1 概率论的基本概念

1、 2 当面对两个选择的时候，抛硬币可以帮 助我们，答案在它落地后才能知晓。 3 随机现象随机现象 结果不确定，做之前可 以预知多种可能的结果， 但究竟是哪一个结果， 只有做了才知道。 1、抛掷一枚均匀的硬 币，会出现正面向上、 反面向上两种不同的 结果； 2、用一门大炮，射击 某一目标，炮弹落点 不尽相同； 3、罚点球，可能进也 可能不进； 4、参加考试，得分有 多种可能； 4 确定性现象确定性现象 在一定条件下必然 发生，不需去做就 可以知道结果，做 了也是这个结果 结果是能预知的、 唯一的。 1、向上抛一石子，必然下落; 2、在标准大气压下，将水加热到100 摄氏度，必然沸腾; 3、同性电

2、荷必然相斥，异性电荷必然 相吸； 4、寻求长生不老药，必然失败 . 自然界和社会的两类现象自然界和社会的两类现象 随机现象 确定性现象 5 统计规律性统计规律性 随机现象，在相同条件下、 大量多次重复的发生，虽 然每次结果可能不同，但 是总的来说存在一定的规 律，就是统计规律性。 抛一枚硬币，观察正反两面出 现的情况，多次重复后，发现 正反两面出现的次数基本上对 半分； 多次掷一颗骰子，任意一面 朝上的次数基本上占总投掷 次数的1/6 什么是概率论什么是概率论 与数理统计？与数理统计？ 概率论与数理统计 是研究和揭示随机 现象统计规律性的 一门数学学科。 6 1.1 随机试验 1.2 样本空间

3、、随机事件 1.3 频率与概率 1.4 等可能概型(古典概型) 1.5 条件概率 1.6 独立性 7 1.1 1.1 随机试验随机试验 试验试验 试验是一个含义广泛的 术语。它包括各种各样 的科学实验，甚至对某 一事物的某一特征的观 察也认为是一种试验. 随机试验随机试验 1 、可以在相同的条 件下重复地进行； 2、每次试验的可能 结果不止一个，并 且能事先明确试验 的所有可能结果； 3、进行一次试验之 前不能确定哪一个 结果会出现。 e1、 抛一枚硬币，观察正面h、反面t出 现的情况; e2、 将一枚硬币抛三次，观察正面h、 反面t出现的情况; e3、 将一枚硬币抛三次，观察出现正面 的次数

4、; e4、抛一颗骰子，观察出现的点数; 注意：e2和e3是一次试验. e5: 记录某城市120电话台一昼夜接到 的呼唤次数; e6: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试 它的寿命; e7: 记录某地一昼夜的最高温度和最低 温度。 8 1.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.1 1.2.1 样本空间样本空间 e1：抛一枚硬币，观察正面h、 反面t出现的情况。 e2：将一枚硬币抛掷三次， 观察正面h、反面t出现的情 况。 e3：将一枚硬币抛掷三次， 观察出现正面的次数。 e4：抛一颗骰子，观察出现 的点数。 s=h,t s=hhh,hht,hth,thh,htt,tht,tth,t

5、tt s=0,1,2,3 s=1,2,3,4,5,6 e5:记录某城市120急救 电话台一昼夜接到的呼 唤次数。 e6:在一批灯泡当中，任 意抽取一只测试它的寿 命。 e7:记录某地一昼夜的最 高温度和最低温度。 s=0,1,2,3, s=t|t0 s=(x,y)|t0 xyt1 这里x 表示最低温度， y表示最高温度。并 设这一地区的温度不 会小于t0 也不会大于 t1 样本空间与样本点的概念样本空间与样本点的概念 由随机试验e的所有可能结果所组成的集合称样本空间样本空间 (s). 样本空间的元素，即每个结果，称为样本点(e). s=e1,e2,e3, 9 1.2 1.2 样本空间、随机事件

6、样本空间、随机事件1.2.2 1.2.2 随机事件随机事件 在一批灯泡当中任 意抽取一只，测试 它的寿命。 样本空间s=t|t0 事件a=“寿命不小于500 小时”=t|t500；as 随机事件的概念随机事件的概念 一般，我们称试验e的样本 空间s的子集为e的随机事 件.简称事件(通常用 a,b,c表示)。 测得某只灯泡得 e=“寿命为600小时” 事件a发生(ea:) 什么叫事件发生？什么叫事件发生？ 当且仅当这一子集中的 一个样本点出现时，称 这一事件发生。 10 1.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.2 1.2.2 随机事件随机事件 随机事件的分类随机事件的分类 由

