word完整版圆锥曲线题型的解题技巧总结推荐文档

1、圆锥曲线一概念、方法、题型、及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：FiF2，（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点 F1 , F2的距离 的和等于常数2a，且此常数2a 一定要大于|F1F2，当常数等于|F1F2时，轨迹是线段 当常数小于|F1F2|时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1, F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a IF1F2I，则P的轨迹中是椭圆10PFiPF2PF2（答：双曲线的左丄?）方程y2 J（x 6）2y2 8表示的曲线是 支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点

2、距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。2，则y+|PQ|的最小值是如已知点Q（2j2,0）及抛物线y 上一动点P（ x,y）4（答: 2）坐标轴为对称轴时的标2.圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点, 准位置的方程）：2（1）椭圆：焦点在X轴上时a2其中为参数），焦点在y轴上时每a2与 1 (a b b22X,=1 ( a b b20 )。圆的充要条件是什么？（已知方程ABC丰0,且A , B , C同号，2X3 k1表示椭圆，y acos （参数方程，方

3、程Ax2 By2 C表示椭则k的取值范围为1(3, 2)U(2)1,2)；X, y R,(答:且3x22y26，则X y的最大值是2y的最小值是(2)双曲线：焦点在X轴上：2X2a2 =1 ,焦点在y轴上：b22aX27 =1（a 0,bB异号）。0 ）。方程Ax By C表示双曲线的充要条件是什么？ （ ABC工0,且A ,如（1）双曲线的离心率等于 色，且与椭圆92M 1有公共焦点，则该双曲线的方42（答：y2 1）；4（2）设中心在坐标原点过点P（4,訶0），贝y C的方程为0 ,焦点F1、 （答:F2在坐标轴上，离心率 e Q2的双曲线 C22C 、x y 6）20），开口向左时y 2

4、px（ p 0），开口2 py（p 0）。（3）抛物线：开口向右时y2 2px（ p向上时x 2py（ p 0），开口向下时x3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）（1）椭圆：由x 2,2如已知方程一m 1!）双曲线：由x 2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。21表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答2 m（，1）（2）（3）特别提醒:（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆

5、、双曲线标准方程的类型，而方程中的两 个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；. 2线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a2 2 2c最大，c a b。4.圆锥曲线的几何性质：2x2a（1）椭圆（以b 0 ）为例）：范围：焦点：两个焦点（c,0）:对称性：两条对称轴x0,y0，b2四个顶点（a,0）,（0,b），其中长轴长为2a，短轴长为离心率：e -a椭圆在求解抛物2c，在双曲线中,x a, b一个对称中心（2b ；准线：两条准线xe越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。0,0），2ay2（10251的离心率e，则m的值是_ （答：3或）；m531

6、时，则椭圆长2x_5（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 轴的最小值为_ （答：2运）41（ a 0,b0）为例）：范围：xb2如（1）若椭圆（2）双曲线（以a2a 或 x a, y R ；焦点：两个焦点（c,0）:对称性：两条对称轴x 0, y 0, 个对称中心（0,0），两个顶点（a,0），其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k,k 0 ;准线：两条准线x离c心率：e c，双曲线 ea等轴双曲线e 近,e越小，开口越小，e越大,开口越大； 两条渐近线：y如(1 )双曲线的渐近线方程是3x 2y 0,则

7、该双曲线的离心率等于(答：空2或亟)；3(2)双曲线ax2 by21的离心率为 爲，则a:b =(答：4或-)；42(3)设双曲线笃a1 (a0,b0)中，离心率e J2 ,2,则两条渐近线夹角B的取值范围是(3)抛物线(以y2,)；3 22px(p 0)为例)：范围：x 0, y R :焦点:(答:一个隹占I 八、八、对称性：一条对称轴0,没有(-P 0)，其中P的几何意义是：焦点到准线的距离；2，对称中心，只有一个顶点(0,0)；准线：一条准线x2 ；离心率:-，抛物a如设a 0,a R，则抛物线2y 4ax的焦点坐标为(答:(0,16a1)；5、点2xP(x0,y0)和椭圆飞a2L( a

8、的关系：(1)点P(xo, yo)在椭圆2 X02 a2 X02 a2X02 a2与1 ； (2)点P(X0,y0)在椭圆上 b2血1b212号=1； (3)点P(X0, y。)在椭圆b直线与双曲线相交，但直线与双6 .直线与圆锥曲线的位置关系：(1)相交：0直线与椭圆相交；曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。女0( 1)若直线y=kx

9、+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，贝Uk的取值范围（答：（-1）;X2（2）直线y kx 1=0与椭圆一52y1恒有公共点，则 m的取值范围是m（答：1，5）U（ 5，+8）;2 2（3）过双曲线y1条（答：0这样的直线有（2）相切： 线与抛物线相切；（3）相离： 线与抛物线相离。特别提醒：（1）1的右焦点直线交双曲线于23 ）；直线与椭圆相切；直线与椭圆相离;A、B 两点，若 |AB|= 4,直线与双曲线相切;直线与双曲线相离;直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果2 2 直

