(新课标)高考数学大一轮复习第八章平面解析几何58抛物线课时作业理

1、课时作业 58抛物线一、选择题1(2016 河北唐山一模 ) 已知抛物线的焦点(， 0)(0) 的焦点是双曲线x2 y2 1 的一个焦点，则p的值为px p5p7p()A 4B 6C 8D 12pc122p122pp2p解析： 抛物线的焦点为，0，双曲线的半焦距为，4，2 12( 负值舍去 ) ，故选 D. 答案： D4抛物线 y2 2px 的焦点为 F， M为抛物线上一点，若 OFM的外接圆与抛物线的准线相切 ( O为坐标原点 ) ，且外接圆的面积为9，则 p ()A 2B 4C 6D 8解析： OFM的外接圆与抛线物C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距1 / 8离等于圆的半径，圆面

2、积为9，圆的半径为3，又圆心在OF 的垂直平分线上，pp p| OF| 2， 2 4 3， p 4，故选 B.答案： B5(2016 山西质检 ) 已知 F 为抛物线 C： y2 4x 的焦点，点E 在 C 的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q1，3，与C交于点，则点P的坐2P标为()A(1， 2)B(2 ，2 )2C(3， 2 3)D(4 ，4)解析： 由题意，得抛物线的准线方程为x 1， (1 ，0)设( 1，y) ，因为PQ为FE33 2EF 的垂直平分线，所以| EQ| | FQ| ，即 y 2（ 11）2 2 ，解得 y 4，所以40131kEF 1 1 2

3、， kPQ 2，所以直线PQ 的方程为y22( x 1) ，即 x 2y 4 0.由x 2y4 0，x4，y24x，解得即点 P的坐标为 (4 ， 4) ，故选 D.y4，答案： D6已知抛物线 y2 2px( p0) ，过其焦点且斜率为 1的直线交抛物线于A，B 两点，若线段 AB的中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为()A x1B x2C x 1D x 2解析： 由题意可设直线方程为yxp，设A( x，y )，B( x2 ，y )，联立方程1122py x2，消参得4x2 12px p2 0， x1 x2 3p. 线段 AB 的中点的横坐标为3，y22px，3p 2 3， p 2，抛

4、物线的准线方程为x 1.答案： C二、填空题7若抛物线 y2 2px( p0) 的准线经过双曲线 x2 y2 1 的左顶点，则p _p22解析： 由题意知抛物线的准线为x 2，双曲线 x y1 的左顶点为 ( 1，0) ，所p以 2 1， p 2.2 / 8答案： 28(2016 河南洛阳一模 ) 已知 1，2 分别是双曲线3 2y2 3a2(a0) 的左、右焦点，FFxP2 8ax 与双曲线的一个交点，若12 12，则抛物线的准线方程为是抛物线 y|PF| PF|_x2y2解析： 将双曲线方程化为标准方程，得a2 3a2 1，其焦点坐标为 ( 2 a， 0) ，x2y2(2a， 0) 与抛物

5、线的焦点重合，联合抛物线与双曲线方程得a23a21，3a? x，而由y28ax|PF1| |PF2| 12，|PF1| |PF2| 2a22 a，得 a 1，抛物线的方程为2 8x，其准? | PF| 6 a， |PF| 3a 2a 6y线方程为 x 2.答案： x 29已知抛物线 y22px( p0) 的焦点为 F，准线为 l ， P 为抛线物上一点，PA l ，垂足为 A. 如果 APF是边长为4 的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为_ ，点 P 的横坐标 xP _y20解析： 如图所示，设P 2p， y0 ，y20 p则 | PA| 2p 2 4，又在 Rt 中， 60 ，故 tan |A

6、M| |y0| ，AMFAFMFAPAFM |MF|p3联立 得 2，|0| 2，py3y20故焦点坐标为 (1 ， 0) ，点 P 的横坐标为 x 3.2p答案： (1 ， 0)3三、解答题10 设抛物线C： y2 2px( p0) 的焦点为F，准线为 l ， MC，以 M 为圆心的圆M与 l相切于点，Q的纵坐标为3p， (5，0) 是圆与x轴的不同于F的一个交点QEM(1)求抛物线 C与圆 M的方程；4(2) 过 F 且斜率为 3的直线 n 与 C交于 A，B 两点 ，求 ABQ的面积3 / 8解：(1)由抛物线的定义知，圆MF2经过焦点p，0 ，Qp， 3p，点的纵坐标为，又 ，2M3p

7、M C3p则 M 2 ， 3p ， | MF| 2p.由题意，是线段EF的垂直平分线上的点，Mp所以3p2 522，解得 p 2，故抛物线：2 4x，圆 ：(x3)2 (y 23) 2 16.C yM4(2) 由题意知直线 n 的方程为 y3( x 1) ，y2 4x，x4，x1，由4解得或4y3（x 1），y4y 1.设 A(4，4)，B1AB| 25，1 ，则|4.4点( 1，23) 到直线n：4 3y8634 0 的距离 ，Qxd5120153所以 ABQ的面积 S 2| AB| d4.11 (2016 辽宁大连双基 ) 已知过点 (2 ，0) 的直线 l 1交抛物线 C： y2 2px

