教学设计 必修一：2.1.3 函数的单调性

1、示范教案教学分析在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可

2、以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解三维目标1函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质2理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力3能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性重点难点教学重点：函数

3、的单调性教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成课时安排1课时导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,18501909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准他经过对自己的测试，得到了一些数据时间间隔t0分钟20分钟60分钟89小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数当自变量(时间间隔t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y

4、)有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)从左向右看，图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图象)学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图艾宾浩斯遗忘曲线如下图所示遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆教师提示、点拨，并引出本节课题思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就

5、获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确)，教师：提示、点拨，并引出本节课题推进新课如下图所示的函数yx，yx2，yx2的图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？函数图象上任意点P(x，y)的坐标有什么意义？如何理解图象是上升的？对于函数yx2，列出x，y的对应值表(如下表)完成下表并

6、体会图象在y轴右侧上升x432101234f(x)x2在数学上规定：函数yx2在区间(0，)上是增函数.谁能给出增函数的定义？增函数的几何意义是什么？类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？函数yf(x)在区间D上具有单调性，说明了函数yf(x)在区间D上的图象有什么变化趋势？讨论结果：函数yx的图象，从左向右看是上升的；函数yx2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数yx2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的函数图象上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐

7、标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大在区间(0，)上，任取x1、x2，且x1x2，那么就有y1y2，也就是有f(x1)f(x2)这样可以体会用数学符号来刻画图象上升在函数yf(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记xx2x1，yf(x2)f(x1)y2y1.x表示自变量x的改变量，y表示因变量y的改变量，其中“”为希腊字母，读作“delta”一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量xx2x10

8、，则当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数如下图(1)所示从左向右看，图象是上升的在函数yf(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记xx2x1，yf(x2)f(x1)y2y1.x表示自变量x的改变量，y表示因变量y的改变量，其中“”为希腊字母，读作“delta”一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是减函数，如下图(2)所示几何意义：从左向右看，图象是下降的如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个

9、区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)函数yf(x)在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图象是上升(下降)的思路1例1说出函数f(x)的单调区间，并指明在该区间上的单调性活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图象得单调区间解：(，0)和(0，)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f(x)都是单调递减的点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出

10、函数值的变化趋势即单调性图象法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图象；第二步，观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练下图是定义在区间上的函数yf(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？活动：教师提示利用函数单调性的几何意义学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数解：函数yf(x)的单调区间是其中函数yf(x)在区间上是增函数.例2证明函数f(x)2x1，在(，)上是增函数分析：画出这个一次函数的图象如下图，直观上很容易看出函数值随着自变量增大而增大下面根

11、据定义进行证明同学们可以根据图象理解每一步证明的几何意义证明：设x1，x2是任意两个不相等的实数，且x1x2，则xx2x10，yf(x2)f(x1)2x21(2x11)2(x2x1)2x0，所以函数f(x)2x1在(，)上是增函数点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1x2；第二步，比较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再归纳结论定义法的步骤可以总结为：一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”，因此简称为“

12、去比赛”.变式训练证明函数f(x)2在区间(，0)和(0，)上分别是减函数证明：设x1，x2是(，0)内的任意两个不相等的负实数，且x1x2，则xx2x10，yf(x2)f(x1)22.因为x1x2x0，x1x20，所以y0.因此f(x)2在区间(，0)上是减函数同理，对区间(0，)内的任意两个不相等的正实数x1，x2，且x1x2，同样有yf(x2)f(x1)0.所以f(x)2在区间(0，)上也是减函数思路2例1 (1)画出函数f(x)x22x3的图象；(2)证明函数f(x)x22x3在区间(，1上是增函数；(3)当函数f(x)在区间(，m上是增函数时，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)

13、x22x3的图象如下图所示(2)设x1、x2(，1，且x1x2，则有f(x1)f(x2)(x2x13)(x2x23)(xx)2(x1x2)(x1x2)(2x1x2)x1、x2(，1，且x1x2，x1x20，x1x22.2x1x20.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)函数f(x)x22x3在区间(，1上是增函数(3)函数f(x)x22x3的对称轴是直线x1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(，m位于对称轴的左侧时满足题意，则有m1，即实数m的取值范围是(，1点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点

14、来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图象来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是

15、高考命题的热点题型.变式训练已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)f(x)f(ax)(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；(2)证明函数yF(x)的图象关于点(，0)成中心对称图形分析：(1)本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法证明；(2)证明函数yF(x)的图象上的任意点关于点(，0)的对称点还是在函数yF(x)的图象上即可证明：(1)设x1、x2R，且x1x2.则F(x1)F(x2)又函数f(x)是R上的增函数，x1x2，ax2ax1.f(x1)f(x2)，f(ax2)f(ax1)0.F(x1)F(x2)F(x)是R上的增函数(2)设点M(x0，F(x0)是函数F

