ii）由解得，时，上单调递增，上单调递减，时，在区间上单调递增。，令，则，故存在令，使得，由知，函数在区间