八矢量代数与空间解析几何

1、-r- r 2 屮3）亍，问：系数何值时，向量 血与5-3a-h垂直. 解. 0“ 5 =加 + 1 需）（“） =3；1|刁2-久|a|p = 172-680.所以久=譽皿 2 COSyJT +5 142 I 2r COS尹-17 |i rTF-T - rrr 二.求同时垂直于矢量a二2i + 2j +妹Ub =4j+5;+3i的单位矢量. 解.假设所求矢量为C,则 =j 一 2 J + 2上 ,a xi 的模=JF+ （-2），+2, =3 i（；-2+2i） rTrTF 三.若 a = m-n, b =+2,c = 2 那一3,式中 r r 17 I御二2恫|二1,又（刖岸）=- 化简表

2、达式a c + 3a b2li c+1. 解.+ %-2小:+1 P. Pr. =(仏-处(2旷釦 + 3 (4刚-M M +2/3)- 2伽+ 2汕(2旷 )+ i =16| 屛+9|7f+1 = 16x4+9xl + l = 74 - pr 四.求平行四边形面积,若已知对角线为矢量 c=fn+2 , d = pp r 幷 |NJI= 2,（用/）二一 解.假设平行四边形的二边为矢量人B 不妨假设 / + 月二旳3 + 2 T -3=知-4挖,所以 上=2叨一科 =-加+ 3理 j4x5 = (2 擁一M)x(战 + 知)=5鴉 x?a 平行四边形面积 PP rr P盘 1/1x5 |=5|

3、/?iX |=5|ff? | |sin(?M,) = 5-1 2-sm - = 5 6 五.设 A= la +Z, S = kab,其中 |训二 1，2|=2卫丄b 1. k为何值时,乂丄月; 2. k为何值时,虫勻B为邻边的平行四边形面积为 6. 解.1. 2了二0. 所以 0 =入 S = (27 + 価 + j) =+ b 卜 2E+4, k = - 2; 2. 4x5 = (2d+6)x伽 +5) = (2-上)X2) 即(1+5小+ (28+82-(2+砂 + 1?+2 二 0 三平面的交点为 所以所求平面为 2z + y-z - 2 = 0 孟-砂+ 2 + 1 = 0 /+;v+

4、z-3 = 0，解得 x = 1, (X-1)+0-1)+2( 1) = 0 y = 1, z = 1. 平行四边形面积为 7x5的模.所以 6= I股RI二|2-上 1 MI血仏切二|2-斜.2, 所以 六.求通过三平面2x+y-z = 0,x-3y+z+ =+y+z-3 = 0的交点，且平 行于平面x+y+2;? = 0的平面方程. (1, 1, 2). 解.所求平面平行于x+y+2z = 0,所以该平面的法矢为 x+y+2z-4 = 0 七.过平面x + 28y 2z + 17 = 0 和平面 5x + 8y 的交线，作球面 223 A +7 +z = 1的切平面，求切平面方程. 的交线

5、的平面方程为 解.过平面x + 28y 2z + 17 = 0 和平面5x + 8y x + 287-22 +17 +2(办+8y - z+1) = 0 假设平面和球面的切点为 （心，升？勺）,于是在该点的法矢量为 （心，刃），环）.所以得 (1 + (28 + 8久)必一(2 + /l)z(j +17 +/1 二 0 1 + 5223 + 8i -a+X) = 由第二式解出 九JoMo和（,久的关系，代入第一式,并注意到第三式,于是得到 / +17 4-2 = 0 再次代入第一式，得到 0 +词+ (28+睨)2+(2+疔 = (17+2) 89 斤+4282 + (00 = 0 人=-2

6、当X = -2,得到所求平面为 3x-4y-j = 0； 250 2- 当89 ,得到所求平面为 3871-1547-242-421 = 0 X-7 _ y - 3 _ Z-5 八.设A仏为两条共面直线,A的方程为122, 通过点（2, 3, JT 1）,且与x轴正向夹角为 3 ,与z轴正向夹锐角，求的方程. 为（m n, 1）, 其中m 0. x轴的单位矢量为（1,0, 0）. 1 兀 =cos =, 由矢量夹角公式可得 (*) 厶上的点（7, 3,5）,厶上的点（2, 3, 1）构成矢量（5, 6, 6）与厶的方向矢量（1, 2, 2)、 A的方向矢量 (m n, 1）共面.所以混合积为0

7、,即 =0 得到 4 n 4 = 0, n = 1.代入(*) 2 = 式，得到 J6 .于是 的方程为 2 3 1 +/ +1 2 Z-2 _ y+ 3_ Z +1 即2 爲 Vs 7 = 2z-5 九.求直线 2 = 7x十2之间的垂直距离. a上亦上上 解.两直线可转化成3227 于是得到参数方程： A = -5 + 2s z = 2+7s 两直线上的点之间的距离平方为 护=(-1 + 空-界 +(-3+ N+5- 2訳 +0-2-卅 =(-1+3f - M + (2+2f - 2 时 + C - 2 - 7s) 当t, s使d2达到最小值时,d即为垂直距离.所以 一 = 6(-l +

8、3i-s)+4(2 + N-2Q + 2(f-2-7s)二 0 a 才二-2(-1 +玄-R-4(2 + 2z-2s)-14(/-2-7s) = 0 得方程组： 2r-y + 2z-6二 0 十.已知直线 0 + 4y-g + d = 0与z轴相交,求d值. 解.假设直线与z轴交点为（0，忆0）,则该点满足3x-y + 26 = 0.于是 将(0R3)代入 x+4y-2+d =0,得到 d = 3 7 + 2 +1 = 0 .在平面x + y+z + 1二0内，求一直线，使它通过直线片+ 2z = O 与平面的 交点,且与已知直线垂直. 解.直线与平面的交点满足 解得交点为 将已知直线转化为：

9、-2 -1 .所以该直线的方向矢量为 :(2, 1, 1).所求 直线垂直于平面的法矢量 (1, 1, 1), 垂直于已知直线的方向矢量 (2, 1,1).所以 -2 = -2i + 3j-k .于是所求直线为： 所求直线的方向矢量为： 十二.决定k使直线1 x-l _ y + 1 _ z-1 与百竺 x + 1 _ y-1 二 龙r=了相交. x= 1+d 解.由1 X- 1 尹+ 12-1 = 代入另一直线方程，得到: 2+f 二-2+2（二1+元, 24, 十三.求曲线 在各坐标面上的投影方程. 卩+2宀4 解.在xoy平面上的投影：U = 0 在XOZ平面上的投影：2 = 17= E 在yoz平面上的投影：1乳=，当X = 0, y = Z时， 2/ 4, S任 J +卩+4, = 1 十四.求准线为I葢=y +2 母线/ Z轴的柱面方程. 解.因为母线平行于z轴，所以只要消去 乙 得到 5只-3宀1 为所求. 孟 +y-z = 1 十五.求直线 解.由平面束方程知，直线 X +y-z = 1 厂X+的投影柱面方程为 -X + y-z= 1在平面x+y+2二0上的投影方程. 即(l-；L)x+(l+Qy-(l+2)(l+2) = 0 上述平面与平面x+