7、一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集 由基本事件组合而成的事件由基本事件组合而成的事件 1、基本事件基本事件 2、复合事件复合事件 3、必然事件必然事件 4、不可能事件不可能事件 空集空集 抛一枚硬币，观察正面h,反面t出现的情况： 样本空间s=h,t。h、t是基本事件。 抛一颗骰子，观察出现的点数： 样本空间s=1,2,3,4,5,6, 事件c=“出现偶点数”=2,4,6是复合事件。 样本空间样本空间s是其自身的子集，作为一个事件，是其自身的子集，作为一个事件， 在每次试验中它必然发生，在每次试验中它必然发生，s称为必然事件称为必然事件. 11 1.2 1.2 样本空间、随机事件样

8、本空间、随机事件1.2.3 1.2.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 若 a b, 则称事件b包含事件a。 事件a发生必导致事件b发生。 子事件子事件(包含包含) 相等事件相等事件 若 a b 且 ba ，则a=b， 称事件a与事件b相等。 b a s 12 1.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.3 1.2.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 和事件和事件 事件ab称事件a与事件b的和事件。 当且仅当a,b中至少有一个发生时， 事件ab发生。 积事件积事件 事件ab 称为事件a与事件b的积事件。 当且仅当a,b同时发生时， 事件ab 发生, 也记作ab。 s

9、 b a s a b 13 1.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.3 1.2.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 差事件差事件 事件ab 称为事件b与事件a的差事件。 当且仅当a发生、b不发生时事件ab 发生。 互斥事件互斥事件( (互不相容事件互不相容事件) ) 若ab= ，则称事件a与事件b是互斥的。 这指的是a和b不可能同时发生。 基本事件是两两互不相容的。 互逆事件互逆事件( (对立事件对立事件) ) 若ab=s且ab= ， 则称事件a与事件b互为逆事件。 每次试验，事件a,b中必有一个， 且仅有一个发生。 b的对立事件记为b s a b s b a s b

10、 b , bbbbs 14 1.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.3 1.2.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 事件运算定律事件运算定律 交换律交换律 德摩根律德摩根律 结合律结合律 分配律分配律 a(bc)=(a b)(ac) a (bc)=(ab)(ac) 15 1 2 3 信号灯 令a=“信号灯亮” bi=“开关i闭合”，i=1,2,3 12131213 ,a ba bbbbbab b 1 b a 1212 bbbb 1.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件1.2.3 1.2.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 16 1.3 1.3 频率与

11、概率频率与概率 大量试验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率呈现稳定性，稳 定于某个常数, 如下表所示的投币试验，观察正面h出现的情况: 频率的概念频率的概念 在相同的条件下，进行n次试验，在这n次试验中， 事件a发生的次数na 与n的比值称为事件a发生的频 率，并记成 fn(a) 17 1.3 1.3 频率与概率频率与概率 概率的公理化定义 设e是随机试验，s是它的样本空间。对于e的每一事件a赋予一个实 数记p(a) ，称为事件a的概率，如果集合函数p()满足下列条件： 1、非负性：对于每一事件a，有 p(a)0 ； 2、规范性：对于必然事件s，有p(s)=1 ； 3、可列可加性(又称完

12、全可加性)： 设a1,a2, 是两两互不相容的事 件，即aiaj=, 则有 或写成 18 1.3 1.3 频率与概率频率与概率 概率的一些重要性质概率的一些重要性质 1、不可能事件的概率为零：p()=0 注意：概率为零的事件不一定是 不可能事件。 2、有限可加性：若a1,a2,an 是 两两互不相容的事件，则有 3、差事件概率：设a,b是两个事件， 若 a b，则有 4、对于任一事件a, 有p(a)1 5、逆事件概率： 对于任一事件a，有p( )=1p(a) a 6、和事件概率(加法公式)： 对于任意两事件a, b有 19 1.3 1.3 频率与概率频率与概率 可推广到多个事件的和事件可推广到

13、多个事件的和事件 20 1.4 1.4 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) ) 等可能概型的定义与概率的计算等可能概型的定义与概率的计算 具有如下两个特点的试验，称为等可能概型(又叫古典概型)： 2、试验中每个基本事件发生的概率相同: p(e1)=p(e2)=p(en) 1、试验的样本空间只包含有限个元素； s=e1,e2,en; 1 n i n se p(s)=1 有限可加 基本事件基本事件 的概率的概率： p(e)=1/n 若事件若事件a包包 含含k个基本个基本 事件数目，事件数目， 则则 p(a)=k/n 将一枚硬币抛掷三次： s=hhh,hht,hth,thh,htt,tht

