人教版九年级数学上册旋转几何综合单元测试卷附答案

1、人教版九年级数学上册旋转几何综合单元测试卷附答案一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1. 如图 1,在 RtABC 中，Z4 = 90 , AB=ACt 点 D, 分别在边 &B, &C 上，AD=AE.连接DC,点/V7, P, A/分别为DE, DC, BC的中点（1）观察猜想：图1中，线段PM与P/V的数量关系是_,位置关系是_:（2）探究证明：把ADE绕点&逆时针方向旋转到图2的位宜，连接M/V, BD, CE,判断 PMN的形状，并说明理由：（3）拓展延伸：把ADE绕点&在平而内自由旋转，若40=4, AB = 10，请直接写岀 PMN而积的最大值.【答案】 d PM=PN, PM丄P

2、N： （2） APMN是等腰直角三角形.理由见解析；（3）_49SbPMN 虽大=2【解析】【分析】（1）由已知易得BD = CE,利用三角形的中位线得岀PM=-CE. PN=-BD,即可2 2得出数疑关系，再利用三角形的中位线得出PM/CE得出ZDPM=ZDC4,最后用互 余即可得出位巻关系：（2）先判断出AABD = MCE,得出BD = CE,同（1）的方法得出2PN = -BD9即可得出PM = PN,同（1）的方法由2ZMPN = ZDCE + ZDCB + ZDBC = ZACB + ZABC .即可得出结论：（3）方法1：先判断出MN最大时，的而积最大，进而求出AN, AM，即可

3、得 出MN最大= AM + AN,最后用而积公式即可得出结论.方法2：先判断出BD最大 时，APMN的面积最大,而BD最大是AB + AD = 4即可得出结论.【详解】解：（2）点P, N是BC, CD的中点，.PNIIBD、PN =、BD、2点P，M是CD，DE的中点，:PM I ICE y PM =CE ,2vAB = AC AD = AE:.BD = CE,/. PM = PN,-PN/BD,:.ZDPN = ZADC,M/CE,ZDPM = ZDCA ,.Z4C = 90。，ZADC + ZACD = 90,ZA/PN = ZDPM + ZDPN = ZDC4 + ZADC = 90。

4、，. .PM 丄PN,故答案为：PM = PN、PM IPN ；（2） APMN是等腰直角三角形.由旋转知，ABAD = ZCAE,-AB = AC, AD = AE：.ABD = ACESAS） t:.ZABD = ZACE, BD = CE,利用三角形的中位线得，PN =、BD, PM=-CE,2 2:.PM = PN,:.AP/WV是等腰三角形，同（1）的方法得，PA/CE,/. ADPM = ZDCE,同（i）的方法得，PN/BD.:.ZPNC = ADBC,ZDPN = ZDCB + ZPNC = ADCB + ADBC ,/. ZMPN = ZDPM + ZDPN = ZDCE+乙

5、 DCB + ZDBC=ZBCE+ADBC = ZACB + ZACE+ZDBC= ZACB+ZABD+ZDBC = ZACB+ZABC,.SAC = 90。，:.ZACB + ZABC = 90,.ZMPN = 90。，APW是等腰直角三角形：(3)方法1：如图2,同(2)的方法得，APMN是等腰直角三角形,EMN最大时，APMN的面积最大，DE 11BC且DE在顶点A上而，:.MN 最大=AM + AN ,连接AM，AN,在AADE中，AD = AE = 4 ZZME = 90./. AM = 22，在RtAABC中，AB = 4C = 10, AN = 5近:.MN., =2“ + 5Q

6、 = 7“，-Sz、=2=lxW=lx(7 =譽方法2：由(2)知，APMN是等腰直角三角形，PM = PN = -BD,2.PM最大时，APMN而积最大，二点D在34的延长线上，.-.BD = AB+AD = 14t.PM =7,【点睛此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线左理，等腰直角三角形的判左和性 质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用：解（1的关键是判断出PNBD,解的关键是判断出沁3CE,解的关键是判断出MN最大时，APMN的而积最大.2. 在 RtAACB 和 Rt/kAEF 中，ZACB= ZAEF=90 若点 P 是 BF 的中点，连接 PC, PE

