3三个正数的算术 几何平均不等式

1、三个正数的算术-几何平均不等式 定理1.如果 Rba?,，那么 abba2 22 ? （当且仅当 b a ? 时取“=” ） 复习： 定理2.如果 那么 ba, 是正数， ab ba ? ? 2 （当且仅当 b a ? 时取“=” 号） 语言表述语言表述：两个正数的算术平均不小于 它们的几何平均. 注意:利用算术平均和几何平均 定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值. 思考 ? 基本不等式给出了两个正数的算术平均 与几何平均的关系，这个不等式能否推广 呢？ 例如，对于3个正数，会有怎样的不等 式成立呢？ . , 3 , 3 等号成立等号成立 时，时，

2、当且仅当当且仅当 那么那么类比、猜想，如果类比、猜想，如果 cbaabc cba Rcba ? ? ? ? 为了证明猜想，我们先证明： . ,3, 333 等号成立 时，时，当且仅当那么那么已知已知cbaabccbaRcba? ? abccba3 333 ? abccabbaba333)( 3223 ? abcabbacba333)( 2233 ? ?)(3)()()( 22 cbaabccbabacba? )32)( 222 abcbcacbabacba? )( 222 cabcabcbacba? ? 222 )()()()( 2 1 accbbacba?0 如何使用这 个不等式来 证明猜想

3、呢？ .,3 333 时，等号成立当且仅当cbaabccba? 定理定理3 语言表述：三个正数的算术平 均不小于它们的几何平均。 . , 3 , 3 时，等号成立当且仅当 那么如果 cba abc cba Rcba ? ? ? ? ? 推论推论: ),( 3 3 ? ? ? Rcbaabc cba 3 3 abccba? .,等号成立时当且仅当cba? 为定值时abc) 1 ( 为定值时cba?)2( 3 ) 3 ( cba abc ? ? .,等号成立时当且仅当cba? 关于“平均”的概念： n aaa n ? 21 叫做这n个正数的算术平均。 n n aaa? 21 叫做这n个正数的几何平

4、均。 2.基本不等式： n aaa n ? 21 n n aaa? 21 推 广 ., 2121 时，等号成立当且仅当 nn aaaRaaa? ? ? ，则且如果 * 21 1,. 1NnnRaaa n ? ? ? 语言表述：n个正数的算术平均不 小于它们的几何平均. 3 3 xyz xyz ? ?证明：因为，所以 3 27xyz?即（x+y+z） , 27 )( 3 xyz zyx ? ? .27) ,1 3 xyzzyx Rzyx ? ? ? （ 求证：、已知例 例: .)1 (,10 2 的最大值求函数时当xxyx? 解: , 10? ? x ?, 01?x . 27 4 , 3 2 ,

5、1 2 max ?yxx x 时即当 27 4 ) 3 1 22 (4 3 ? ? ? x xx )1 ( 22 4)1 ( 2 x xx xxy? 构造三 个数相 加等于 定值. 例.如图，把一块边长为 的正方形铁片的各角 切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线 折转做成一个无盖方底的铁盒，问切去的正方形 边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 解: 设剪去的小正方形的边长为 x ) 2 0( ,)2( 2 a xxaxV?则其容积为 : )2()2(4 4 1 xaxaxV? 27 2 3 )2()2(4 4 1 3 3 axaxax ? ? ? 27 2 , 6 ,24 3 max a

6、 V a xxax?时即当且仅当 . 27 2 , 6 3 a a 积是 合的最大容 铁时长为 小正方形边 即当剪去的 a xa2? a x 2 3 2,(0).yxx x ?求函数的最小值练习练习1: 3 3 222 43 21 23 21 2 3 2? xx x xx x x xy 解: 3 min 43?y(错解:原因是取不到等号) 正解: 3 33 222 36 2 3 2 9 3 2 3 2 3 23 2 3 2 3 2 3 2? xx x xx x x xy .36 2 3 , 2 3 , 2 3 2 3 min 2 ?yx x x时即当且仅当 2.若 a b0， 则 a+ )( 1 bab? 的最小值是 . 练习2： 3 .2, 4,. 1 2 的最小值求满足若正数yxxyyx? 3 43 3 4? ? y x .)20)(2(. 3 24 的最大值求函数?xxxy 27 32 3 32 ?x ba2? 这节课我们学习了三个正数的基本不 等式定理求最值问题。现在，我们又 多了一种求正变量在定积或定和条件 下的函数最值的方法。这是基本不等 式定理的一个重要应用,也是本章的重 点内容，应用定理时需注意“一正二 定三