14、,tth,ttt; a1=“恰有一次出现正面”=htt,tht,tth; a2=“至少有一次出现正面”； p(a1)=3/8; p(a2)=1p( )=11/8=7/8 2 ttta 2 a 21 1.4 1.4 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) ) 一个口袋装有6只球，其中4只白球、2只红 球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。 抽样抽样 放回放回 不放回不放回 放回抽样计虚线；不放回抽样不计虚线 相同颜色的球可分辨，可编号，可区分。 样本空间基本事件数目 放回，66 不放回，65 22 1.4 1.4 等可能概型等可能概型( (古典概型古典概型) ) 将n只球随机地放入n(nn

15、)个盒子中去， 试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)。 选排列选排列 s的基本事件数目：nn 每只球都可以放入n 个盒子中的任一个 事件a=“每个盒子至多有一只球” a所含基本事件数目：(1)(1) n n nan nn 相当于放回抽样相当于放回抽样 相当于不放回抽样相当于不放回抽样 ( ) n n n a p a n 事件a的概率： 现实中的类现实中的类 似问题：似问题： 一年365天, n(n0), 事件ab所包含的 基本事件数为k。 ab a 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。 设事件a=“至少有一次为h”, 事件b=“两次掷出同 一面”。求已知事件a发生的条件下

16、事件b发生 的概率。 s=hh,ht,th,tt; a=hh,ht,th; b=hh,tt p(a)=3/4 p(b)=2/4=1/2 ab=hhp(ab)=1/4 p(b|a)=1/3 注意p(b|a)p(b) 26 1.5 1.5 条件概率条件概率1.5.1 1.5.1 条件概率条件概率 前述概率的6个性质，对条件概率也是适用的. 例如对任意两事件b1和b2有 1、非负性：对于每一事件b, 有p(b|a)0； 2、规范性：对于必然事件s, 有p(s|a)=1; 3、可列可加性：设 b1,b2,.是两两互不相容的事 件，则有 条件概率的性质条件概率的性质 27 1.5 1.5 条件概率条件概

17、率1.5.1 1.5.1 条件概率条件概率 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中取 产品两次，每次任取一只，做不放回抽样。设事件a为“第一 次取到的是一等品”，事件b为“第二次取到的是一等品”。 试求条件概率p(b|a)。 样本空间s基本事件数目n= =43=12 a包含的基本事件数目：m=33=9； ab包含的基本事件数目：k=32=6 p(a)=9/12=3/4 p(ab)=6/12=1/2 p(b|a)=p(ab)/p(a)=2/3p(b|a)=k/m=6/9=2/3 28 1.5 1.5 条件概率条件概率1.5.2 1.5.2 乘法定理乘法定理 乘法定理乘法定理( (

18、乘法公式乘法公式) ) p(ab)=p(b|a) p(a) p(abc)=p(c|ab) p(ab) =p(c|ab) p(b|a) p(a) p(a1a2an)=p(an|a1a2a n1) p(a n1 |a1a2a n2 ) p(a2|a1)p(a1) 29 1.5 1.5 条件概率条件概率1.5.2 1.5.2 乘法定理乘法定理 ai=“第i次落下打破” b=“落下三次均未破” 123 ba a a 设某光学仪器厂制设某光学仪器厂制 造的透镜，第一次落下时造的透镜，第一次落下时 打破的概率为打破的概率为1/2。若第一。若第一 次落下未打破，第二次落次落下未打破，第二次落 下打破的概率为

19、下打破的概率为7/10。若。若 前两次落下未打破，第三前两次落下未打破，第三 次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10。 试求透镜落下三次而未打试求透镜落下三次而未打 破的概率。破的概率。 设袋中装有设袋中装有r只红球，只红球， t只白球只白球. 每次自袋中任取每次自袋中任取 一只球，观察其颜色然后一只球，观察其颜色然后 放回，并再放入放回，并再放入a只与所只与所 取的那只球同色的球。若取的那只球同色的球。若 在袋中连续取球四次，试在袋中连续取球四次，试 求第一、二次取到红球且求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概第三、四次取到白球的概 率。率。 ai=“第i次取到红球” 30 1