10、线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过双曲线 笃 爲=1a2 b2 外一点P（x。，y。）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称 轴的直线。（答:如（1）过点（

11、2,4）作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有2x2） ;（2）过点（0,2）与双曲线 94 朋3，2仏1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为16（答:（3）过双曲线满足条件的直线I有）;32 1的右焦点作直线I交双曲线于A、B两点，若AB 4,则2 _条（答：3）;（4）对于抛物线 C: y2 4x，我们称满足y02部，若点M（x0,y0）在抛物线的内部，则直线l : yoy 2（x （答：相离）；y2 4x的焦点F作一直线交抛物线于则1P2x16（5）过抛物线的长分别是P、q，（6）设双曲线q2y9（答: 1）；4x0的点M（X0,y0）在抛物线的内X0）与抛物线C的位

12、置关系是P、Q两点，若线段 PF与FQ1的右焦点为F，右准线为I，设某直线 m交其左支、右（填大于、小于支和右准线分别于 P,Q,R，则 PFR和 QFR的大小关系为 或等于）（答：等于）；（7） 求椭圆7x2 4y2 28上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离（答： 匡）；13（8） 直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分 别在双曲线的两支上？当a为何值时，以 AB为直径的圆过坐标原点？（答：賦运:a 1 ）；7、焦半径（圆锥曲线上的点 P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二 定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 r ed，其中d表示P到

13、与F所对应的准线的 距离。2如（1）已知椭圆0.25（答：35）；3（2）已知抛物线方程为线的焦点的距离等于；（3）若该抛物线上的点7,（2, 4）；距离为2（4）点P在椭圆25P的横坐标为（答:2L 1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的16y2 8x，若抛物线上一点到 y轴的距离等于 5,则它到抛物M到焦点的距离是4，则点 M的坐标为（答:2仝 1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点9百）；12（5）抛物线y2的距离为 （答:X2（6）椭圆2x上的两点A、B到焦点的距离和是 5,则线段AB的中点到y轴2 ）；2 仝 1内有一点P（1, 1） , F为右焦点，在椭圆上

14、有一点M，使432恵（答：（，1）；&焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 P（Xby0）到两焦点F1, F2的距离X2分别为r1,r2 ,焦点 F1PF2的面积为S ,则在椭圆二aMP 2MF之值最小，则点 M的坐标为2与 1中，=b2b2arccos 1），且当r, r2即P为短轴端点时,最大为.2 2b cmax = arccos 2a2线X-2ab2 tan c| y01，当| y0 | b即P为短轴端点时, 22 2 与 1的焦点三角形有： arccos 1 -b- b吋2Smax的最大值为be；对于

15、双曲1 2: S 一 riRsin b cot-。2 2如 (1)短轴长为(弓，离心率e 2的椭圆的两焦点为 F1、F2，过F1作直线交椭圆于3A、B两点，贝y ABF2的周长为 (答: 6);(2)设P是等轴双曲线X2 y2 a2(a 0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若 (答：X2PF2 F1F2 0 , |PF1|=6,则该双曲线的方程为2 2(3)椭圆1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当94y2 4）；Pf2 PF1 0 时,点p的横坐标的取值范围是仆35 35(答：(亍);(4)双曲线的虚轴长为 4,与双曲线的左支交于 A、B两点,(答: 8 罷);(5)已知双曲线的离心

16、率为6离心率e=, F1、F2是它的左右焦点，若过 F1的直线2AB 是 |af2 与 |BF2等差中项，则AB =2 , Fl、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且2 20 L 1);4129、 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ：(1)以过焦点的弦为直径的圆和 准线相切；(2)设AB为焦点弦，M为准线与X轴的交点，则/ AMF=/ BMF ( 3)设 为焦点弦，A B在准线上的射影分别为 A1 , B1，若P为A1 B1的中点，贝y PA1PB; (4) AO的延长线交准线于 C,则BC平行于X轴，反之，若过B点平行于X轴的直线交准线于 点，贝U A, O, C三点共线。10、弦长

17、公式F1PF260 , S PFf212忑求该双曲线的标准方程(答:AB若CB的横坐标,:若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点ABk2 X,X2 ,若y1, y2分别为A、B，且Xi,X2分别为A、 的纵坐标，贝y |aB =V1訓特别地，焦点弦(过焦点的弦)焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。y2，若弦AB所在直线方程设为X ky b，则 AB =k2 y, y2|。:焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算，而是将如(1)过抛物线y2=4X的焦点作直线交抛物线于X1 +x2=6，那么 |AB| 等于 (答：8);(2)过抛物线y2 2x焦点的直线交抛物线于原点，则 ABC重心