16、(x)图象上任意一点，则点M(x0，F(x0)关于点(，0)的对称点M(ax0，F(x0)又F(ax0)f(ax0)f(a(ax0)f(ax0)f(x0)F(x0)，点M(ax0，F(x0)也在函数F(x)图象上又点M(x0，F(x0)是函数F(x)图象上任意一点，函数yF(x)的图象关于点(，0)成中心对称图形.例2 (1)写出函数yx22x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在上的函数yf(x)的图象关于直线x2对称，yf(x)的部分图象如下图所示

17、，请补全函数yf(x)的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？试加以证明分析：(1)画出二次函数yx22x的图象，借助于图象解决；(2)类似于(1)；(3)根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；(4)归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明解：(1)函数yx22x的单调递减区间是(，1)，单调递增区间是(1，)；对称轴是直线x1；区间(，1)和区间(1，)关于直线x1对称，而单调性相反(2)函数y|x|的单调递减区间是(，0)，单调递增区间是(0，)；对称轴是y轴即直线x0；区

18、间(，0)和区间(0，)关于直线x0对称，而单调性相反(3)函数yf(x)，x的图象如下图函数yf(x)的单调递增区间是，；单调递减区间是，；区间和区间关于直线x2对称，而单调性相反，区间和区间关于直线x2对称，而单调性相反(4)可以发现结论：如果函数yf(x)的图象关于直线xm对称，那么函数yf(x)在直线xm两侧对称单调区间内具有相反的单调性证明如下：不妨设函数yf(x)在对称轴直线xm的右侧一个区间上是增函数，区间关于直线xm的对称区间是由于函数yf(x)的图象关于直线xm对称，则f(x)f(2mx)设2mbx1x22ma，则b2mx12mx2a，f(x1)f(x2)f(2mx1)f(2

19、mx2)又函数yf(x)在上是增函数，f(2mx1)f(2mx2)0.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)函数yf(x)在区间上是减函数当函数yf(x)在对称轴直线xm的右侧一个区间上是增函数时，其在关于直线xm的对称区间上是减函数，即单调性相反因此有结论：如果函数yf(x)的图象关于直线xm对称，那么函数yf(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性点评：本题通过归纳猜想证明得到了正确的结论，这是我们认识世界发现问题的主要方法，这种方法的难点是猜想，突破路径是寻找共同的特征本题作为结论记住，可以提高解题速度图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样

20、根据函数的图象也能观察出函数的性质特征这需要有细致的观察能力.变式训练函数yf(x)满足以下条件：定义域是R；图象关于直线x1对称；在区间2，)上是增函数试写出函数yf(x)的一个解析式f(x)_(只需写出一个即可，不必考虑所有情况)分析：根据这三个条件，画出函数yf(x)的图象简图(只要能体现这三个条件即可)，再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出解：定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x1对称的函数解析式满足：f(x)f(2x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间2，)上是增函数说明开口

21、必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x1不在区间2，)内，故函数的解析式可能是ya(x1)2b(a0)结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：形如ya(x1)2b(a0)，或为ya|x1|b(a0)等都可以，答案不唯一.1利用图象法写出基本初等函数的单调性解：正比例函数：ykx(k0)当k0时，函数ykx在定义域R上是增函数；当k0时，函数ykx在定义域R上是减函数反比例函数：y(k0)当k0时，函数y的单调递减区间是(，0)，(0，)，不存在单调递增区间；当k0时，函数y的单调递增区间是(，0)，(0，)，不存在单调递减区间一次函数：ykxb(k0)当k0时，

22、函数ykxb在定义域R上是增函数；当k0时，函数ykxb在定义域R上是减函数二次函数：yax2bxc(a0)当a0时，函数yax2bxc的单调递减区间是(，单调递增区间是点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度2已知函数ykx2在R上是增函数，求实数k的取值范围答案：k(0，)3二次函数f(x)x22axm在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，求实数a的值答案：a2.4已知f(x)是定义在(0，)上的减函数，若f(a1)f(4a1)成立，则a的取值范围是_解析：f(x)的定义域是(0，)，解得1a.f(x)在(0，)上是减函数，a14a1.a0.0a，即a的取值范围是

23、(0，)答案：(0，)点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式问题：1.画出函数y的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？(1)函数y是减函数；(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)2对函数y，取x11x22，则f(x1)1f(x2)，满足当x1x2时f(x1)f(x2)，说函数y在定义域上是增函数对吗？为什么？3通过上面两道题，你对函数的单调性定义有什么新的理解？解答：1.(1)是错误的，从左向右看，函数y的图象不是下降的(2)是错误的，函数y的单调递减区间是(，0)，(0，)在定义域(，0)(0，)上函数y的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的2不对这个过程看似是定义法，实质上不是定义中x1、x2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替3函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数yf(x)在区间(a，b)和(b，c)上均是增(减)函数，那么在区间(a，b)(b，c)上的单调性不能确定本节学习了：