20、.5 1.5 条件概率条件概率1.5.3 1.5.3 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 1 i n i bs 样本空间的一个划分样本空间的一个划分 设s为试验e的样本空间， b1,b2,bn为e的一组事件；若： (1)bibj= ; (2) 则称b1,b2,bn 为s的一个划分。 贝叶斯公式贝叶斯公式 全概率公式全概率公式 11 (|) ()()() nn iii ii p a b pp abp ab 31 1.5 1.5 条件概率条件概率1.5.3 1.5.3 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。某电子设备制造厂所用的

21、元件是由三家元件制造厂提供的。 根据以往的记录有以下数据：根据以往的记录有以下数据： bi=“元件由第i家工厂提供” p(b1)=0.15; p(b2)=0.80; p(b3)=0.05. p(a|b1)=0.02; p(a|b2)=0.01; p(a|b3)=0.03. a=“取到的是一只次品” 3 1 (|) ()0.012(5) ii i p a bbapp 全概率公式 0.24, 1 (|) () |)0.64, 2 ( ) 0.12, 3 ( ii i p b i p a b p b ai p a i 贝叶斯公式 32 1.5 1.5 条件概率条件概率1.5.3 1.5.3 全概率公

22、式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率为据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率为0.1%， 在人群中有在人群中有20%是吸烟者，他们换肺癌的概率约为是吸烟者，他们换肺癌的概率约为0.4%, 求不吸烟者患肺癌的概率是多少求不吸烟者患肺癌的概率是多少? 吸烟与否 人数比肺癌率 y0.20.004 n0.8? a=“此人吸烟”； c=“此人患肺 癌”. p(a) p(c|a) p( )ap(c| )a ( )(|) ( )(|) ( )0.001 (|)0.00025 p cp c a p ap p c a a pac 33 1.6 1.6

23、独立性独立性 互相独立与互不相 容是不同概念，互 不等价。 抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况(先抛甲后抛乙先抛甲后抛乙) s=hh,ht,th,tt a=“甲币出现h”=hh,ht b=“乙币出现h”=th,hh ab=hh p(a)=1/2 p(b)=1/2 p(ab)=1/4 p(ab)=p(a)p(b) 或p(b|a)=p(b) a、b独立 事件独立性的定义事件独立性的定义 设a,b是两事件，如果满足等式 p(ab)=p(a)p(b) 则称事件a、b相互独立，简称独立。 p(b|a)=p(b) 34 1.6 1.6 独立性独立性 多事件的独立性

24、定义多事件的独立性定义 一般的，设 a1,a2,an是 n(n2) 个事件， 如果对其中任意2个、任意3个、 一直到n个事件的积事件的概率，都等于各 事件概率的积，则称这些事件相互独立. p(ab)=p(a)p(b)； p(bc)=p(b)p(c); p(ac)=p(a)p(c); p(abc)=p(a)p(b)p(c) a、b、c三者独立 1、设a、b是两事件，且p(a)0。 若a,b相互独立， 则p(b|a)=p(b)，反之亦然。 2、若事件a与b相互独立，则下列各对事件也相互独立： a与 ， 与b， 与 。baba 3、若事件a1,a2,an(n2)相互独立， 则其中任意k(2kn)个事

25、件也是相互独立的. 4、 若事件 a1,a2,an(n2) 相互独立，则将 a1,a2,an 中任意多个事件换成它们各自的 对立事件，所得的n个事件仍相互独立。 事件独立性的推论事件独立性的推论 35 1.6 1.6 独立性独立性 能正常工作的概率称为可靠性可靠性。 已知：第i个元件的可靠性为pi （i=1,2,3,4），），4个元件工作独立 求系统的可靠性。 a=“系统正常工 作”=a1a2a3a4 ai=“第i个元件正常工作”，p(ai)= pi p(a)=p(a1a2a3a4)=p(a1a2)+p(a3a4)p(a1a2a3a4) =p(a1)p(a2)+p(a3)p(a4)p(a1)p

26、(a2)p(a3)p(a4) =p1p2+p3p4p1p2p3p4 36 37 习题习题 3. (1) 设a,b,c是三个事件，且p(a)=p(b)=p(c)=1/4, p(ab)=p(bc)=0, p(ac)=1/8, 求a,b,c至少有一个发生的概率。 解：利用加法公式 p(abc)=p(a)+p(b)+p(c) p(ab) p(ac)p(bc)+p(abc) 其中p(abc)=p(c|ab)p(ab)=0 故p(abc)=1/4+1/4+1/4 1/8=5/8 38 , 3.(2) 已知p(a)=1/2, p(b)=1/3, p(c)=1/5, p(ab)=1/10, p(ac)=1/1

