高中数学《集合》学案10湘教版必修1

1、集合的运算一 .课标解读1.普通高中数学课程中明确指出:“理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.”2.重点 :交集与并集.全集与补集的概念.3.难点 :理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系.二 .要点扫描1. 交集交集定义： 由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫A与 B 的交集，记作AB ，表示为AB x | xA 且 xB图中阴影部分表示集合A 与 B的交集：注意：此定义包含了两层含义：一层含义为凡是AB 中的元素都是两

2、集合A 与B 的公共元素；另一层含义是集合 A与与 B 没有公共元素时，不能说集合B 中的所有公共元素都在 A 与 B 没有交集，而是AAB 中。另外，当两集合B。A交集的运算性质：对于任何两个集合A与 B，都有ABBA;AAA;AA;如果 AB,则ABA。2.并集并集定义：把给定的两个集合集，记作 AB ，表示为 ABA 与 B 的所有元素并在一起构成的集合叫A 与 B 的并 x | xA 或 xB ， 图中阴影部分表示集合A 与 B的并集：注意：两集合的并集，公共元素只能出现一次。xA 或 xB 包含了三种情况: xA但 xB ; xA 但 xB ; xA 且 xB .并集的运算性质：对于

3、任何两个集合A与 B，都有ABB A;AAA;AAA;如果 AB 则AB B。,3.补集补集的定义如果 AU ，由全集 U 中不属于 A 的所有元素构成的集合，叫做A 在 U 中的补集，记作 CU A,表示为 CU A x | x U 且 x A图中阴影部分表示集合A 在全集 U 中的补集：补集的运算性质：对于任何集合A ，都有ACUAU;ACUA;CU (CU A)A。三.知识精讲知识点 1 交集、并集、补集的重要结论(AB)，B)BA ( AA CUA，(AB)CA(BC)(AB)，B)BA ( AACUAU，(AB)CA(BC)A(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)知识点

4、2 表示交集、并集、补集关系的常见的几种韦恩图四 .典题解悟-基础在线 -题型一 交集由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的集合叫A 与 B 的交集 .例 1. A= x | x 2( p2) x 1 0, x R ， B x | x 0, x R, A B，求实数 p 的取值范围。解析：因为 AB，若 A，则方程 x 2( p2) x10 无实数解，所以( p2)24p 2 4 p0 ， -4p-4.答案 : p-4.题型二 并集把给定的两个集合A 与 B 的所有元素并在一起构成的集合叫A与B的并集.例 2.1,3,2,1,1,3, ，求。AxB xABxx解析：集合中的元素有两个性质，

5、即确定性和互异性， 本例应用并集的基本知识及集合中元素互异的特征性质排除了 x 1这个解。A1,3, x, B x2 ,1, AB1,3, xx23或 x2x ，若 x 23，则 x3 ；若 x 2x ，则 x0, x1。但 x1时 x 21，这时集合B 的表示与集合元素具有互异性相矛盾，所以 x3 或 x3 或 x0。答案 :x3 或 x3 或 x0 。例 3.已知集合 A x | x 26 x 80,B x | (xa)( x3a) 0,（1）若 AB，请求 a 的取值范围；（2）若 AB，请求 a 的取值范围；（3）若 AB x | 3x 4 ，请求 a 的取值范围。ax3a, a0解析

6、：化简集合A=x|2x4 仍然成立， 所以 AB 成立，同理 3a=4 也符合题意，虽然要求，当 a2a3a4解得 a43 故 a 的取值范围是 4,2 。所以2aa23（2）当 a0时，显然 A B成立，即 a (,0) ；或 a0 时，如下图B或B 位置均使 AB成立。当 3a2 或 a4 时也符合题目意，事实上，2A,4A，则A B成立。所以，要求 03a2 或 a4 ，解得 a(0, 2 4,) 。3或 a0时， B x | x 20,显然A B成立。所以 a0 可取，综上所述， a 的取值范围是 (, 2 4,) 。3（ 3）因为 A x | 2x 4,A B x | 3x4 ，如下

7、图集合 B 若要符合题意，位置显然为a3 ，此时， B x | 3x9 ，所以， a3为所求。答案 : 4,2;3 (,2 4, );3 a3题型三 补集如果 A U ，由全集 U 中不属于 A 的所有元素构成的集合，叫做A在U 中的补集 .例 4.已知全集2A=5, 求 a 的值。U=2， 3，a +2a-3,A=2,|a+7|, CU解析 :由已知 U=2， 3， a2+2a-3, CUA=5, 得 a2+2a-3=5 ，解得 a=-4 或 a=2若 a=-4 ， |a+7|=3 ，满足条件；若 a=2， |a+7|=9 ，与题意不符，舍去。所以 a=-4 。答案 :a= -4例 5.设全

