2019-2020学年江苏省无锡市高二(上)期末数学试卷

1、2019-2020 学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.设 ? ? ?0 ，则下列各不等式一定成立的是()2222C.22D.22A. ? ? ? ? ? ? ?2.已知向量?= (0,1?=(1, -2,1).若向量 ?+? 与向量 ?= (?,2， ?)平行，则实，1)，?数 n 的值是 ()A. 6B. -6C.4D. -422?63.已知椭圆C2+2 = 1(? ? 0) ，若长轴的长为：，且两焦点恰好将长轴三等?分，则此椭圆的标准方程为()2222C.22D.22A.?+?=1B. ?+?=1?+?= 1? +?= 136329

2、89516124. 九章算术 是我国古代的数学名著， 书中有如下问题： “今有大夫、 不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配 (古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配 ).”在这个问题中， 若大夫得“一鹿、 三分鹿之二”，则簪裹得 ( )A. 一鹿、三分鹿之一B. 一鹿C. 三分鹿之二D. 三分鹿之一5. 已知等比数列 ?为单调递增数列， 设其前 n 项和为 ?，若 ?2= 2，?3 = 7，则?5的值为 ()A. 16B. 32C. 81D. 46. 下列不等式或命题一定成立的是( )

3、lg(?2112(? ?,?)；+ )? ?(? 0) ； ?+?4?2最小值为 22；? +3 ? + 1 ? 2|?|(?) ?=2(?) ?+2A. B. C. D. 7.222)?- 1 0的解集为空集，则实数a(理科 ) 已知关于 x 的不等式 (? -4)? + (?-的取值范围是 ()A. -2,6B. -2,655)6D. (- ,2 2, +)C. (- 5 ,28.为数列 ?的前 n 项和，满足 ?= 2?-3，则 ?6 = ()设 ?A. 192B. 96C.93D. 1899.若正数 a、 b 满足 ?= 2(?+ ?)+ 5，设 ?= (?+?-4)(12- ?- ?

4、)，则 y 的最大值是 ()10.A. 12B. -12C.16D. -16)正四面体 ABCD 的棱长为 2， E、 F 分别为 BC、 AD 的中点，则 ? 的值为 (?A. -2B. 4C.2D. 111.22?， ?，离心率为 e，若椭圆上已知椭圆 ?的左右焦点分别为2 +2= 1(? ? 0)12?存在点 P，使得?e 的取值范围是 ( )1 = ?，则该离心率?2第1页，共 14页A. 2 - 1,1)B.2,1)C. (0, 2- 1D. (0,2 2212. 当 n 为正整数时，定义函数 ?(?)表示 n 的最大奇因数 如 ?(3) = 3 ，?(10) = 5， ，?(?)=

5、 ?(1) + ?(2) + ?(3) + ? + ?(2?)，则 ?(5)=( )A. 342B. 345C. 341D. 346二、填空题（本大题共 4小题，共20.0 分）p0 ，都有2”，则 ?为_13. 已知命题 ：“ ? - ?0?-114.不等式? 3 的解集是 _2222?15.已知双曲线 2 -2 = 1 的离心率为2= 1 的焦点相同，那么双，焦点与椭圆+?259曲线渐近线方程为 _ 16.已知 ?=1， a，?(0,1) ，那么1+2的最小值为 _21-?1-?三、解答题（本大题共6 小题，共 70.0 分）17.已知等差数列 ? 的前 n 项和为 ?，且 ? + ? =

6、 25， ? = 55 ?255(1) 求数列 ? 的通项公式；(2) 设? ? = 1 ，求数列 ? 的前 n 项和 ? ? 3?-1?(?)= ?-118. 已知|?|，函数(1)若?(?) 2?对 ?(0,2) 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当?= 1时，解不等式 ?(?) 2?19. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 上的动点 ?(?,?)(? 0) 到点 ?(2,0)的距离减去M 到直线 ?= -1 的距离等于 1(1) 求曲线 C 的方程；(2) 若直线 ?= ?(?+ 2) 与曲线 C 交于 A，B 两点，求证： 直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补第2页，共 14

