最新一般函数无穷积分的收敛判别法

1、2 无穷积分的性质及收敛判别 一、无穷积分的性质 本节讨论了无穷积分的性质,并用这些性 质得到无穷积分的收敛判别法. 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般函数无穷积分的收敛判别法 ( )d a f xx 收敛的充要条件是收敛的充要条件是,0aG 存在存在任给任给 122 1 ( )d( )d( )d. uuu aau f xxf xxf xx 一、无穷积分的性质 12 ,u uG当当时时 证证 ( )( )d , ,),( )d u aa F uf xx uaf xx 设设则则 lim( ). u F u 收收敛敛的的充充要要条条件件是是存存在在极极限限 由由函函数数 极限的柯西准则极限

2、的柯西准则, ,此等价于此等价于 (无穷积分收敛的柯西准则无穷积分收敛的柯西准则) )无穷积分无穷积分 定理定理11.111.1 1212 0,()(),Gau uG F uF u 122 1 ( )d( )d( )d. uuu aua f xxf xxf xx 性质性质1 1212 ( )d( )d, aa fxxfxxkk 若若与与都都收收敛敛为为 任意常数任意常数, ,则则 1122 ( )( ) d a k fxk fxx 即即 根据反常积分定义根据反常积分定义, ,容易导出以下性质容易导出以下性质1和性质和性质2. . ,也也收收敛敛 且且 性质性质2 1122 ( )( ) d a

3、 k fxk fxx ( )d( )d(), ab f xxf xxba 与与 ( )d( )d( )d . b aab f xxf xxf xx 同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散，且且 , fa u若若在在任任何何有有限限区区间间上上可可积积, ,则则 1122 ( )d( )d . aa kfxxkfxx h(x) 在任意在任意 a, u上可积上可积, 且且 ( )d( )d aa f xxg xx 和和 ( )d. a h xx 都都收收敛敛, ,则则收收敛敛 证证 因为因为 ( )d( )d aa f xxg xx 和和 收敛收敛, ,由柯西准则的必要性由柯西准则的必要性, 12

4、0,GauuG 例例1 1),),()()( axxgxhxf, f (x), g (x),若若 12 21 ( )d,( )d, uu uu f xxg xx 222 111 ( )d( )d( )d, uuu uuu g xxh xxg xx 即即 再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性,( )d. a h xx 证证得得收收敛敛 2 1 ( )d. u u h xx ( )( )( ),f xh xg x又又因因为为所所以以 ,),( )d. u a uaf xxM 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 lim( ). u F u 条条件件是是存存在在 12 ( )0,f xuu由由于于当

5、当时时， 212 1 ( )d( )d( )d0, uuu aau f xxf xxf xx 定理定理11.2( (非负函数无穷积分的判别法非负函数无穷积分的判别法) ) 设定义在设定义在 上的非负函数上的非负函数 f 在任何在任何 ,)a , ,a u 上上可可积积 则则 ( )d a f xx 收敛的充要条件是收敛的充要条件是: :0,M使使 证证 ( )( )d , u a F uf xx ( )d a f xx 则则收收敛敛的的充充要要 设设 ,),( )d. u a uaf xxM 有有 定理定理11.3 (非负函数无穷积分的比较判别法非负函数无穷积分的比较判别法) ) ( )( )

6、, ,),f xg xxG 在在 上的两个非负函数上的两个非负函数 f , g 在任何有限区在任何有限区 ,)a 增增函数的收敛判别准则函数的收敛判别准则, lim( ) u F u 存存在在的的充充要要条条 从而从而 F (u) 是单调递增的是单调递增的( ,).ua 由单调递由单调递 ( ) ,)F ua 件件是是在在上上有有界界, ,0,M即即使使 间间 a, u 上可积上可积, ,且存在且存在 满足满足,Ga 设定义设定义 证证 ( )d a g xx 若若收收敛敛, ,0, ,),Mua则则 ( )d. u a g xxM ( )d( )d. uu aa f xxg xxM 因因此此

