直线和圆的位置关系题型很全专业知识讲座

1、文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 O x y 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台 的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响 的范围是半径长为 30km的圆形区域已知港口位于台 风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么 它是否会受到台风的影响？ 为解决这个问题，我们以 台风中心为原点 O，东西方向 为 x 轴，建立如图所示的 直角 坐标系，其中取 10km 为单位 长度 轮船 一.实例引入 港口 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当

2、之处，请联系本人或网站删除。 O x y 轮船 一.实例引入 港口 轮船航线所在直线 l 的方程为： 02874?yx 问题归结为圆心为O的 圆与直线l有无公共点 这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为 O的 圆的方程为: 9 22 ? ? y x 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？ 平面几何中，直线与圆有三种位置关系：平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （1） （2）直线与圆相切，

3、只有一个公共点； （2） （3）直线与圆相离，没有公共点 （3） 二二.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在， 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ （1） （2） （3） 二.直线与圆的位置关系 先看几个例子，看看你能否从例子中总结出来 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 判断直线与圆的位置关系有两种方法： 方法一：代数法，判断直线l与圆C的

4、方程组成的 方程组是否有解 如果有解，直线l与圆C有公共 点有两组实数解时，直线 l与圆C相交；有一组实数 解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线 l与圆C相 离 方法二：几何法，判断圆C的圆心到直线l的距离 d与圆的半径r的关系如果d r ，直线l与圆C相 离 二.直线与圆的位置关系 那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位 置关系？ 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 方法一：直线：Ax+By+C=0; 圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0 消元 一元二次方程 方法二：直线：Ax+By+C=0; 圆:

5、 (x-a) 2 + (y-b)2 =r2 d= 小结：1.判断直线与圆位置关系的方法 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 1、几何方法解题步骤： 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断: 当dr时，直线与圆相离； 当d=r时，直线与圆相切; 当dr时，直线与圆相交 把直线方程化为一般式, 圆的方程化为标准 式，求出圆心和半径 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 直线与圆的位置关系 把直线方程与圆的方程联立成方程组 求出其

6、的值 比较与0的大小: 当0时,直线与圆相交。 2、代数方法主要步骤： 利用带入消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 代数法：代数法： 3x +y6=0 x2 + y2 2y 4=0 消去y得：x2-3x+2=0 =(-3)2-412=10 所以方程组有两解， 直线L与圆C相交 22 5 5 10 31 |301 6| ? ? ? 几何法：几何法： 圆心C（0，1）到直线L的距离 d= = r 所以直线L与圆C相交 比较：几何法比代数法运算量少，简便。 d r 弦长弦长= 2

7、2 10 2 ( 5)()10 2 ? 题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0， 判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 圆的弦长的求法 1几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则 2r 2d2. 2代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 解方程组 消y后得关于x的一元二次方程，从而 求求 得x1x2，x1x2，则弦长为|A

8、B| （此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式 ） 题型二题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：若直线与圆相交，求弦长问题： 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 解法一：（求出交点利用两点间距离公式） x y O A B 4 22 ? ? y x 22 2 12 12 1 4 2230 1717 , 22 1717 , 22 17 1717 17 (,),(,) 2222 |14 yx y xy xx xx yy AB AB ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由消去 得 例1、已知

9、直线 y=x+1 与圆 相交于相交于A,B两点， 求弦长|AB|的值 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 4 22 ? ? y x 解法二：（弦长公式）解法二：（弦长公式） x y O A B 22 2 1212 22 1212 22 1 4 2230 3 1, 2 |(1 )()4 3 (1 1 )(1)4()14 2 yx y xy xx xxx x ABkxxx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由消去 得 1已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求 弦长|AB|的值 文档来源于网

10、络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 4 22 ? ? y x 解三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形） 2 22 12 2 1( 1) |214 d ABrd ? ? ? ? 设圆心O（0，0）到直线的距离为 d，则 x y O A B d r 2已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求 弦长|AB|的值 练习：求直线3x+4y+2=0被圆 截得的弦长。 032 22 ?xyx 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 例例2、已知过点、

11、已知过点M（-3，-3）的直线）的直线l被圆被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为 ，求直线l的 方程。 54 . y O M . 利用几何性质，求弦心距利用几何性质，求弦心距,然后用点到直线的距离求斜然后用点到直线的距离求斜 率。率。 X+2y+9=0,或2x-y+3=0 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 题型三、求圆的切线方程的常用方法 ?复习点与圆的位置关系，判断切线 的条数 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 ?

12、题型三、求圆的切线方程的常用方法 (1)若点P(x 0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时 可设切线方程为 y-y 0=k(x-x0),利用圆心C到切线的 距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率 不存在,应填上.也可用判别式=0求k的值. (2)若点P(x 0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用 圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切= 代 入点斜式方程可得. 也可以利用结论:若点P(x 0,y0)在圆x2+y 2=r2上,则过 该点的切线方程是x0 x+y0y=r 2.若点P(x 0,y0)在圆 (x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过该点的切线方程是 (x0- a)

13、(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r 2. 1 , CP k ? 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 ? （2）已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的 切线方程. 解:如右图所示,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1. ? 因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 1 1 .k k ? ? 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 例例1：求过一点：求过一点P(-3,-2)的圆的圆x2 + y2 +2x 的切线

14、方程。的切线方程。 解：设所求直线为（）解：设所求直线为（） 代入圆方程使代入圆方程使； 即所求直线为即所求直线为 提问：上述解题过程是否存在问题提问：上述解题过程是否存在问题 ？ X=-3是圆的另一条切线 3 4 注意：注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系， 若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，切线应有两条；若点在圆外，切线应有两条； 若点在圆内，无切线若点在圆内，无切线 2.设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。 若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情

15、况特殊对待。若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 小结：求圆的切线方程一般有两种方法： (1)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)与圆的方程组成 方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 0进而求得k. (2)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)利用点到直线的 距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而 求出k. 以上两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选 练习1.求过M（4，2）且与圆 相切的直线方程. 22 860 x

16、yxy? 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 : )(047) 1( ) 12( :,25)2() 1( :. 1 22 Rmmym xmlyxC ? ?直线已知圆练习 ;) 1 (相交与圆证明直线Cl .,)2(的方程直线截得的弦长最小时被圆求直线lCl 题型四、最长弦、最短弦问题题型四、最长弦、最短弦问题 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 22 243010 2. xyxyxy+-=+ =例1、圆上到直线的 距离为的点共有几个

17、 题型五、判断点的个数问题题型五、判断点的个数问题 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 练习1:已知圆 , 直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使 (1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1 (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1 (3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1 (4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1 (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1 22 4xy? 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 题型六、数形结合问题

18、 ? 7.若直线y=x+k与曲线 恰有一个公共点, 则k的取值范围是_. 2 1xy? 2( 1,1kk? ? ?或 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 题型七、垂直问题 已知圆06 22 ?myxyx与直线032? yx相交于 P、Q两点，O为原点，且OQOP?，求实数m的值 ， 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 分析：分析：设P、Q两点的坐标为),( 11 yx、),( 22 yx，则由1? OQOP kk， 可得0 2121 ?yyxx，再利用一元二次方程根与系数的关系求解 或因为通过原点的直线的斜率为 x y ，由直线l与圆的方程构造以 x y 为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 OQOP kk?的值，从而使问题得以解决 文档来源于网络，文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模 仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 解：解：设点P、Q的坐标为),( 11 yx、),( 22 yx一方面，由OQO