7、.如图1,若点E, F分别落在边AB. AC上，求证：PC = PE：(2) 如图2,把图1中的AAEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探 索PC与PE的数量关系，并说明理由.如图3,耙图2中的AAEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上.其他条件不变， 问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明：如果变化，请说明理由.【答案】(2)见解析：(2) PC=PE，理由见解析：(3)成立，理由见解析【解析】【分析】(1) 利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可：(2) 先判断 CBPAHPF,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；(3) 先判断AdafAeaf

8、,再判断 DAPAEAP,然后用比例式即可；【详解】解：(1)证明：如图： Z ACB = Z AEF=90, FCB和厶BEF都为直角三角形. 点P是BF的中点,11/. CP= BF, EP= BF,22PC=PE(2) PC=PE理由如下:如图2,延长CP, EF交于点H, Z ACB = Z AEF=90, EH/CB, Z CBP = Z PFH, ZH = ZBCP,点P是BF的中点， PF=PB, A CBP旻 HFP(AAS), PC=PH, Z AEF = 90, , 1在 RtA CEH 中，EP= CH,2 PC=PE.(3) (2)中的结论，仍然成立，即PC=PE,理由

9、如下：如图3,过点F作FD丄AC于点D,过点P作PM丄AC于点连接PD, Z DAF = Z EAF, Z FDA=Z FEA=90,ZDAF=ZEAF,在厶 DAF 和厶 EAF 中， ZFDA = ZFEA、AF = AF, DAF竺 a EAF(AAS), AD=AE,AD = AEy在厶 DAP竺 EAP 中，ZDAP = ZEAP、AP = AP. A DAP竺 A EAP(SAS), PD = PF,FD丄AC, BC丄AC, PM丄AC, FD/BC/PM,.DM _ FP.点P是BF的中点， DM = MC,又PM丄AC, PC=PD,又 VPD=PE, PC=PE.【点睛】此

10、题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的 性质和判定，相似三角形的性质和判左，作出辅助线是解本题的关键也是难点.3.小明研究了这样一道几何题：如图1,在AMC中，把加点A顺时针旋转a (0aAC+ZBC=180o ZBzC=180 - ZBAC=180 - 60=120.ZBz=ZC=301 , 1:.AD=-AB,= -BC2 2故答案：2 J ZBABZCAC=180QZB&C+ZBS(F80T ZBAC=90ZBSC 二 ZB&C=90AB = AB在和BM中， ABAC = ZBAC= 90AC = ACn:.ABACABCiSAS):.BC=BfC

11、9：BfD=DC:.AD=-BfC=-BC=42 2故答案：4(2)AD与BC的数量关系：AD= - BC：理由如下：2延长AD到M,使得AD=DM9连接FM、CM9如图1所示:BQ二DC, AD=DM.四边形是平行四边形，ZBM+ZABM二 180, ACMAC,ZB&34ZC4CM80。，ZB&C+ZBSC=180。，:.ZBAC=ZAB,M.AC = BM在BAC 和中.ZBAC = ZABM ,AB = ABlB&C 竺&B7V7(S&S),:.BC=AM,1:.AD=-BC2(3)存在；作BE丄AD于E,作线段BC的垂直平分线交3E于P,即为点P的位置：理由如 下：延长AD交8C的延

12、长线于M.线段BC的垂直平分线交BC于F,连接、PD、PC,作PDC的中线PQ,连接M交PC于O,如图4所示：J ZA+ZB二 120, ZDC=150, ZMDC=30在 RtA DC/V?中，VCD=6, ZDC/Vf=90% ZMDC二30, CM=2 y/3 t DM=4 y/3 , Z M二90 - ZMDC=60,在 RtA8M 中，J Z8M=90% BM=BC+CM=12 *+2卫二4*, ZM3E二90 - ZM二30, :.EM=BM=7y3 ,:.DE二EM DM=7 石-4 后3 屈: DA=6 氐:.AE=DE,9： BE LAD,二 PD,TPF是线段BC的垂直平分

