2021届新高考数学二轮专题突破二第1讲平面向量(解析版

1、专題二第1讲平面向I【要点提炼】考点一平面向量的线性运算1. 平面向呈:加减法求解的关键是：对平而向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平而 向呈:减法应抓住共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转 化，即可快速得到结果.2. 在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于 代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.【热点突破】【典例】1 如图所示，AD是AABC的中线，0是AD的中点，若C0= XAB+ uAC,其中X , uWR.则X + u的值为()【答案】【解析】由题意知，CO=|(CD+CA) =|x(Jcb+ca13则

2、入=? 口=_亍故入+ =_.己知 e“ e：是不共线向量，a=mei+2e：t b=nei e：,且 mnO.若1,贝Q=.n【答案】 一 2【解析】 Va/7b. AmX (一 1) =2Xm 二=一2n(3)A, B, C是圆0上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D,若0C= X 0A+u 0B( X GR,u GR),则X 4- g的取值范围是.【答案】(1, +8)【解析】 由题意可得，OD=kOC=k XOA+k uOB(0k1,即 X 4- u 的取值范IM是(1, +8).易错提醒在平面向量的化简或运算中，要根据平而向量基本左理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.【拓

3、展训练】1 如图，在平行四边形ABCD中，E, F分别为边AB, BC的中点，连接CE,DF,交于点 G.若CG=XCD4-uCB(X, u GR),则+=.【答案】;【解析】由题意可设CG=xCE(0xl),则 CG=x(CB+BE)因为CG= XCD+ uCB,丽与西不共线,xX所以 口 =x所以=2- (2)如图，在扇形OAB中，ZA0B=y, C为弧AB上的一个动点，若OC=xOA+yOB.则x+3y的取值范用是0B【答案】1,3【解析】 设扇形的半径为1,以0B所在直线为x轴，0为坐标原点建立平而直角坐标系(图略)，C(cos 0, sin 0)其中 ZB0C= 0 , 0W 0则

4、OC=(cosxp+y=cos 0 ,x=sin(),V乙故卄3尸进+3cos= 3cos 0乎sin令 g( 0 ) =3cos()sin 0,易知 g(0)=3cos 0 申sin0任0, y上单调递减,故当0=0时，g(0)取得最大值为3,JI当0=三时，g(0)取得最小值为h 故x+3y的取值范围为1,31.【要点提炼】 考点二平面向量的数量积1.若 a= (x, y),则【a =pa a=/x+y1 2.若 A(xi, yi), B(x“ y：) 贝9 AB = x：xxy：yi3. 若 a= (xi yj, b=(x“ y J ,。为吕与 b 的夹角, 则cos【热点突破】【典例】

5、2 (1) (2020 全国III)已知向量a b满足a =5, bl =6, ab = 6,则cos 込+而|=2+ 2-4 X 2十乔IFl os 当入=0时，MB+iiD取得最大值为2返，当X諾时，MB+MD取得最小值为半，. W 萼，2住易错提醒两个向量的夹角的范用是0, n,在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向 量的夹角可能是0或刃的情况，如己知两个向疑的夹角为钝角时，不仅要求英数量枳小于零, 还要求不能反向共线.【拓展训练】2(1) (2019 全国I)已知非零向量a, b满足a =2 b ,且(ab)丄b，则a与b的夹角为()【答案】B【解析】方法一设b与b的夹角为0,因为(

6、ab)丄b,所以(ab) b=a b lbl=0又因为Ia|=2 b|,所以 2|b|2cos 0 -|b|3=0,即 cos()=又0 Go,叮，所以o =y,故选B.方法二 如图，令OA=a, OB=b 则或=OA-OB=a b.因为（a-b）丄b，所以ZOBA=-y* 又 a =2 b ,所以ZAOB=y,即a与b的夹角为丁，故选B（2020 新髙考全国I ）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则环-AB的取值 范围是（）A. （一2, 6）B. （一6,2）C. （-2,4）D. （-4,6）【答案】A【解析】如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

7、A(0,0), B(2,0), C(3,、Q), F(-L 羽).设 P(x, y),则AP=(x, y) AB=(2,0),且-lxoc4- 6a-ob=i-(oa+ob)-oc=i-od-oc.由图可知，当点c在od的反向延长线与圆o的交点 处时，65 左取得最小值，最小值为一迈，此时(OC-OA) - (0C-0B)取得最大值，最大值为 1+住故选A.专题训练一、单项选择题1. 已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则碇等于()B.|S-ADA. -AB+S【答案】A【解析】 由题意可知，BE=BC+CE=-|S+AD2. (2020 广州模拟)加强体疗锻炼是青少年生活学习

8、中非常重要的组成部分，某学生做引体向 上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为亍，每只胳膊的拉力大小均为400N, 则该学生的体重(单位：血)约为(参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s%羽心1732)()A. 63 B 69 C 75 D 81【答案】B【解析】 设该学生的体重为m,重力为G，两臂的合力为F,则Gl = lF丨，由余眩定理 得 F =400:4-400:-2X400X400Xcos y-=3X400:, F 1=4003. G =mg = 400羽，m=40羽宀69 kg.3. 已知向 Ma=（l,2）, b=（2, -2）, c=（X, 一 1）,若 c（2