7、页20. 某种汽车购买时费用为 14.4 万元，每年应交付保险费、 养路费及汽油费共 0.9万元，汽车的维修费为：第一年 0.2 万元，第二年 0.4万元，第三年 0.6 万元， ，依等差数列逐年递增( ) 设使用 n 年该车的总费用 ( 包括购车费用 ) 为?(?)，试写出 ?(?)的表达式；( ) 求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少) 21.如图 1，在高为6 的等腰梯形ABCD 中， ?/?，且 ?= 6 ， ?= 12，将它沿对称轴 ?折起，使平面 ?平面 ?，如图 2，点 P 为 BC 的中点，点E111在线段 AB 上 ( 不同于 A，B 两点 ) ，连接

8、 OE 并延长至点Q，使 ?/?(1) 证明： ?平面 PAQ；(2) 若?= 2?，求二面角 ?- ?- ?的余弦值2222.?+?= 1(? ? 0) ，F 为左焦点， A 为上顶点， ?(2,0)为右顶点，已知椭圆 ?1： 22?若?，抛物线 ?的顶点在坐标原点，焦点为F 7| ?|= 2|2(1) 求?的标准方程；1(2)是否存在过F?和 ?交点分别是P，Q 和 M，N，使得 ?=1?？2点的直线，与 12 ? ?如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由第3页，共 14页第4页，共 14页答案和解析1.【答案】 B【解析】 解：令 ?= -3 ， ?= -2 ， ?= -1 ；

9、22， ACD 错；则?= 9 ?= 6 ?= 4故选： B可以带入特殊值排除解决本题考查不等式，属于基础题2.【答案】 D【解析】 解：已知向量?= (0,1， 1) ， ?= (1, -2,1) ，所以 ?+ ?= (0, 1， 1) + (1 ，-2 ， 1) = (1 ，-1 ， 2) ，?向量 ?+?与向量 ?= (?,2， ?)平行，设 ?+ ?= ?，1由 1 = ?=-2，-1，解方程组得 ?= -2= 2?2 = ?= -4故选： D求出向量 ?+ ?，由向量 ?+ ?与向量 ?= (?,2，?)平行，设 ?+ ?= ?，联立解方程组，求出即可考查向量共线的性质和向量简单的运

10、算，基础题3.【答案】 B【解析】 【分析】本题给出椭圆的长轴长和焦点的位置， 求椭圆的标准方程， 着重考查了椭圆的基本概念和标准方程等知识，属于基础题根据题意， 2?= 6 ，且 2?=12?= 2，可得 ?= 3且 ?= 1 ，再根据椭圆中ab c的3、 、平方关系得到2的值，结合椭圆焦点在x 轴，得到此椭圆的标准方程?【解答】解：椭圆长轴的长为6，即 2?= 6，得 ?= 3两个焦点恰好将长轴三等分，2?=31 2?=2，得 ?= 1，因此，2229 - 1 = 8，再结合椭圆焦点在x 轴上，?= ?- ?=22可得此椭圆方程为：?9+ = 18故选 B4.【答案】 B【解析】 解：由题

11、意得在等差数列? 中，?2?= 11354，5? +? =?= 5512解得 ?= - 1，3第5页，共 14页21?3 = ?1 + 2?= 1 3 + 2 (-3)=1簪裹得一鹿故选： B?= 1231由题意得在等差数列?中， 154，求出 ?= -，由此能求出簪裹得?5 = 5?1 +32?=5一鹿本题考查等差数列的第三项的求法， 考查等差数列的通项公式及性质等基本性质， 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5.【答案】 A【解析】 解：依题意，设等比数列? 的公比为q，?= 2?= 41?1 = 1? (1-? 3 )1则= 7，解得或1(舍)，1?= 2?=21-?44=