7、 由非负函数无穷积分的判别法由非负函数无穷积分的判别法, ( )d a f xx 收收敛敛. . ( )d,( )d aa f xxg xx 当当发发散散时时亦亦发发散散. . ( )d,( )d aa g xxf xx 则则当当收收敛敛时时亦亦收收敛敛; ; 第二个结论是第一个结论的逆否命题第二个结论是第一个结论的逆否命题, ,因此也成立因此也成立. . 516 d 1 x x 收收敛敛. . 例例2 判别判别 516 d 1 x x 的收敛性的收敛性. 22 ( )d( )d aa fxxgxx 数数. .证证明明: :若若和和收收敛敛, ,则则 ( ) ( )d. a f x g xx

8、收收敛敛 解解 6 5 1 dx x 由由于于收收敛敛, ,因因此此 6 5 65 11 . 1 x x 显然显然 设设 f (x), g(x)是定义在是定义在 上的非负连续函上的非负连续函 ,)a 例例3 3 证证 22 22 ( )( )11 d( )d( )d 222 aaa fxgx xfxxgxx ( ) ( )d. a f x g xx 收收敛敛, ,因因此此收收敛敛 推论推论1 1 设非负函数设非负函数 f 和和 g 在任何在任何 a,u 上可积上可积, 且且 ( ) lim. ( ) x f x c g x ) i (0( )d( )d aa cf xxg xx 若若， 则则与

9、与收收敛敛性性相相同同; ; 22 ( )( ) ( ) ( ), 2 fxgx f x g x 而而由于由于 (ii)0,( )d( )d aa cg xxf xx若若则则由由收收敛敛可可推推得得收收敛敛; ; (iii),( )d( )d aa cg xxf xx若若则则由由发发散散可可推推得得发发散散. . 证证 ( ) (i)lim0, ( ) x f x cGaxG g x 由由故故存存在在使使有有 ( ) , ( )2 f xc c g x 即即 3 ( )( )( ). 22 cc g xf xg x ( ) (iii)lim, ( ) x f x GaxG g x 由存在使有由

10、存在使有 ( )( ), ,),( )d a f xg xxGg xx 即即因因此此由由发发散散 ( )d. a f xx 可可推推得得发发散散 1 (i)( )(1),( )d p a f xpf xx x 若若则则收收敛敛; ; 推论推论2 设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数, 在任何在任何 ,)a , a u有有限限区区间间上上可可积积. . ( ) 1, ( ) f x g x ) i (1, 0,( )d a pf xx 当当时时收收敛敛; ; )ii(1, 0,( )d. a pf xx 当当时时发发散散 lim( ), p x x f x 若若则则限区间限区间

11、a, u 上可积上可积. 推论推论3设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数,在任何有在任何有 ,)a 1 (ii)( )(1),( )d. p a f xpf xx x 若若则则发发散散 说明说明: : 推论推论3 3是推论是推论2 2的极限形式，读者应不难写的极限形式，读者应不难写 出它的证明出它的证明. . 例例4 讨论讨论 1 ln d k p x x x 的收敛性的收敛性 ( k 0 ). 解解 (i),1时时p 1 2 ln lim p k p x x x x 1 2 ln lim0. p k x x x 1 ln d. k p x x x 因因此此由由推推论论3 3知

12、知道道收收敛敛 )ii( 1 ln 1, limlimln. k pk p xx x pxxx x 时时 1 ln d. k p x x x 因因此此同同理理知知道道发发散散 无穷积分无穷积分( )d a f xx 满满足足条条件件( ) d, a f xx 收收敛敛 ( )d. a f xx 则则绝绝对对收收敛敛称称 以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 三、一般函数无穷积分的判别法 若若 f 在任何在任何 有限区间有限区间 a, u上可积上可积, ( ) d, a f xx 且且收收敛敛 则则 ( )d a f xx 亦亦必必收收敛敛, ,