9、a+b）,则入等于（）1 1A. 2 B1 CD 3【答案】A【解析】 Va=（lt2）t b=（2, -2）, ；2a+b= （4,2）,又 c=（X , 一 1）, c（2a+b）, 2入+4=0,解得X=-2,故选A4. （2020 潍坊模拟）在平而直角坐标系xOy中，点P（ 1）,将向呈：6?绕点0按逆时针方JT一向旋转y后得到向MOQ,则点Q的坐标是（）A.（一谑，1） B. （一 1, y/2） C.（一羽，1） D. （-1,羽）【答案】D【解析】 由P（羽，1）得P（ 2cos . 2sin 将向呈於绕点0按逆时针方向旋转守后得到向量必，又 cos(i叫 6 + 2 丿 cos

10、 6 2 9AQ（-b y/3）.5. （2020 泰安模拟）如图，在AABC中，点0是BC的中点，过点0的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M, N,若屁=mA5b AC=nAN,则m+n等于（）A. 0 B 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】如图，连接A0,由0为BC的中点可得，心扛歪+北）VM, 0, N三点共线,*.m4n=2.6. 在同一平而中，S=DC,西=2丽若逅=mS+点（m, nGR）,则m+n等于（）2 35A-3 K4 C6 D 1【答案】A【解析】 由题意得，ad=|.c, de=|db,故ae=ad+de=|S+|db=|ac+|(ab-ad)=|ac +症+

11、扌疋所以 m=| n=|4 故 m+n=f.7. 若P为ZABC所在平面内一点，且PA-S = PA+PB-2PC ,则AABC的形状为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】/1PA-PB =|PA4-PB-2PCi, A BA = | (PA-PC) 4-(ffi-PC) | = CA+CB ,即 CA- CB： = |CA-I-CB ,两边平方整理得，矗CB=O. .&丄西，.ABC为直角三角形.故选C.8. 已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则PA+PB4-2PC |的最大值为 ()A. 2羽 B. 33 C. 4/3 D. 5

12、萌【答案】D【解析】 设AABC的外接圆的圆心为0,3 1则圆的半径为亟X刁=心，6a+0B4-6c=0,2故 R+S+2R=4P0+0C 又 1P0+0C ： = 51 + 8而左W51+24 = 75,故 PA+S+2PC当而.左同向共线时取最大值.9. 如图，圆0是边长为2萌的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D,点M为圆上任意一点，BM=xBA+yBD(x, yGR),则2x+y的最大值为()AA、/5 B、/5 C 2 D 2、/5【答案】c【解析】 方法一 如图，连接DA,以D点为原点，BC所在直线为X轴，DA所在直线为y轴，建立如图所示的平而直角坐标系.设内切圆的半径为

13、“则圆心为坐标(0, r),根据三角形而枳公式，得|xiAAacXr=|xABXACXsin 60 (1,“为AABC的周长)，解得r=1.易得 B(羽，0), C(G 0), A(0, 3), D(0, 0),设 M(cos 0, 1 + sin 0), 0 G 0, 2 n ),则fii= (cos 0 +a/3 1 + sin 0), BA=(y/3, 3),丽=0),故BM= (cos 0 +羽，1 + sin 0 )=(羽x+羽y, 3x),；攵 a 与 b 垂直，故 B 正确：ab ：=a+b：-2ab=2, ab j =y2 故 D 错误：cos (a* ab) b的夹角为丁，故

14、C正确.11设向M a= (k, 2), b=(l, -1),则下列叙述错误的是()A.若k-2,则a与b的夹角为钝角B. a的最小值为2C. 与b共线的单位向量只有一个为（乎，一半）D. 若a|=2 b ,贝9k=2也或一2边【答案】CD【解析】 对于A选项，若a与b的夹角为钝角，则ab0且a与b不共线，则k-20且 kH 2,解得k 羽).则B0=(l, y), DO-$又丽56,所以y弓= 一苏 解得y=爭,即0是CE的中点.OE+OC = O所以选项b正确:OA+OB+OC = 20E + 0C隹1=芈,所以选项c正确;丽=洱）BC=(h 羽),西在祝方向上的投影为ED*BC 3 +

15、2BC 27=7所以选项D正确.三.填空题13（2020 全国II）已知单位向量b的夹角为45 , ka-b与a垂直，贝lj k=【答案】芈【解析】 由题意知（ka-b） a=0,即ka：-b a=0.因为ab为单位向量，且夹角为45 ,所以kxf-ixix=o,解得k=爭.14.在AABC 中，AB=1, ZABC=60 ,AC 话=一1,若 0 是ZkABC 的重心，则丽-AC=.【答案】5【解析】如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平而直角坐标系. BlCxZABC=60 ,VAC AB=-h乎）= _gag+#=_l,解得 a=4.TO是ZkABC的重心，延长BO交AC于点D,.-.BO=jBD=|xj（BA+BC）15（2020 石家庄模拟）在锐角三角形ABC中，角A, B, C所对的边分别为/ b, c,点0为AABC的外接圆的圆心，A=y,且A0= XAB4- uAC,则X u的最大值为.【答案】19【解析】V AABC是锐角三角形,0在ZkABC的内部,由A6= x (OB-OA) + u (OC-OA),得(i- x - p)ao= xob+ uoc两边平方后得，(1- x- u):a6:=(xob-i- uoc)3=X:OB:+ u=0C:+2X hob oc,VA=y, ZB0C=牛,又 AO = B0|= CO .(1 X p )*=