27、5, p(bc)=1/20, p(abc)=1/30, 求,b ab aabc,abc abc abc的概率。 利用德摩根律和逆事件概率可得： ()()1()1 11/154/15ppp aababb ()()1()1 17/ 203/ 20abcabcbpppca 解：由加法公式可得 p(abc)=p(a)+p(b)+p(c)p(ab) p(ac) p(bc)+p(abc)=17/20 p(ab)=p(a)+p(b)p(ab)=1/2+1/31/10=11/15 39 ()()()()7/6)0(abcab scp ababcp abpppabc 利用差事件概率可得 由加法公式可得 ()()

28、( )()4/15 1/57/607/ 20abcababppp ccp 3.(2) 已知p(a)=1/2, p(b)=1/3, p(c)=1/5, p(ab)=1/10, p(ac)=1/15, p(bc)=1/20, p(abc)=1/30, 求,b ab aabc,abc abc abc的概率。 或利用条件概率的乘法定理可得： ()(|) (|()()1()abcababc abp abp abpp cppbcpa 或 ()()() ()()()() ()()( )()()()7 / 60 pp sa sb cp sa cbcp cbcacabc p cbcp acabcp cp bcp

29、 acp a c c ab b 40 3.(3) 已知p(a)=1/2, (a)若a,b互不相容，求 , (b)若p(ab)=1/8, 求)(p ab)(p ab 若a,b互不相容，则p(ab)=0, 故 ()( )1/ 2p ap ab (a) ()( )()1/ 2 1/83/8p ap ap abb (b) 解：利用差事件概率可得 () ()()( )()p ap a sbp aabbp ap ab 41 5. 10片药片中有5片是安慰剂. (1)从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安 慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前三次都取到安慰剂的 概率. 解(1):这属于经典

30、概型的组合问题 令ai=“取到的5片中有i片是安慰剂”，i=0,1,2,3,4,5，它们是互不相容的。 根据概率的有限可加性，所求概率为 50 5 555 4 5 2 55 10 1 1 1 0 0 ()1() 113 ()1 126 ii c pap ap cc c a cc 则 5 55 5 10 () ii i cc p a c 且 5 0 ()1 ii pa (2) 令ai=“第i次取到的是安慰剂” 利用条件概率的乘法定理可得 123312211 ()() () 3451 | 89112 () 0 p a a ap ap apaaaa 3 5 3 10 5 4 10 31 9 812

31、a p a 或 42 8. 在1500件产品中有400件次品，1100件正品，任取200件. (1)求恰有90件 次品的概率. (2)求至少有2件次品的概率。 解(1)这属于经典概型的组合问题 11090 1100400 200 1500 c c p c 恰有90件次品的概率 (2) 令ai=“取出的200件产品中有i件次品”，则所求概率为 2001991 11001100400 01 200200 15001500 1()()1pp ap a ccc cc 43 21. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者. 今从男女人数相 等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者. 问此人是

32、男性的概率是多少? 解：设a=“任选一人为男性”，b=“任选一人为色盲” (|)5%,(|)0.25( )50%,%pb ap b aap 则由题意知： 利用全概率公式可得 ( )(|) ( )(|) ( 5% 50%0.25% 50%2.625% )p bp b a p ap bpaa 再根据贝叶斯公式可得所求概率为 (|) ( )5% 50%20 95.24% ( )2.626% (|) 21 p b a p a p pb b a 44 34. 试分别求以下两个系统的可靠性: (1)设有4个独立工作的元件1，2，3， 4. 它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4, 将它们按图1方式连接.

33、 (2)设有5个独立 工作的元件1，2，3，4，5. 它们的可靠性均为p, 将它们按图2方式连接. 解：令ai=“元件i正常工作” 图1 1 23 4 图2 12 3 45 1234123141231412314 ()()()()p ap ap ap ap aa aaa aa aa aaa a a a (1)利用加法公式可得 123141234 aaa a a aa a a 111 a aa 交换律及 由独立性 1234123141234 ()a aap pp pp pp app p 12345 12345 12345 a a a a a a a a a a a a a a a 12345 12345 12345 a a a a a a a a a a a aa aa 12345 12345 a a a a aa aaaa 12345 12345 12345 a a a a a a a a a a a a a