8、集 U=R, 集合 A= x| x2- x- 60, B= x|x|= y+2, y A , 求 CUB, A (CUB),A (CU B),CU (A B), ( CUA) (CUB).解析 :A=x |-2x 3, 0| x|=y+2 5. B= x|-5 x0 或 0 x5CUB= x | x -5 或 x =0 或 x 5 ,A (CUB)= x|x -5 或 -2x3 或 x 5, A (CUB)= 0 ,CU(A B)=( C A) (C B)= x | x -5 或 x 5.UU答案 :略.-拓展一步 -1.有限集合中元素的个数在研究集合时，常遇到有关集合中元素的个数问题，我们便

9、把有限集合A 中元素的个数记作 n( A) ，如 A 2,4,6 ，则 n( A) =3.下面看一个例题：A a, b, c, B a, c, d, e, AB a, c, AB a, b, c, d, e观察它们的元素个数间的关系，n( A)3, n( B)4, n( AB)2, n( AB)5发现 :一般地，对于任意两个有限集合A，B ，有 n( AB)n( A)n( B)n( AB) ；这就是著名的容斥原理；对于任意三个有限集合A，B，C，有n( ABC )n( A)n( B)n(C )n( AB)n( AC )n(BC )n( ABC )注意： n()0例 6.导游的有天鹅旅行社有 1

10、5 人组成了国际导游组，其中能用英语导游的有 11 人，能用日语 8 人，若每人至少会这两种外语之一， 求既能用英语又能用日语的导游有多少位？解析：设A=能使用英语的导游，B=能使用日语的导游 ，AB 国际导游组成员 ，AB 既能用英语又能用日语的导游由 n( AB)n( A)n( B)n(AB) ，则15=11+8n( AB),则n( AB) =4。答案：既能用英语又能用日语的导游有4 位。2.德摩根律利用维恩图观察CU (AB) 与 (CUA)(CU B) 的关系通过观察发现：(CUA)(CU B)与 CU (AB) 是相同的，即(CUA)(CU B) = CU (AB)同样的道理可以发现

11、：CU( AB) = (CU A)(CU B)这便是著名的德摩根律，它可以叙述为：A, B交集的补集等于A, B的补集之并；A, B并集的补集等于A, B的补集之交。例 7. 已知集合 A=(x ， y)|ax+y=1 ， B=(x ， y)|x+ay=1 ， C=(x ， y)|x 2+y 2=1 ，问： (1)当 a 取何值时， (A B) C 为含有两个元素的集合？(2)当 a 取何值时， (A B) C 为含有三个元素的集合？解析： (A B) C=(A C) (B C)。A C与 BC 分别为的解集。解之得：0， 1），（2a,1a2（）的解为（1 a 21a 2 ）（）的解为（1，

12、 0），（1a2,2a）1a21a 2(1) 使 (A B) C 恰有两个元素的情况只有两种可能：解得 a=0 或 a=1。（2）使 (A B) C恰有三个元素的情况是：2a1a 21 a 21a 2解得 a12 。答案 : (1) a=0或 a=1;（2） a1 2 。-错解点击 -例 8. 15.集合 A= x| x2- 3x+2=0 , B= x|x2- ax+a+1=0 , C= x| x2- mx+2=0 , 若 A B=A,A C= C, 求 a, m 的值 .错解 :此为易错题目 .正解 : m=3 或 m (-22 ,22 ).分析 :当 a-1=1, 即 a =2 时 , B

13、= 1 ;当 a-1=2, 即 a=3 时 , B= 1,2 . a 的值为 2 或 3.再考虑条件 :CA,则集合 C 有三种情况 :当 C=A 时 , m=3;当 C 为单元素集合时, 即方程 x2- mx+ 2=0 有等根 .由 =m2-8=0,得 m= 22 .但当 m= 22 时 , C=2 或 -2 不合条件 CA. 故 m= 22 舍去 .当 C=时 , 方程 x2 - mx+ 2=0 无实根 ,=m 2-8 0, -22 m22 . 综上 m=3 或 m (-22 ,22 ).五 .课本习题解析六 .同步自测-双基训练 -1. 设集合 M= x|x 0,N=x|x2-2x-30