13、线,在 RtZk CDF 中，TCD二6PB 二 PC, PF/CD,CD 6Z CDF二 60。， Z MDF= ZMDC Z CDF=30o+60o=90, ZADF90Q=ZAEB.:ZCBE 二 ZCFD、T ZCBE二ZPCF,ZCFD=ZPCF=30,V ZCFD+ZCDF=90f ZPCF+ZCPF=90,:.ZCPF=ZCDF=60ZCPF = ZCDF在CP 和FD 中， DN=-CD=39 PQ二 yjDQ2 + DP2 =期+(6州二 3 VH 本题考查了三角形的边旋转的问题，旋转前后边长不变根据已知角度变化，求得线段之 间关系在证明某点知否存在时，先假设这点存在，能求出

14、相关线段或坐标，即证实存在性.4两块等腰直角三角形纸片和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点0处,AB = 25, CD = 17 .保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点0逆时针旋转 a(0 tz90 )角度，如图2所示.(1)利用图2证明AC = BD且AC丄【答案】详见解析：7,令【解析】【分析】(i) 图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明 AOC泛BOD,得岀ac=bd f 延长BD交AC于E,证明ZAEB=90% 从而得到BD丄ACAC(2)如图3中，设AC=x,在RtA ABC中，利用勾股定理求出x,再根据sina=sinZ ABC=AB 即可解决问题【详解】(1)证明：如图2

15、中，延长3D交OA于G.交AC于ES2ZAO3 = ZCOD = 90 . ZAOC = ZDOB,在aAOC和BOD中，OA = OB ZAOC = ZBOD ,OC = OD: aAOC 三aBOD ,AC = BD, ZCAO = ZDBO.I ZDBO + ZGOB = 90 , ZOGB = ZAGE, ZCAO + ZAGE = 90 , ZAEG = 90 , BD 丄 AC.（2）解：如图3中，设AC = x, BD、CD在同一直线上，BD丄AC, ABC是直角三角形， AC2 + BC2 = AB2，A x2 + （x + 17）2 =252,解得x = 7,：ZODC =

16、Za + ZDBO = 45J, ZABC + ZDBO = 45, Aa = ZABC, sin ct =CT = AB 25【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判泄和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知 识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的 关键是利用（2）的结论解决问题，属于中考常考题型.5.如图，AABC和ADEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE, F 为线段AD的中点，连接CF.（1）如图1,当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是；（2）如图2,把ADEC绕C点顺时针旋转90。，苴他条件不变，问（1）中的关系

17、是否仍然 成立？请说明理由：（3）如图3,把 DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（2）中的关系是否 仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明.A【答案】（1）BE=2CF；（2） （1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3） （1）中的 关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明厶ACD竺ABCE,可得AD=BE,又因为AD=2CF,从而 BE=2CF；（2）由点F是&D中点，可得AD=2DF.从而AC= 2DF+CD,又由ABC和MDE是等腰直角 三角形，可知 BO2DF+CE、所以 BE=2 （DF+CE） , CF二

18、 DF+CD,从而 BE=2CF；（3）延长 CF至 G 使 FG=CF9 KP： CG 二 2CF,可证 CDF 选 GAF,再证明 BCEAACG. 从而BE=CG=2CF成立.解：（1 ） V A ABC是等腰直角三角形，AAC=BC ,VACDE是等腰直角三角形，CD二CE ,r AC=BC在zACD 和ABCE 中，ZACD二ZECE二90 ,CD二CEAAACDABCE ,AD二BE,在 RtAACD 中，点 F 是 AD 中点,AAD=2CF ,ABE=2CF ,故答案为BE=2CF ；（2） （1）中的关系是仍然成立，理由：点F是AD中点，AD二2DF rAC=AD+CD二2D

