2019-2020学年江苏省南京市高三(上)12月模拟数学试卷

1、2019-2020 学年江苏省南京市高三（上）12 月模拟数学试卷一、填空题（本大题共14 小题，共 70.0 分）1.已知全集 ?= -1,0，则 ?=_， 2 ，集合 ?= -1,0?=?(?- ，则-2.已知复数? _3+?为虚数单位 ) ，复数的共轭复数为=3.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为30 的样本，其中高一年级抽 12 人，高三年级抽8 人，若该校高二年级共有学生500 人，则该校学生总数为_4. 执行如图所示的伪代码，若 ?= 0，则输出的 y 的值为 _ 5. 已知 4 ?= 2， log ?= 2?，则正实数 ?= _1 的定义域记作集合 ?随.机地投掷一枚质地

2、均匀的正方体骰子(骰子6. 函数 ?(?)= ?的每个面上分别标有点数1，2， ， 6) ，记骰子向上的点数为t，则事件“ ?”的概率为 _?+?7. 已知锐角 ?满足 ?= 6?，则 sin?-cos? = _8.在 ?中，角 A， B， C 所对的边分别为a， b， ?若. ?+2?= 2?，?则 的值为 _?229.已知椭圆 ?1：?+?= 1(? ? 0)222，若椭圆 ?上存在点 P，22与圆 ?：? + ? = ?12?由点 P 向圆 ?所作的两条切线PA，PB 且 ?= 60，则椭圆 ?的离心率的取值21范围是 _8cm、圆心角为?10.将一个半径为4的扇形薄铁片，焊接成一个圆锥

3、形容器，则这个圆锥形容器的容积等于3_?11.设等比数列 ? 的前项 n 项和为 ?，若 ? =7，? =63 ，则 ? + ? + ? = _?3678912.224上的动点，点 ?(4,0)，若直线 ?= ?+ 1上总存在点已知点 P 是圆 O：? + ? =Q，使点 Q 恰是线段AP 的中点，则实数 k 的取值范围为_13. 如图，在正 ?中，点 G 为边 BC 上的中点，线段 AB，AC 上的动点 D， E?分别满足 ?= ?,?= (1 -?DEF|?|?(?)，设中点为，记= ?(?)，则的2?) ?(?)?|?取值范围为 _第1页，共 17页14. 已知函数 ?(?)=?1，若对

4、任意实数?1 -5?，都存在唯一2?sin(2-6) +26, -22的实数 ?，使得 ?(?) + ?(?) = 0，则实数 m 的范围是 _2 0,?12二、解答题（本大题共11 小题，共142.0 分）15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为单位圆上在第一象限内的动点，过点 P 作 x 轴的垂线分别与x 轴，直线 ?= ?交于点 M， N，设 ?= ?， ?(0,?4) 1(1) 若?= 5 ，求 cos?；(2) 求?的最大值16. 如图，在四棱锥 ?- ?中，底面 ABCD 是平行四边形， ?平面 ABCD ， M 是 AD 中点， N 是 PC 中点(1) 求证： ?

5、/ 平面 PAB；(2) 若平面 ?平面 PAD ，求证： ?17. 为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为100m 的扇形土地 OAB 上建造市民广场 规划设计如图：矩形 ?(其中 E，F 在圆弧 AB 上， G，H 在弦 AB 上)区域为运动休闲区， ?区域为文化展示区，其余空地为绿化区域，已知P 为圆弧 AB 中点， OP 交 AB第2页，共 17页于 M，cos?=7220，记矩形 EFGH 区域的面积为 ?(1) 设 ?= ?(?)，将 S 表示成 ?的函数；(2) 求矩形 EFGH 区域的面积 S 的最大值E22ABBlx18. 如图，已知椭圆?= 1(? ? 0) 的长轴为

6、的直线与轴垂： 2 +2，过点?直，椭圆 E 上一点与椭圆E 的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2，且椭圆 E 的离心率 ?= 3 2(1) 求椭圆 E 的标准方程；(2) 设 P 是椭圆 E 上异于 A、 B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点 M ，N 为MB 的中点为椭圆的左焦点，点?为椭圆的右焦点，?关于直线 PN 的对称点为Q， 若点 ?121当点 P 的坐标为(455 时，求证：点 P， Q， ?三点共线5, 5 )2 试判断直线PN 与椭圆 E 的位置关系，并证明你的结论19. 已知函数 ?(?)= -?3+ ?+ 1，? ?(1) 若函数 ?= ?(?)的图象在

