第四章 3 岩石的蠕变[章节练习]

1、五、岩石的蠕变1、 蠕变特征 岩石蠕变的概念在应力不变的情况下，岩石变形随时间t而增长的现象。即 随时间而变化。岩石蠕变类型 有两种类型：稳定型蠕变非稳定型蠕变a、 稳定型蠕变：在恒定应力作用下，变形速率随时间递减，最终趋于零，即，变形区域稳定。一般在较小应力下或硬岩中。b、 非稳定型蠕变：岩石在恒定应力作用下，岩石变形随时间不断增长，直至破坏。一般为软弱岩石或应力较大。蠕变曲线变化特征岩石的蠕变曲线可分为三个阶段：阶段：初期蠕变。应变时间曲线向下弯曲，应变速率由大变小。属弹性变形。阶段：等速蠕变。应变时间曲线近似直线，应变随时间呈近于等速增长。出现塑性。阶段：加速蠕变。应变时间曲线向上弯曲，

2、其应变速率加快直至破坏。应指出，并非所有的蠕变都能出现等速蠕变阶段，只有蠕变过程中结构的软化和硬化达到动平衡，蠕变速率才能保持不变。在阶段，如果应力骤降到零，则t曲线具有PQR形式，曲线从P点骤变到Q点，PQ为瞬时弹性变形，而后随时间慢慢退到应变为零，这时无永久变形，材料仍保持弹性。在阶段，如果把应力骤降到零，则会出现永久变形，其中TU。不同应力下的蠕变岩石蠕变速率与应力大小有直接关系。低应力时，应变速度变化缓慢，逐渐趋于稳定。应力增大时，应变速率增大。高应力时，蠕变加速，直至破坏。应力越大，蠕变速率越大，反之愈小。岩石长期强度：指 岩石由稳定蠕变转为非稳定蠕变时的应力分界值。即，岩石在长期荷

3、载作用下经蠕变破坏的最小应力值(或)岩石极限长期强度：指长期荷载作用下岩石的强度。2、 蠕变经验公式由于岩石蠕变包括瞬时弹性变形、初始蠕变、等速蠕变和加速蠕变，则在荷载长期作用下，岩石蠕变的变形可用经验公式表示为：+瞬时变形；初始蠕变；等速蠕变；加速蠕变。对于前两个阶段，目前的经验公式主要有三种：幂函数取第一阶段：；第二阶段：，、是试验常数，其值取决于应力水平、材料特性以及温度条件。对数函数：B、D是与应力有关的常数。指数函数，或 A为试验常数，是时间t的函数伊文思（Evans）对花岗岩、砂岩和板岩的研究：，C为试验常数，n=0.4;而哈迪(Hardy)给出经验方程， ，A、C为试验常数。3、

4、蠕变理论模型(理论公式)（1）基本模型 由于岩石材料具有弹性、刚性、粘性和塑性，目前采用简单的机械模型来模拟材料的某种性状。将这些简单的机械模型进行不同的组合，就可以得到岩石的不同蠕变方程式，以模拟不同的岩石蠕变。常用的简单模型有两种：一种是弹性模型，另一种是粘性模型。 弹性模型这种模型是线弹性的，完全服从虎克定律，其应力应变为正比关系：这种模型可用刚度为G的弹簧来表示。 粘性模型或称粘性单元，这种模型完全服从牛顿粘性定律，其应力与应变速率成正比，可表示为： 粘滞系数(MPa或)这种模型称为牛顿物质，它可用充满粘性液体的圆筒形容器内的有孔活塞(称为缓冲壶)来表示。 塑性时无应变；时，产生应变(

5、塑性)。 刚体（2）组合模型由于大多数岩体都表现出瞬时变形(弹性变形)和随时间而增长的变形(粘性变形)，因此，可以说岩石是 粘-弹性的。将弹性模型和粘性模型用各种不同方式组合，就可以得到不同的蠕变模型。串联：每个单元模型担负同一总荷载，其应变率之和等于总应变率。并联：每个单元模型担负的荷载之和等于总荷载，而他们的应变率是相等的。 马克斯韦尔(Maxwell)模型这种模型用弹性模型和粘性模型串联而成。其特征是：当应力骤然施加并保持为常数时，变形以常速率不断发展。这个模型用两个G和描述，由于串联，有： （1-1）且 （1-2）则 （1-3）粘性模型 ， 弹性模型 （1-4）所以由（1-3） （1-