12、16所以 ?5 = ?1? = 1 2故选： A根据 ?， ?3 = 7，列方程组求出?1和 q，进而可得 ?的值2 = 25本题考查了等比数列的单调性， 考查了等比数列的前 n 项和和通项公式， 考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题6.【答案】 C【解析】 【分析】本题考查基本不等式及不等式性质，属于基础题利用基本不等式及不等式的性质对各命题逐一判断即可【解答】解：中：2?+1=122121 正确；? -4(?- ) 0，则 ?+ ?，则 lg(?+) ?，故244?+10 中：? ?，?，?-1,0)(0,1 ，当 ? 0时，? ，故 错误；2|?|2- 2|?| + 1 = (|

13、?|- 1)22 中：? + 1 - 2|?| = 0 ，故? + 1 ? 2|?|(?)，故 正确；2211? +3? +2+1222 = 中：?= 2，当且仅当 2时取等号，22= ?+ 2+2?+ ?+2?+2 ?+2 ?+22，显然不成立，故 错误；此时?= -1故选： C7.【答案】 C【解析】 解：2当 ?-4=0，即?= 222(?- 2)?- 1 0 化为 -1 0，其解集为空集， 因此 ?=当 ?= 2时，不等式 (? -4)? +2 满足题意；221当 ?= -2 时，不等式 (?-4)? + (?-2)?-1 0化为 -4? -1 0，即 ?-，其解4集不为空集，因此 ?

14、=-2满足题意，应舍去；2 0，即 ? 2时当?- 4关于 x 的不等式22(? -4)? + (?- 2)?- 1 0的解集为空集，第6页，共 14页25 ? 2? - 4 0，解得 -06综上可得： a 的取值范围是(-56,2故选： C2，即 ?=2 0 ，即 ? 2时由对 a 分类讨论： 当 ? - 4 = 0 2直.接验证即可 当 ? - 42于关于 x 的不等式 (?2 - 4)?2 + (?- 2)?- 1 0 的解集为空集， 可得 ? -4 0 ， ? 10 ，设 ?=(?+ ?-4)(12- ?-?)= (?-4)(12 - ?)，= -?2+ 16?-48，结合二次函数的性

15、质可知，当?= 10时 y 取得最大值 12故选： A先利用基本不等式可求?+?的范围，然后结合二次函数的性质即可求解y 的最大值本题主要考查了利用基本不等式及二次函数的性质求解函数的最值，属于基础试题10.【答案】 D【解析】 解：如图，?、 F 分别为 BC、 AD 的中点，? 1 ? ? ， ?1 ? ，且 ?= ?=?= 2 (?+ ?)?= 2 ?= 2 ， ?= ?= 60 ，?1 ? ? ?=(?+ ?)?4= 1第7页，共 14页1?=(? ?+?)4111= (2 2 + 22 )422故选： D? ?=1?可画出图形，根据条件可得出4(?+ ?)? ?，然后根据条件进行数量

16、积的运算即可本题考查了正四面体的定义，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题11.【答案】 A【解析】 解：依题意，得使得?2?1+ 1= ?+ 1，?2?2?=2?，2?+1又 ?-? ?2 ?+ ?，?-? 2? ?+ ?，?+12不等号两端同除以a 得， 1 - ? ?+1 1 + ?，解得 ?2 - 1，又0 ? 1，2 -1 ? 1故选： A?2?2?，而 ?- ?由 ?1= ?结合椭圆离心率的定义可得?1+ 1 =?= ?+ 1，可求得 ?2=222?+1?2 ?+ ?，从而可求得离心率 e 的取值范围?2?本题考查椭圆

17、的离心率及椭圆的简单几何性质，求得，利用 ?-? ?2 =?+12 ?+?解决问题是关键，也是难点，属于中档题12.【答案】 A【解析】 解： (1) 由题设知， ?(2?)=?(?)， ?(2?- 1) =2?-1 ?(?)=?+ ?(2) + ?(4) + ?(6) +?-1+1+3+5+?+(2 - 1)?+?(2) =4?(2) +?(4) + ?(6) + ? + ?(2 ) ，?(?)=4 ?-1 + ?(?- 1)(? 1) ，又 ?1 = ?(1) = 1，?(?)= 4 ?-1 + 4?-2+? +41+ 40+1= 4?+2，3则 ?(5) =43 +2= 3423故选：