7、?= 1处的切线垂直于直线?- 2?+ 1 = 0，求 m 的值；(2) 求函数 ?(?)的单调区间；(3) 若函数 ?(?)在 (-1, 2) ，上的极小值也是 ?(?)的最小值， 求实数 m 的取值范围第3页，共 17页20. 已知数列? 是各项均为正数的等差数列?(1) 若?1= 2，且 ?2，?， ?+ 1 成等比数列，求数列；34?的通项公式 ?111(2) 在(1) 的条件下，数列 ?的前 n 和为 ?，设 ?= ?+1 + ?+2 + ? + ?2?，若对任?k 的最小值；意的 ? ，不等式 ? ?恒成立，求实数?(3) 若数列? 中有两项可以表示为某个整数?(? 1) 的不同次

8、幂，求证：数列? ?中存在无穷多项构成等比数列21. 已知矩阵 ?= ? -1 ，其中 a，?，若点 ?(1,2)在矩阵 A 的变换下得到的点? 1?1(2,4)(1) 求实数 a，b 的值；(2) 求矩阵 A 的逆矩阵22. 在极坐标系中， 已知圆 A 极坐标方程为 ?= 6?，点 M 为圆 A 上异于极点 O 的动点，求弦 OM 中点的轨迹的直角坐标方程23.已知： ? 2， ?求.证： |?- 1 + ?|+ |?- ?| 3 第4页，共 17页224. 某射手每次射击击中目标的概率是 3，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击 3次(1) 求恰有 2 次击中目标的概率；(2) 现在

9、对射手的3 次射击进行计分： 每击中目标1 次得 1 分，未击中目标得0 分；若仅有 2 次连续击中，则额外加1 分；若 3 次全击中，则额外加3 分记 X 为射手射击 3 次后的总得分，求X 的概率分布列与数学期望?(?)25. 已知抛物线2过点 (2,1)，直线 l 过点 ?(0,-1)与抛物线 C 交于 A，C：? = 2?(? 0)B 两点点A 关于 y 轴的对称点为 ?，连接 ?(1) 求抛物线线 C 的标准方程；(2) 问直线 ? 是?否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由第5页，共 17页答案和解析1.【答案】 2【解析】 解：全集 ?= -1, 0，2 ，集合 ?=

10、-1,0，由补集的定义可得?= 2 故答案为： 2 运用集合的补集定义：?= ?|?且 ? ?，即可得到所求本题考查集合的运算，主要是补集的求法，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题12.【答案】 4?(3-?)13【解析】 解： ?= 3+?=(3+?)(3-?) = 4+ 4?，-212+ (3 2)2=1?= |?| = ( (4)4 )4故答案为： 1 4直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由-2求解?= |?|本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题3.【答案】 1500【解析】 解：该校学生总数为x，则由题意可得30-12-8= 30 ，

11、500?解得 ?= 1500 ，故答案为： 1500由题意利用分层抽样的定义和方法，求得该校学生总数本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题4.【答案】 1【解析】 【分析】根据题意得出执行程序后输出函数y，由此求出结果本题考查了程序语言的应用问题，是基础题【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数?= ?,?0，?,? 00当 ?= 0时， ?= ? = 1故答案为115.【答案】 2【解析】 解： 4 ?= 2 ， log ?= 2?，?= 1 ， ?1?= 1 ，22第6页，共 17页1解得 ?= 2故答案为： 12先求出 ?=1，从而 ?= 1，由此能求出x 的值212本题考查实

12、数值的求法，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题56.【答案】 6【解析】 【分析】本题考查古典概型求概率，函数的定义域，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是基础题求出 ?= ?|0 ?1 ，t 的所有可能取值为1，2，3，4，5，6，共 6 种，事件“ ?”包含的基本事件有234565种，由此能求出事件“ ?”的概， ， ，共率【解答】解： 函数 ?(?)=1的定义域记作集合D ，?= ?|0 ? 1 ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子( 骰子的每个面上分别标有点数1， 2， ，6) ，记骰子向上的点数为t，则 t 的所有可能取值为1， 2， 3，4， 5， 6