14、,则集合 M N=()x2A、 x|0 x1B、 x|0 x2C、 x|0 x 1D、 x|0x 22.设全集 U=N,集合 A=x|x=2n,n N ,B=x|x=4n,nN则（）A、 U=A BB、 U=CAC BC、 U=ACBD、 U=CA BUU3.设 M=2,a22且 M N=2,3则 a 的值是 ()-3a+5,5,N=1,a-6a+10,3,A、1或 2B、2或 4C、 2D、 14.设集合 M x | xZ， N n | n1Z，则MN()22A 、B、 MC、ZD 、05. 设全集 U（ U）和集合 M ，N，P 且 M=C UN，N= C UP，则 M 与 P 的关系是

15、-（）A 、M=CUPB、 M=PC、 MPD 、 MP6.已知 A=(x, y)|x+y=3, B=(x,y)|x y=1 ，则 A B=（）A2, 1B x=2,y=1C (2,1)D(2,1)7.若集合 A1,2,3 ，则满足 ABA 的集合 B 的个数是（）A 1B 2C 7D 8已知集合M y | y x21, x R , N x | y32，则 MN（）8.xA. (2,1), (2,1)B 1,3C 0,3D 9.设 A 、 B、 I 均为非空集合，且满足ABI ，则下列各式中错误的是（）A. (CIA)BIB (CI A)(CI B)IC A(CI B)D (CI A)(CIB

16、)CI B10.已知集合 U、P、Q 满足 U = PQ = 0,1,2,3,4, P Q = 1,3, 则 ( CU PCU Q)(P Q) = ()A 0,1,3B 1,2,4C 0,2,4D 1,3,411 U=R,集合 A=x|x 2, 则 CUA=_;1x12设全集 U=x|x 10， xN ，集合 P= 能被 2 或 3 整除的自然数 ，用列举法表示集合 CUP 为 。13知集合 Ax, yyx, xR ， Bx, yy 2 x, xR ，则 AB =;-综合提高 -2,1, 且 AB=1,3,x, 满足这些条件的x 的值有 ().14.集合 A=1,3,x,B=xA. 一个B.

17、两个C.三个D. 四个15.设全集为 U ，非空集P,Q 满足 PQ ，则下列集合中一定是空集的是（）(A)CU PCU Q（B）CU PQ(C)CU PQ(D) PCU Q16.设集合 Ax x1 , Bx xp ，要使 AB，则 p 应满足的条件是 （）(A)p1（ B） p 1(C)p1(D)p117.已知集合Ay yx 21 , By yx1，则 AB （）(A)0,1,2（ B） 0,1 , 1,2(C)x x1(D) R18.已知全集 U=(x,y)|x,yR ,集合 A=(x,y)|y31 ,x2集合 B=(x,y)|y-3=x-2,那么 (CUA)T =()A.B.2,3C.(

18、2,3)D.(x,y)|y-3x-219. 已知集合 A=x|x10 ,B=x|x a ，若 A B=B, 则 a 的取值范围是（）x2(A) a 1(B)a 2(C)a -2(D) a-220.已知 AB3， (CUA)(CU B)xN x9 且 x 3，CU AB4,6,8 ， AC U B1,5 ，则 A=, CUAB21.已知全集 UR ，Ax 2x 2 , Bx x1 ,Cx 0x4则ABC， (CU A)C.22已知全集 U=2， 4，1-a ， A=-1 ， CUA=2， a2-a+2, 则实数 a=23，若，求实数的值24 50 名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40

19、人，智能优秀的有31 人，两项都不优秀的有4 人问这种测验都优秀的有几人？25某班共有 27 人参加数学、 物理、化学兴趣小组， 其中参加数学兴趣小组的有21 人，参加化学兴趣小组的有10 人，参加物理兴趣小组的有17 人，同时参加数学、物理兴趣小组的有 12 人，参加数学、化学兴趣小组的有6 人，三个兴趣小组都参加的有2 人。问同时参加化学、物理兴趣小组的有几人？七 .相关链接公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品 .在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公

20、认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在 1900 年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“ 数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是 1902 年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问 R 是否属于 R？如果 R 属于 R，则 R 满足 R 的定义，因此 R 不应属于自身，即R

21、不属于 R；另一方面，如果R不属于 R，则 R不满足 R 的定义， 因此 R 应属于自身， 即 R 属于 R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地 .绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908 年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称 ZF 公理系统 .原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论 .与此相对应，在 1908 年以前由康托尔

22、创立的集合论被称为朴素集合论 .公理化集合论是对朴素集合论的严格处理 .它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机 .公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的 .因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察， 它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一 .超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数