6、5）得微分方程： （1-6）对上式微分方程求解可得到应变时间关系式。方程的通解是： （1-7）讨论a、 对于单轴压缩，在t0时，骤然施加轴向应力()方程的解为： （1-8）初期为瞬间弹性变形，后期为粘性变形。其中， 为体积变形模量。G 刚度系数。b、 当（松弛）： 伏埃特(Voigt)模型(粘弹性固体)该模型又称凯尔文模型，它是由弹性和粘性模型并联而成。特点：当骤然应力施加时，应变速率随时间递减，在t增加到一定值时，应变趋于零。这个模型用两个常数G和描述。并联： （2-1） （2-2）又 代入（2-1）式则 （2-3）方程通解： （2-4）对于单轴压缩，t0时施加，并保持不变，则蠕变曲线为：

7、（2-5）在初期，粘性变形为主，后期弹性变形为主，反映了弹性后效现象。 广义马克斯韦尔模型该模型由伏埃特模型与粘性单元串联而成，用三个常数G，描述。特点：应变开始以指数增长，逐渐趋于常速率。设：伏埃特模型的应力应变分别为：，粘性单元为，因为 （3-1） 由伏埃特模型（2-3）式，并联模型 （3-2）而粘性模型 （3-3）， （3-4）由（3-2） （3-5）由（3-3） (3-6)（3-1）代入（3-5），（3-6），再由（3-4），有： 得 （3-7）再由 有 （3-8）对（3-5）、（3-6）式求导： （3-9） （3-10）（3-9）（3-10）代入（3-8）得到： （3-11）（3-7

8、）+（3-11）得到： （3-12）轴向应力应变关系式： （3-13） 广义伏埃特模型该模型又伏埃特模型与弹性单元串联而成。用三个常数、表示材料的性状。特点：初始有瞬时应变，随后应变以指数递减速率增长，最终应变速率趋于零。设：伏埃特模型应力应变为，弹性单元应力应变为，因为串联，应力满足 ， 由伏埃特并联模型 ，则 （4-1）又弹性模型 ， 则 （4-2） （4-3） 对于串联，其变形满足 (4-4)对时间求导 （4-5） 代入、 到（4-4） 有： （4-6）又由（4-5）和（4-3） 将其代入式（4-6）有： 最后得： （4-7）由，则通解： （4-8）轴向应力应变关系式(即在t0时，施加轴

9、向应力保持不变) （4-9）鲍格斯(Burgers)模型该模型由伏埃特模型与马克斯韦尔模型串联而成（复合粘弹性模型），用四个常数、来描述。变形特点：蠕变曲线上开始有瞬时变形，然后曲线以指数递减的速率增长，最后趋于不变速率增长。设:伏埃特并联模型的应力应变为：，马克斯韦尔串联模型的应力应变为：，由于两个模型为串联，总应变满足 (5-1) 应力满足 （5-2）由伏埃特的并联模型 有 （5-3） 由马克斯韦尔的串联模型 （5-4）由（5-1） 再求导 （5-5） （5-6）由（5-3），对时间求导， （5-7） 由（5-4），对时间求导 （5-8）（5-8）代入（5-6）有： （5-9）（5-4）代

10、入（5-5）有： （5-10）（5-9）、（5-10）代入（5-7）： （5-11）由于，则利用已求得的伏埃特和马克斯韦尔得轴向应变解，可得鲍格斯的轴向应变关系为： （5-12）4、粘弹性常数和G的测定（1）室内测定从鲍格斯模型的公式中知，待求参数为：K、G1、G2、。根据岩石长期单轴压缩试验，可得到曲线。如果该曲线满足鲍格斯方程：讨论：a) 体积模量假设与时间无关，根据测定的轴向应变和侧向应变来计算。因为 所以，对于分级荷载取b) 当t0时，曲线在纵轴上的截距为瞬时弹性应变，它等于这部分应变与马克斯韦尔模型中的弹性单元有关。由可求得。c) 当t很大时，曲线近于直线，其直线段的方程为： 该直线在纵轴的截距(t0)可求得 由该式可求得。该直线的斜率为，由此可求得。d) 求：取： ，其中 直线段(渐近线)；曲线。则 在半对数坐标中，qt为直线，其斜率，截距，从而可求得, 同时又可得到。从试验结果看，当应力很小时，和、都很大，当应力增大时，这些值在变小。而和K几