13、，共 6 种，事件“ ?”包含的基本事件有2，3，4， 5，6，共 5 种，5事件“ ?”的概率为 ?= 6故答案为： 5 67.【答案】 3 + 2 2?【解析】 解： 锐角 ?满足 ?= cos? = 6?，又 sin 2 ?+ cos2 ?= 1，可得： sin 2?+?，整理可得：6sin 2 ?+ ?-6 = 0，6= 1解得： ?=6，或-62?=3，32 ( 舍去 ) ，可得： ?= 1- sin363?+?= 3+ 22sin?-cos?= 33633 -3故答案为：3 + 22?由已知利用同角三角函数基本关系式可求?= cos? = 6?，sin 2?+ cos 2?= 1，

14、联立可得： 6sin 2?+ ?-6 = 0，解得 ?，利用同角三角函数基本关系式可求?，即可代入所求得解本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题第7页，共 17页8.【答案】 2【解析】 【分析】?根据正弦定理，结合题意即可求出的值?本题考查了解三角形的应用问题，是基础题【解答】解： ?中， ?+2?= 2?，2?+=?2?；?= 2?，?= 2?故答案为29.【答案】 3 ,1)2【解析】 解：连接OA， OB， OP，如图所示；依题意知， O、 P、 A、 B 四点共圆， ?= 60 ， ?= ?=?，6在直角三角形OAP?中，

15、 ?=，3?1cos ?=|?|=2，?2?|?|= 1 =2，? |?| ?，2? ?，222224? ?，即 4(? -?) ?，2223?，3? 4?，即 24? 23；又0 ? 1，3 2 ? 1，椭圆 ?的离心率取值范围是 3 , 1) 12故答案为：32 ,1)根据 O、 P、A、 B 四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，结合题意即可求得椭圆C 的离心率的取值范围本题考查了圆的性质与椭圆离心率的概念应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是中档题10.【答案】 7?第8页，共 17页?【解析】 解：将一个半径为8cm、圆心角为 4 的扇形薄铁片，焊接成一个圆锥形容器，则圆锥的底面圆周长

16、为：8 ? = 2?= 1，4， 圆锥的底面圆半径圆锥的高? =212= 378 -这个圆锥形容器的容积为：?=1?12? =1?3 7 = 7?33故答案为：7?圆锥的底面圆周长为：8 ?= 2?= 1 ，进而圆锥的高 ? =4，从而圆锥的底面圆半径212= 37.由此能求出这个圆锥形容器的容积8 -本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥及侧面展开图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11.【答案】 448【解析】 解：由等比数列的性质可得?， ?，?， 成等比数列，并设其公比36- ?3 9- ?6为 q，又由题意可得 ? = 7， ? - ? =63 -7= 56 ，?=56= 8，

17、3637?7 + ?8 + ?9 =?9 - ?6 = 56 8 = 448故答案为： 448由等比数列的性质可得?，?-， ?， 成等比数列，由已知数据易得答案36?9- ?36本题考查等比数列的求和公式和性质，属基础题412.【答案】 - 3 ,0【解析】 解：设 ?(2?,2?)，则 AP 的中点坐标为 ?(?+ 2, ?)，?= ?(?+ 2) + 1，即 ?=?-1，cos?+2即 k 表示单位圆上的点 (?,?)与点?(-2,1) 连线的斜率，设过点M 的直线 ?- 122= ?(?+ 2) 与圆 ?+ ? = 1相切，则 |2?+1|= 1，解得 ?=0或 ?= -423 ?+1

18、4?-1- 3 cos?+2 0故答案为： -43,0设 ?(2?,2?)，把 AP 的中点坐标代入直线方程得出 ?=?-1，利用 k 的几何意义cos?+2得出 k 的范围第9页，共 17页本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题1 713.【答案】 2 , 4 【解析】 解：?，?，? ?=?=(1-2?)?0 ? 1，0 ? 1；0 1 - 2?12由题意，设正三角形边长为1，得，|?；?=1；| = |?|= | = 12111-?2?2? ?2?2 3?+1；| ? ?(?+?=(=|?=(?-?) =(?+?)-)+?)2222?(?)=21|?= 3?+1 ； ?0, ；?22|