13、并并且且 ( )d( ) d . aa f xxf xx 定理定理11.411.4 ( (绝对收敛的无穷积分必收敛绝对收敛的无穷积分必收敛) ) 证证 21 0,GauuG 当当时时 2 1 ( ) d, u u f xx 因此因此 22 11 ( )d( ) d. uu uu f xxf xx 再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性, ( )d a f xx 收收敛敛. . ( )dlim( )d( ) d . u aaau f xxf xxf xx 又对任意又对任意 ( )d( ) d , uu aa f xxf xx 于于是是,ua ( ) d, a f xx 收收敛敛由柯西准则的必要

14、性由柯西准则的必要性, 对对因因 1 sin d () x x x ax 因因此此绝绝对对收收敛敛. . 收敛的无穷积分收敛的无穷积分( )d a f xx 不一定是绝对收敛的不一定是绝对收敛的. ( )d|( )|d, aa f xxf xx 若若收收敛敛而而发发散散 则则称称 ( )d a f xx 条条件件收收敛敛. . 例例5 1 sin d(0) () x xa x ax 的收敛性的收敛性.判别判别 解解 sin1 , () x x axx x 而而 3 2 1 1 dx x 收收敛敛, , 由于由于 一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判

15、判 定理定理11.5( (狄利克雷判别法）狄利克雷判别法）( )( )d u a F uf xx 若若 0( ) ( )d. a f x g xx 单单调调趋趋于于 ，则则收收敛敛 ,)( ) ,)ag xax 在在上上有有界界，在在上上当当时时 lim( )0, x g x ,),( )d.0, u a uaf xxM 设设由由于于证证 ,( ). 4 Ga xGg x M 存存在在时时故故 别法和阿贝尔判别法判别其收敛性别法和阿贝尔判别法判别其收敛性. . ,g因因为为单单调调函函数数 由由积积分分第第二二中中值值定定理理 对对任任意意的的 2112 ,uuGu u 22 11 12 (

16、) ( )d()( )d()( )d , uu uu f x g xxg uf xxg uf xx .2 4 2 4 M M M M 2 2 ()( )d( )d u aa g uf xxf xx 1 1 ()( )d( )d u aa g uf xxf xx 2 1 12 ()( )d()( )d u u g uf xxg uf xx 2 1 ( ) ( )d u u f x g xx 于于是是 使得使得 因此因此, 由柯西准则，由柯西准则， ( ) ( )d. a f x g xx 收收敛敛 定理定理11.6 (阿贝尔判别法阿贝尔判别法) ,)( ) ( )d. a af x g xx 在

17、在上上单单调调有有界界，则则收收敛敛 证证 证法证法1( ), ,),g xM xa设设由由于于 ( )d, a f xx 收收敛敛 21 0,GauuG 则则当当 2 1 ( )d. 4 u u f xx M ( )d, ( ) a fxxg x 若若收收敛敛 由由 g 的单调性的单调性, ,用积分第二中值定理，任意的用积分第二中值定理，任意的 2112 ,uuGu u 使得使得 2 1 d u u f x g xx 2 1 12 ()( )d()( )d . u u g uf xxg uf xx 2 1 ( ) ( )d u u f x g xx 因因此此 2 1 12 ()( )d()(

18、 )d u u g uf xxg uf xx . 244 M M M M 由柯西准则由柯西准则,( ) ( )d. a f x g xx 收收敛敛 证法证法2( ) ,),g xaA因因在在上上单单调调有有界界 故故存存在在使使 lim( ). x g xA 11 ( )( ),( ) ,)0.gxg xAgxa令令则则在在上上单单调调趋趋于于 ( )d,( )( )d u aa f xxF uf xx 又又因因收收敛敛 故故在在 ,),a 上上有有界界由狄利克雷判别法由狄利克雷判别法 1 ( )( )d a f x gxx ( ) ( )d a f x g xx 1 ( )( )d( )d. aa f x g xxAf xx 收收敛敛 例例6 11 sincos dd (0) pp xx xx p xx 讨讨论论与与 的收敛性的收敛性. 解解 sin1 1, pp x p xx 当当时时 由由于于 1 sin d p x x x 因因此此绝绝 对收敛对收敛. . 收敛收敛, ,所以所以 01,1pu若若则则当当时时 ，因此，因此单调趋于单调趋于而而0 1 p x 由狄利克雷判别