18、A由 ?(?)的性质可得知， 当 x 是奇数时， x 的最大奇数因子明显是它本身 因此 ?(?)= ?，进而可得，奇数项的和；当 x 是偶数时，可利用数学归纳法推断出偶数项的和因此由这样一个性质，我们就可将?进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加?本题考查了归纳推理的能力，找出 ?(2?)= ?(?)， ?(2?- 1) = 2?- 1 ，是解题关键，属于中档题第8页，共 14页13.2，有?- ? 0【解析】 解：命题是全称命题，则命题的否定是：? 02，有 ? - ? 0，有 ? - ? 3，即? 0，即 ?(2?+ 1) 0，求得- 1 ? 0，21故答案为： (-2 , 0)

19、 原不等式，即2?+1 0，即 ?(2?+ 1) 0，由此求得它的解集?本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题15.【答案】 ?= 3?22【解析】解：椭圆 ? + ?259故 ?= 2，?= 1的焦点为 (4,0)(-4,0)，故双曲线中的?= 4，且满足 ?= 2，22?= ?= 3?= ?- ? = 2 3，所以双曲线的渐近线方程为故答案为： ?= 3?先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c 值，再由离心率求出a 的值，最后根22据 ?= ?-?得到 b 的值，可得到渐近线的方程本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、 椭圆的相应知识也进行了综合

20、性考查16.【答案】 10【解析】 解： ?= 1， a， ?(0,1) ，21?= 2? 1 ，1?0，则1-12?+ 1 0，所以 ?；|?| 2?可化为： 2? - 若? 0，则1 -12?- 1 0，解得： ? 1或 ? -1，?0) 到点 ?(2,0)的距离减去 M 到直线 ?= -1【答案】解：(1)的距离等于1，所以动点 M 到直线 ?= -2 的距离与它到点 ?(2,0)的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线2? = 8?，证明 (2) 设?(?,?) ，?(?, ?).1122?= ?(?+ 2)2228)?+联立 2，化为? + (4? -? = 8?24

21、? = 0， (? 0)由于 0，?1 + ?2 =8-4? 2 ， ?= 421?2?直线 FA 与直线 FB 的斜率之和 =?12 =?1-2?2 -2?(?+2)(? -2)+?(?2+2)(?1-2)12，(? -2)(?2-2)1分子 = ?(2?1?2 -8)=0，直线 FA 与直线 FB 的斜率之和为0，直线 FA 与直线 FB 的倾斜角互补【解析】 (1)利用抛物线定义“到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹”求动点P 的轨迹；(2) 设 ?(?,?)11 ， ?(?,?22 ).直线与抛物线方程联立化为222- 8)?+2? + (4?4? = 0，(? 0). 由于 0，利用

22、根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线 FA 与直线 FB 的斜率之和0，即可证明本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.【答案】 解： ( ) 依题意 ?(?)= 14.4 + (0.2 + 0.4+ 0.6 + ? + 0.2?)+ 0.9?(3 分)0.2?(?+1)+ 0.9? (5 分 )= 14.4 +22= 0.1? + ?+ 14.4 (7 分 )( )设该车的年平均费用为S 万元，则有 ?=11(0.1?2+ ?+ 14.4)(9 分)?(?)=? 14.4= + 1 2 1.44+ 110?=

23、21.2+ 1= 3.4仅当 ?=14.4 ，即 ?= 12 时，等号成立(13 分 )10?故：汽车使用 12 年报废为宜(14 分 )【解析】 (?)由已知中某种汽车购买时费用为14.4 万元， 每年应交付保险费、 养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为： 第一年0.2万元，第二年 0.4万元，第三年 0.6万元， ，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n 项和公式，即可得到?(?)的表达式；(?)由 (?)中使用 n 年该车的总费用，我们可以得到n 年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n 值，进而得到结论第11 页，共 14页本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中 (?)的关键是由等差数列前n 项和公式，得到 ?(?)的表达式， (?)的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点【答案】 (1) 解法一 (几何法 )21.证明：取 ?的中点为 F ，连接 AF ， PF；1?/?，?/?，?/?，?、 F、 A、Q 四点共