19、?当 ?= 0时，?(?)1?=1时， ?(?)7；当；?=22?=4故 ?(?)的取值范围是1 72 ,4 .故答案为： 1,7.24正 ?中，?2 ，转化为用向量 ?，?表| =|?|=|根据? ?| ?|?= (?-?)|?|示，变为关于 ?的关系式，再用二次函数求取值范围|?|本题考查了向量数乘和线性运算，属基础题? 5?14.【答案】 2 , 6 )?1?2?1【解析】 解： ?(?)= 2?cos-cos sin) += 3sin cos-cos+=2(sin22626222231?2?-?= sin(?-6) ，2? -5?, -，162?2?1 - 6-?, -3 ，?(?)

20、= sin(?-?3，) -,01162对任意实数 ? -5?，使得 ?(?) + ?(?) = 0，6, -2 ，都存在唯一的实数?2 0,1?12当 ?2 0,?时， ?= ?(?2)与直线 ?= ?0, 3 有且仅有一个交点，2作出图象如下：第10 页，共 17页? 5?由图可知， ?2 , 6 )故答案为： ? 5?2,6)5?时，先把所给函数化简， 根据 ?1 -, -，求出 ?(?) 的范围，进而得到当? 0, ?62123?= ?(?)与直线 ?= ?0, 有且仅有一个交点，再结合图象即可求解22本题考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想，属于中档题?15.【答案】 解： (

21、1) 因为 ?= ?， ?(0, 4 )，且点 P 在以原点为圆心的单位圆上，所以点P 坐标为 (?),，又 ?轴，点 N 在直线 ?= ?上，所以点 N 坐标为 (?),，因为 ?=1 ，且 ?(0,?26 ，4) ，所以 ?=55所以 cos?=cos(?)=226+21=2+4 34-2525；10(2)?2；? ?=(?,?(?)?,?)= cos?+ ?1+?2?111=2+2 ?2?=2 (?2?+?2?)+ 2；=2sin(2? +?124) + ，2?=?21当2?+，即时，? 有最大值为4 =2+228?【解析】 (1) 若 ?=1cos?；5，根据两角和差的余弦公式即可求(

22、2) 求出 P，Q 的坐标以及的表达式，利用辅助角公式将式子进行化简，结合三角函数的图象和性质，即可求出数量积的最小值本题主要考查三角函数的定义以及两角和差的余弦公式的应用， 以及向量数量积的计算，根据三角函数的定义求出点 P， Q 的坐标是解决本题的关键属于中档题16.【答案】 证明：(1)取PB中点E，连，EN，EA1?中， ?/?且?=2，1又 ?= 2 ?，?/?， ?= ?，第11 页，共 17页?/= ?，四边形 ENMA 是平行四边形，?/?， ? 平面PABPAB， ? 平面?/平面 PAB(2) 在平面 PAD 内过点 A 作直线 PM 的垂线，垂足为H，平面 ?平面 PAD

23、 ，平面 ?平面 ?= ?，?， ? 平面 PAD ，?平面 PMC ， ? 平面 PMC ，?，?平面 ABCD ， ? 平面 ABCD ， ?，?= ?， PA、 ? 平面 PAD ，?平面 PAD ，? 平面 PAD， ?【解析】(1) 取 PB 中点 E，连 EA，EN，推导出四边形 ENMA 是平行四边形， 从而 ?/?，由此能证明 ?/ 平面 PAB(2) 在平面 PAD 内过点 A 作直线 PM 的垂线，垂足为 H ，由 ?，得?平面 PMC ，从而 ?，进而 ?，由此能证明 ?平面 PAD，从而 ?本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题717【. 答案】解：(1) 由题意可知： ?= ?= 100 ，?= ? = ?10020 = 35，故矩形 EFGH 中， ?= 2?=?200?，?= ?-?=100?-35 ，故