8、( p0) 于 A，B 两点，直线 l 2： x 2 交 x 轴于点 Q.(1) 设直线 QA， QB的斜率分别为 k1， k2，求 k1 k2 的值；(2) 点 P 为抛物线 C 上异于 A， B 的任意一点 ，直线 PA， PB 交直线 l 2 于 M， N 两点 ，OM ON 2，求抛物线 C的方程解： (1)设直线 l的方程为 xmy 2，点 A( x ， y ) ， B( x， y) 11122xmy2，得 y2 2pmy 4p 0， y1 y2 2pm， y1 y2 4p.联立方程y22px，k1 k2y1y2y1y2x12 x22my14my242my1y24（ y1y2）8mp

9、 8mp 0.（my14）（ my24）（my14）（ my24）(2)设点 (0，y0)，直线：y1 y1y0(xx1)，当x 2时 ，yx1x0P xPA yM4py1y0 4py2y0y1y0，同理 yN.y2y04 / 8因为 OM ON 2，4py2y04py1y0所以 4 yNyM 2，y2y0y1y0 2，2y1y2y0） y1 y2（ 4py0p216 2，20y） 1y2y（ 0y 1y2y24py08p2my016p2 2，20y 0pmy2 p412p ，抛物线 C的方程为 y x.1(2015 浙江卷 ) 如图，设抛物线 y2 4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三

10、个不同的点 A， B， C，其中点A， B 在抛物线上，点C 在 y 轴上，则 BCF与 ACF的面积之比为 ()|BF| 1|BF|2 1A. |AF| 1B. |AF|2 1|BF|2 1|BF| 1D.|AF|2 1C. |AF| 1p解析： 由题可得SBCF|BC|xB|BF| 2|BF| 1.|AC|p|AF| 1SACFxA|AF| 2答案： A22(2015 福建卷 ) 已知点 F 为抛物线E： y 2px( p0) 的焦点 ，点 A(2 ， m) 在抛物线 E(1) 求抛物线E的方程；(2) 已知点G( 1， 0) ，延长 AF交抛物线E 于点 B，证明：以点F 为圆心且与直线

11、GA相切的圆，必与直线GB相切5 / 8p解： 解法 1： (1) 由抛物线的定义得| AF| 22.p因为 | AF| 3，即 2 2 3，解得 p 2，2所以抛物线E 的方程为 y 4x.(2) 因为点 A(2 ， m) 在抛物线 E：y2 4x 上，所以 m 2 2，由抛物线的对称性 ，不妨设 A(2 ， 2 2) 由 A(2 ， 2 2) ， F(1 ， 0) 可得直线 AF的方程为 y 2 2( x 1) 由 y2 2（x1）， 得 2x2 5x 2 0，y24x11解得 x 2 或 x 2，从而 B 2， 2 .又 (1，0) ，GGA2 2022所以 k2（ 1）3，kGB 20

12、2213，2（ 1）所以 kGA kGB 0，从而 AGF BGF，这表明点 F 到直线 GA， GB的距离相等，故以 F 为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切解法 2： (1) 同解法 1.(2) 设以点 F 为圆心且与直线 GA相切的圆的半径为 r . 因为点 A(2 ， m) 在抛物线 E：y2 4x 上，所以 m 2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2 ， 22) 由 A(2 ， 2 2) ， F(1 ， 0) 可得直线 AF的方程为 y 2 2( x 1) 由 y2 2（x1）， 得 2x2 5x 2 0，y24x11解得 x 2 或 x 2，从而 B 2， 2 .又 G(

13、1， 0) ，故直线 GA的方程为 22x 3y 22 0，|2 22 2|4 2从而 r 89.17又直线的方程为 22x 3y 22 0，GB6 / 8|2 22 2|42所以点 F 到直线 GB的距离 d r .8917这表明以点 F 为圆心且与直线 GA相切的圆必与直线GB相切3已知抛物线 E： y2 2px( p0) 的准线与 x 轴交于点 M，过点 M作圆 C： ( x 2) 2 y2421 的两条切线 ，切点为 A，B， | AB| 3 .(1) 求抛物线E的方程；(2) 过抛物线 E 上的点 N作圆 C 的两条切线，切点分别为 P， Q，若 P， Q， O( O为原点 )三点共线，求点 N的坐标p解： (1) 由已知得M 2，0 ，C(2 ， 0) 2 2如图 ，设 AB与 x 轴交于点 R，由圆的对称性可知， | AR| 3 .1于是 | CR| |AC|2 |AR|2 3.|MC|AC|由 AMC RAC得 |AC| |RC|，p | MC| 3，即 2 23， p 2.故抛物线 E 的方程为 y2 4x.(2) 如图，设N( s， t ) P， Q 是 NC 为直径的圆D