旋转模型专题

1、旋转模型专题飞等线段共点1、按图形分类1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分类1、手拉手模型2、角含半角模型3、对角互补模型4、与勾股定理结合5、费马点问题例题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点C为线段AB上一点，AACM CBN是等边三角形.常见结论：(1) AN 二 BM(2) CD =CE(3) CF 平分.AFB(4) CDE是等边三角形.(5) Z AFM=60且保持不变 2、如图，在凸四边形 ABCD 中，.BCD =30 , DAB =60 , AD = AB .其中AC = AD。求证：AC2 =CD2 BC23、已知 ABC，以AC为边在

2、- ABC外作等腰 ACD，形ABCD是平行四如图，若 DAC =2 ABC，AC =BC，四边 A边形，贝U ZABC=如图，若.ABC=30， ACD是等边三角形，AB=3，BC =4，求BD的长；如图，若.ACD为锐角，作AH_BC于H，当BD2=4ABC寸，.DAC =2 ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论二、角含半角模型4、已知：如图1在Rt ABC中，.BAC=90，AB=AC，点D、E分别为线段BC 上两动点，若 DAE =45 .探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题

3、 得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证 明; 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明.图15、在正方形 ABCD中，点E、F分别在边BC、CD 上,且/ EAF= / CEF=45,(1)将厶ADF绕着点A顺时针旋转90，得到 ABG，如图1，求证： AEGA AEF ；(2) 若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M,N，如图2,求证：EF2 二ME2 NF2(3) 将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接

4、写出线段EF, BE，DF之间的数量关系。6、在等边 ABC的两边AB, AC所在直线上分别有两点 M , N, D为ABC外一点，且.MDN =60 , BDC =120 , BD二CD，探究：当点M, N分别爱直线AB, AC上移动时，BM , NC, MN之间的数量关系及 AMN的周长与等边 ABC 的周长L的关系.如图，当点 M , N在边AB, AC上，且DM=DN时，BM , NC, MN之间的 数量关系式；此时Q =L如图，当点M , N在边AB, AC上，且DM - DN时，猜想（1）问的两个结论 还成立吗？写出你的猜想并加以证明； 如图，当点M , N分别在边AB, CA的延

5、长线上时，若AN=x，则Q=（用x, L表示）C图（3）三、对角互补类7、已知： MAN ,AC平分 MAN 在图 1 中，若/MAN /DCB=90，证明：AB AD =2AC .在图2中，若ZMAN =120，/DCB-60，探究AB、AD、AC三者之间的数量 关系，并给出证明；在图 3 中:若 Z MAN = a （ 0va C80）,厶 DCB=180-a ,贝 U AB + AD =AC（用含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）NMMN8、如图1 ,正方形ABCD和正方形QMNP , M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB 于 F , QM 交 AD 于 E 猜想：ME与MF的

6、数量关系如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且.M - B，其它条件不变, 探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明.如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC“:2，其它条件不 变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由.如图4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且.M =. B，AB:BC=m，其它条件不变，求出ME:MF的值（直接写出答案）NCBM图3P四、直角三角形斜边中点9、在等腰直角 ABC中，.ACB =90， , AC =BC , M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQ _MP交AC于点Q，试说明:MPQ的形状和面积将如何变化.10、等腰

7、直角三角形 ABC , ABC=90 ,AB=2 ,0为AC中点，.EOF=45，求 BEF的周长.11、已知 RtAABC 中，AC=BC , / C=90 D 为 AB 边的中点，/ EDF=90 / EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB （或延长线）于E、F .当/ EDF绕D点旋转到DE丄AC于E时（如图1），易证S ABCS 应EF + S 舌EF当/ EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述 结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，Sa def , S*EF , SA ABC 又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.五、等线段共点12

8、、如图所示，P是等边 ABC内部一点，PC =3，PA=4， PB=5，求- ABC的 边长.S BPC =, S abp = S APC =, S abc =,13、P 为等边 ABC 内一点，APB =113：； , APC =123；，求证：以 AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数14、如图，P为正方形ABCD内一点，FA= 1, PD = 2, PC = 3,将PAD绕着D点按逆时针旋转90到.DCM的位置(1)求.APD的度数。(2)求正方形的边长MC六、费马点问题对于任意的.IABC，若三角形内或三角形上有一点 P，若PA PB PC有最小值，

9、 则取到最小值时，点P为该三角形的费马点。 若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点 若三角形内角均小于120，则满足条件.APB= BPC=. APCJ20时，点P既 为费马点解决问题：如图，CABC中，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边.：ABD、ACE，连接CD、BE交于点P，证明：点P为 ABC的费马点。（即证明.APB=/BPC=/APC=120 ）且PA PB PC 二CD如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC若.ABC =30，AB =3， BC =4，直接写出PA PB PC的最小值16、如图，四边

10、形ABCD是正方形，：ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意 一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN .求证： AMB也ENB当M点在何处时，AM CM的值最小；当M点在何处时，AM BM CM的值最小，并说明理由;当AM BM CM的最小值为3 1时，求正方形的边长.17、阅读下列材料：ADBCE小华遇到这样一个问题，如图1, ABC中，/ ACB=30o, BC=6, AC=5,在内部有一点 P,连接PA PB PC,求PA+PB+PC的最小值.小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分 离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的

11、两个端点为定点，这样依据“两点之间，线图1段最短”就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将APC绕点C顺时针旋转6到AEDC，连接PD、BE，贝U BE的长即为所求.(1) 请你写出图2中，PA+P涉PC的最小值为(2) 参考小华的思考问题的方法，解决下列问题:PA+P由PC值最小时PB的长.七、最值问题18、已知：PA= 2， 线AB的两侧.PB =4，以AB为一边作正方形ABCD，使PA、D两点落在直如图3,菱形ABCD中，/ ABC=60o,在菱形ABCD内部有一点P,请 在图3中画出并指明长度等于PA+PBP

12、C最小值的线段(保留画图痕迹， 画出一条即可)；若中菱形 ABCD的边长为4，请直接写出当如图，当.APB=45时，求AB及PD的长；当.APB变化，且其它条件不变时，求 PD的最大值及相应.APB的大小.19、如图，已知ABC是等腰直角三角形，.BAC=90,点D是BC的中点.作 正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG .试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论.将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0，小于或 等于360。），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？ 如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.若BC =DE =2，在的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值.F八、综合应用20、已知：在 Rt ABC 中，AB =BC，在 Rt ADE 中，AD =DE，连结 EC，取 EC 的 中点M，连结DM和BM .若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明； 如果将图中的 ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的 结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.CC