19、F+CD ,ABC和MDE是等腰直角三角形，AAC=BC f CD=CE ,ABC=2DF+CE rA BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2 （ DF+CE ）,TCF二DF+CD二DF+CD ,ABE=2CF ；(3) (1)中的关系是仍然成立，理由：如图3, 延长 CF 至 G 使 FG=CF, RP： CG=2CF ,点F是AD中点，AAF=DF , DF=AF在MDF 和AF 中， ZCFD=ZGFA ,CF 二GFAACDFAGAF ,AG二CD二CE , ZCDF=ZGAF fA ZCAG=ZCAD+ZGAF=ZCAD+ZADC=180 - ZACD rVZACB=ZDCE=9

20、0 zAZBCE=360 - ZACB ZDCE - ZACD=180 - ZACD , AZCAG=ZBCE f连接BE ,rBC=AC在ABCE 和AACG 中ZBCE=ZCAG rCE 二 AGAABCEAACG fABE=CG=2CF ,点睹：本题主要考査了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判左与性质和旋转的性质， 考査了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判左与性质是解答 本题的关键.6.在平而直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点0 (0, 0)，点A (5, 0),点B (0,3).以点4为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O, B, C的对应

21、点分别 为 D, E, F.(1) 如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标：(2) 如图，当点D落在线段BF上时，4D与BC交于点H. 求证DBWMOB： 求点H的坐标.（3）记K为矩形&OBC对角线的交点，S为aKDE的而积，求S的取值范帀（直接写出结果即可）.图图【答案】(1) D (1, 3) :(2)详见解析：H ( ，3) :(3)30-3辰$2_ac2=4,:.BD=BC-CD=1 ,：.D (1,3).(2 )如图中，图由四边形是矩形，得到Z&DQ90。，点D在线段BF上， ZADB=90 r由(1)可知，AD=AO9 X AB=AB , ZAOB=90 r:.Rt/ADBRt

22、AAOB ( HL )如图中，由ADB幻&03,得到ZBAD=ZBAO t 又在矩形AOBC中，OA/BC r:.ZCBA=ZOAB ,:.ZBAD=ZCBA ,:BH二AH,设 AH=BH=m.则 HC=BCBH=5m .在 RtAAHC 中，9：AH2=HC2AC2 ,Am2=32+ ( 5-n? ) 2 ,.17 m= /17叫，（3）如图中，当点D在线段BK上时，ZkOFK的而积最小，最小值=DEDK= x3x ( 5- 2 )=30-3辰4当点D在助的延长线上时.SEK的而积最大，最大而积= -xDExKD =丄心（5+逐）,0 + 3加224综上所述，30-3辰30 + 3辰.44

23、【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股宦理、全等三角形的判左和性质、旋转变换等 知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决 问题.7.已知，如图：正方形ABCD,将RtAEFG斜边EG的中点与点A重合，直角顶点F落在 正方形的AB边上，RtAEFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，（点P与点F重 合），如图1所示：（1）求证：ep2-gq2=pq2；（2）若将RtAEFG绕着点A逆时针旋转a （0a90）,两直角边分别交AB、AD边于 P、Q两点，如图2所示：判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确泄的相等关 系？若存在，证明你的

24、结论.若不存在，请说明理由：（3）若将RtAEFG绕着点A逆时针旋转a （90a ZHAE=ZGAD,AAEAHAGAQ,AEH=QG, HA二AQ,TPA 丄 AD, PQ 二 PH.在 RtAEPH 中，VEP2+EH2=PH2,.EP2+GQ2=PH2 在 RtAPFQ 中，VPF2+FQ2=PQ2,PF2+FQ2 二 EP2GQ2.（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2.图3【点睛】本题主要考査了旋转的性质，全等三角形的判左与性质，三线合一，勾股左理，正确作出 辅助线是解答本题的关键.&操作与证明：如图1，把一个含45。角的直角三角板ECF和一个