18、的横坐标为 (答：3);A（X1，yi）, BA、B两点，已知11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或2X在椭圆盲a2 y- 1 b212鶴 1中，以P(X0,y0)为中点的弦所在直线的斜率b(X2, y2)两点，若|AB|=10，O为坐标2X2a中，以P(X0,y0)为中点的弦所在直线的斜率“点差法”k= 2;在双曲线 a y。b2 X0 ;在抛物线求解。k=2a y。2pX(p 0)中，以P(X0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=y。x2如(1 )如果椭圆36(答: x 2y 80 )；21弦被点A ( 4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是9(2)已知直线2xy

19、= x+1与椭圆a2吕1(abb 0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线 L:x-2y=0上，则此椭圆的离心率为(答：亚);2(3)试确定的取值范围，使得椭圆1上有不同的两点关于直线y 4x m对称(答:特别提醒:因为2皿 2413、,);13130是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0 !12.你了解下列结论吗？2与1的渐近线方程为(1)2 双曲线乞2 a(2)以y-X为渐近线(即与双曲线a2 x2 a2 x2a2丄b22 y b21共渐近线)的双曲线方程为2x2 a2 y b2(为参数,丰0)。2如与双曲线92乞1)42J 1有共同的渐近

20、线，且过点16(32j3)的双曲线方程为4x2(答: 49(3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 .ny 1;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为2mx堂，焦准距(焦点到ab2相应准线的距离)为 ，抛物线的通径为2p，焦准距为P ; c通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦；若抛物线y22 px( P(5)(6) | AB|x1x2p : x1x2若OA OB是过抛物线恒经过定点(2p,0)13.动点轨迹方程：(1) 求轨迹方程的步骤：建系、(2) 求轨迹方程的常用方法：(7)0)的焦点弦为 AB A(X1, yj, B(X2, y2)，则2P42y2p

21、 x(p设点、列式、0)顶点0的两条互相垂直的弦，则直线AB化简、确定点的范围;直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y) 0 ；如已知动点P到定点F(1,O)和直线X 3的距离之和等于 4,求P的轨迹方程.(答：212(x 4)(3 X 4)或 y 4x(0 x 3); 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方 再由条件确定其待定系数。如线段AB过X轴正半轴上一点 M (m, 0) (m 0)，端点A、B到x轴距离之积为 2m,以X轴为对称轴，过 A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 2(答：y 2x)； 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已

22、知曲线， 点的轨迹方程；2 2女如(1)由动点P向圆X y1作两条切线动点P的轨迹方程为 (答：(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线I：是 (答：y216x)；(3) 一动圆与两圆O M： X2 y2 1和O N： 心的轨迹为 (答：双曲线的一支)； 代入转移法：动点P(x, y)依赖于另一动点 又在某已知曲线上，则可先用 X, y的代数式表示 的轨迹方程；2如动点P是抛物线y 2x 1上任一点，定点为 A(0, 1),点M分PA所成的比为2, 则M的轨迹方程为 (答：y 6x2 1 )；3 参数法：当动点P(X, y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时， 可考虑将X, y

23、均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。女0( 1) AB是圆O的直径，且|AB|=2 a, M为圆上一动点，作 MNLAB,垂足为 N,在OM 上取点P，使|OP| |MN |,若点P(X| ,y1)在圆1 2x 1(|x| 3)过抛物线X2 4y的焦点F作直线I交抛物线于 A B两点，则弦AB的中点M的 (答: X2 2y 2 )；程,(2)(答：y2再由曲线的定义直接写出动PA PB,2XX 5X2切点分别为A B,/ APB=6C)，则4 )；2yO的距离小于1,则点M的轨迹方程y2 8x 12 O都外切，则动圆圆Q(x0, yo)的变化而变化，并且Q(X0,y

24、o)Xo, yo，再将Xo,yo代入已知曲线得要求求点P的轨迹。(答：X2 y2 a | y |)；2 2X y 1上运动，则点Q(Xiyi,Xi yj的轨迹方程是(3)轨迹方程是 (答：X2注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择 向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或 脱靴子”转化。如已知椭圆2 X 2 a2每 1(a b O)的左、右焦点分别是F1b2(C, 0), Q是椭圆外的动点，满足|FiQ| 2a.点(-C, o)、F2P线段 F1Q 竺椭圆的交点，点 T在线段F2Q上，并且满足 PT TF20,1花| 0.

25、 ( 1 )设X为点P的横坐标，证明c(3)试问：在点T的轨迹C上，是否存F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由b2a时不存在；当 一 a时存在，此时/c| FjP | a -x ； (2)求点T的轨迹C的方程;a在点皿，使 F1MF2的面积S=b2.若存在，求/b2(答: (1)略；(2) X2 y2 a2 ； (3)当cF1MF2= 2) 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 . 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合 (如角平分线的双重身份一一对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等 如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点 ”，那么可选择应用“斜率或向量” 为桥梁转化.给出直线的方向向量 U 1