求极限的几种常用方法

1、求极限的计算方法总结（转） 极限定义、运算迭则和一s果 1.定义：（各种类型的极限的严格走义参见高等数学函授教材，遠里不一一叙述）。d 说明：（1）些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的d 极限严格定义证明，例如；lim= 0（吸为常数且lim（3x-l）=5 Qyixt2 O当I曲时.等爭 不存在，当Mini时寺寺 在后面求极限时，中提到的简单极限作为已知结果直接运用丿而不需 再用极限严格定义证明。4 2 扱限运算法则 翹1已知lim /（X）； lim g（x）都存也极限值分别为禺叭则下面极限都存S, 且有 lim fMSM = A (2) lim /(x)g(x)

2、 = A 曲駕嗒（此时需成立” 说明：极限号下面的极限过程杲一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时, 不能用。a 3两个重要扱限 sinx lim xtO x (2) lim(l十 = e ； xtO liin(l + )x =e x A 说明不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的娈形形式， 4.等价无穷卜 走理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷、(即扱限是0)。 定湮3当xtO时，下列函数都是无穷小即极限是0，且相互爹价，印有： Xsin x-* tan xarcsin xarctanxln( 1 + x)ex - 1 2 说明：当上面毎个函数中的自变量工换成g(Q

3、时(g(X)TO),仍有上面的等价F 关系成立，例如当兀to时，e3 -13x , ln(l-2)一 V卄 走理4如果函数/(“ = lim厶* $ * gMg Mg(x) g (x) 说明：尼里5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有F不 満足洛比达法则就不能应用。特别震注意条件 是否满足一,即验证所求极限 0丁 是否为“-”型或“ 一 ”型；条件(2) 一般都満足，而条件(3)则在求导兗毕 0g 后可以、知1是否満足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前部需要注 意条件。2 b连续性卍 走理6 切连缤函数在其罡义去间内的点处都连续，即如果心是函数/XQ的定义去

4、间 內的一点，贝imiim/(x)=/(x0) Q 心 7-扳限存在准赃 定理7 (准则1)单调有界数列必有极限。 定理8 (准则2)已知入 ,儿 , .为三个数列，且满足：“ 儿“比=1,2,3人)心 (2) lim儿=5 lmzn =a 风 TOO2TOO 则极限兀一定存在，且极限值也是a ,即lim耳=a 总T8 二、求根限方法举例 L用初等方法竟融昏 再利用5限运算潮怵丽R 逹二本題也可朗瀏滋淘東 例 2 lfm /w（Vw*2 - Vn-1） 2-利用函毅他抽（定理6求极限 例lim x2ex ht i 躬；因為心2是M /（X）= .U 的一个连续点, 1 所以原式0 囂利用两个重

5、爰极眼求极眼 记 2血亡 注：本题也可眈劇個坝h 例0当ttO时jjrsmi是无穷小八tan(x2 sinl)x25inl等价. XXX 11 x stn 所以，原式=血=如*希一 =0。（最后一步用到定理2） 7 JC Z X 6利用洛比逊则求极眼 说團：当所求梆肿的函数比较亘杂时也可能用到前面的重要极眼、等价无穷小代 换铮方法。同时，洛比达法则还可以彥绫便用。 1-CO 不存在，而原来极限却是存柱的。正确做法如N 2 sin x 1 _ 原式二肌卡7 （分子分母同时除以 XFCl3 A 3斗 x =| （利用定理L和定理J ?-利用极阻存在准则求懈 例20 己知孔=75 =兀円=+= （w = 1:2:A）,求 lim 乙 n o 館：易证：數列区单调豳且有畀俠心切，由准则】极限密耳存在, 2-O0 设lim兀=对已知的递推公武X林二J2 +耳 两边求极限得: d二解得：a = 2或a = 1 （不合题意，舍去） 所以1血耳=2。 n-oo 毗呻怯r#zrA 解; 易见; 所以由准则2得: B Hm （.十，丿-A 十=）=1 f J沪+1 朋+2J宀总 上面对求极限的當用方法逬行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方