25、正方形ABCD摆放在一 起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上, 连接AF.取AF中点M, EF的中点N,连接MD、MN.（1）连接AE,求证：AAEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得岀结论.结论1： DM、MN的数量关系是一；结论2： DM、MN的位宜关系是一；拓展与探究：（3）如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180,貝他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由.【解析】试题分析：（1）根搦正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE

26、=CF,继而证明岀 ABE竺AADF,得到AE=AF,从而证明出 AEF是等腰三角形：（2） DM、MN的数量关 系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线立理即可得出结论位置 关系是垂直，利用三角形外角性质和等樓三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；(3)成立，连接AE,交MD于点G,标记出各个角首先证明出MNII AE, MN=-AE利用三角形全等证出AE=AF,而DM=-AF,从而得到DM, MN数量2 2相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量 关系得到z DMN=Z DGE=90.从而得到DM、MN的位置关系

27、是垂直.试题解析：(1) V 四边形 ABCD 是正方形,AB=AD=BC=CD, Z B=Z ADF=90, / CEF 是等腰直角三角形，ZC=90 /. CE=CF /. BC - CE=CD - CFt 即 BE二DF, ABE竺 ADF, AE=AF, AEF是等腰三角形：(2) DM、MN的数量关系是相等， DM. MN的位置关系是垂直；在RtA ADF中DM是斜边AF的中线，.AF=2DM, / MN 是A AEF 的中位线， AE=2MN, VAE=AFt A DM=MN； / Z DMF=Z DAF+Z ADM, AM=MD, Z FMN二Z FAE, Z DAF=Z BAE

28、, /. Z ADM=Z DAF=Z BAE, Z DMN=Z FMN+Z DMF=Z DAF+Z BAE+Z FAE=Z BAD=90 /. DM丄MN： (3)(2)中的两个结论还成立，连接AE,交MD于点G, .点M为AF的中点，点N为EF的中点，/. MNII AE, MN=-AE,由已知得，AB=AD=BC=CD, Z B=Z ADF, CE=CF,又2 BC+CE二CD+CF,即 BE=DF, /. ABE旻 ADF, /. AE二AF,在 RtA ADF 中,.点 M 为 AF 的, 1中点，/. DM=-AFt , DM=MN, T ABE更心 ADF, /. Z 1=Z 2,

29、 ABH DF, /. Z 1=Z 3,2同理可证：Z 2=Z 4,Z3=Z4, TDM 二 AM,二 Z MAD 二 Z 5, Z DGE=Z 5+Z 4=Z MAD+z 3=90, T MNII AE, /. Z DMN=Z DGE=90 DM丄MN.所 以（2）中的两个结论还成立.质.9.(操作发现)(1)如图1 , AABC为等边三角形，先将三角板中的60。角与ZACB重合，再将三角板绕 点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0。且小于30。)，旋转后三角板的一直角边与AB交于 点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB取点E,使ZDCE=30,连接AF r EF 求ZEAF的度数

30、： DE与EF相等吗?请说明理由:（类比探究）（2）如图2,ZABC为等腰直角三角形，ZACB=90,先将三角板的90。角与ZACB重合, 再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0。且小于45。），旋转后三角板的一直 角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB 取点E,使 ZDCE=45,连接AF , EF.请直接写出探究结果： ZEAF的度数： 线段AE # ED , DB之间的数量关系.答案】(1) 120DE=EF： (2)90AE2+DB2=DE2【解析】试题分析：(1 )由等边三角形的性质得岀AC=BC , Z BAC=A 8=60。，求出Z ACFN BCD.证明Zk&CF更 “BCD,得出Z CAFM 3二60,求出Z EAF二乙 BAC+Z CAF=120 ； 证出Z DCE二乙FCE,由SAS证明DCE里FCE、得出DE二EF即可；(2 )由等腰直角三角形的性质得岀AC=BC , Z BAC=Z 8=45。，证岀Z ACF=Z BCD,由 SAS 证明AC/ BCD,得岀Z CAF二乙 B二45 r AF二DB,求出Z EAF=Z BAC十Z G4U90 ； 证出Z DCE二乙FCE,由SA