考研数学二分类模拟题86

考研数学二分类模拟题86一、填空题1.

设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)，则f'(0)=______．正确答案：n!．[解析]解法1

由导数定义知

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解法2

f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)=xg(x)，g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n)，则f'(x)=g(x)+xg'(x)，于是f'(0)=g(0)=n!．

2.

设y=ln(1+ax)，其中a为非零常数，则y'=______，y"=______．正确答案：．[解析]由y=ln(1+ax)知，

3.

设，则f'(t)=______．正确答案：(1+2t)e2t．[解析]由于，则f'(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．

4.

设，则y'=______．正确答案：．[解析]由复合函数求导法则知

5.

设y=ln(1+3-x)，则dy=______．正确答案：[解析]

6.

设，则y'=______．正确答案：．[解析]由知，

7.

设，则y'|x=0=______．正确答案：．[解析]

8.

设，则y"|x=0=______．正确答案：．[解析]

9.

设y=(1+sinx)x，则dy|x=π=______．正确答案：-πdx．[解析]则y'|x=π=-π，故dy|x=π=-πdx．

10.

设tany=x+y，则dy=______．正确答案：cot2ydx．[解析]等式tany=x+y两边求微分得sec2ydy=dx+dy，则

二、选择题1.

设f(x)在x=a处可导，则等于A.f'(a)．B.2f'(a)．C.0．D.f'(2a)．正确答案：B[解析]

2.

若函数y=f(x)，有，则当Δx→0时，该函数在x=x0处的微分dy是A.与Δx等价的无穷小．B.与Δx同阶的无穷小．C.比Δx低阶的无穷小．D.比Δx高阶的无穷小．正确答案：B[解析]因为

则当Δx→0时，dy与Δx是同阶无穷小．

3.

设f(x)在点x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]由于h→+∞时，则存在只能得出f(x)在a点的右导数存在，不能得出a点导数存在．B，C明显不对，这两个选项中的极限存在不能推导出存在，故不能作为f(x)在x=a点可导的充分条件．

又

则应选D．

对B选项切勿这样处理：

因为这里不符合极限四则运算法则(都未必存在)，对C选项同理．

4.

设则f(x)在x=1处的A.左、右导数都存在．B.左导数存在，但右导数不存在．C.左导数不存在，但右导数存在．D.左、右导数都不存在．正确答案：B[解析]，但，则f(x)在x=1处不右连续，从而f'+(1)不存在，又在点x=1处可导，而x≤1时，则f'-(1)存在，故应选B．

5.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)．若F(x)在x=0处可导，则必有A.f(0)=0．B.f'(0)=0．C.f(0)+f'(0)=0．D.f(0)-f'(0)=0．正确答案：A

6.

设函数f(x)在区间(-δ，δ)内有定义，若当x∈(-δ，δ)时，恒有|f(x)|≤x2，则x=0必是f(x)的A.间断点．B.连续而不可导的点．C.可导的点，且f'(0)=0．D.可导的点，且f'(0)≠0．正确答案：C[解析]解法1

由当x∈(-δ，δ)时，|f(x)|≤x2知，f(0)=0．

由夹逼准则可知

从而，即f'(0)=0．故应选C．

解法2

取f(x)=x3，显然f(x)满足原题条件．但f(x)=x3在点x=0处连续且可导，f'(0)=0，则A，B，D均不正确，故应选C．

解法1中用到一个常用结论：

7.

函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|的不可导点的个数为A.0．B.1．C.2．D.3．正确答案：C

8.

设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处A.极限不存在．B.极限存在，但不连续．C.连续，但不可导．D.可导．正确答案：D[解析]

第二个等式利用了g(x)是有界函数这一条件(有界函数×无穷小量=无穷小量)．由于f(x)在点x=0的左导数等于右导数，因而，f(x)在x=0处可导．

9.

设函数f(u)可导，y=f(x2)，当自变量x在x=-1处取得增量Δx=-0.1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0.1，则f'(1)=A.-1．B.0.1．C.1．D.0.5．正确答案：D[解析]因为dy=f'(x2)d(x2)=2xf'(x2)dx，

所以得0.1=-2f'(1)(-0.1)，

即f'(1)=0.5．所以D是正确的．

10.

设函数f(x)连续，且f'(0)＞0，则存在δ＞0，使得A.f(x)在(0，δ)内单调增加．B.f(x)在(-δ，0)内单调减少．C.对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)．D.对任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)．正确答案：C[解析]因为

所以由函数极限的局部保号性，存在δ＞0，在区间(-δ，0)∪(0，δ)内．故对于任意的x∈(0，δ)，有f(x)-f(0)＞0，即f(x)＞f(0)．选项C正确．同时也就看出选项D是错的：当x∈(-δ，0)时，应有f(x)-f(0)＜0，即f(x)＜f(0)．

不少考生选A，其错误在于以函数在一点处的导数符号来确定函数在一个区间上的单调性．例如

满足题设条件且，当x≠0时，．显然，当，即在任何(0，δ)内都有点xn使f'(xn)＜0，函数不可能单调增加，即A错．类似，选项B也是错的．

(1)本题若是加强条件为“设函数f(x)在x=0处具有一阶连续导数，…”，则此时A便是正确的．这是因为对连续函数而言，一点大于0，可以保证附近的点的函数值都是大于0，于是在这种情形下有，，对x∈(x0-δ，x0+δ)，有f'(x)＞0．

(2)单纯的一点导数大于0，不能推出函数的单调性，但一点的导数大于0，有一个基本不等式需要知道：，对x∈(x0，x0+δ)，有f(x)＞f(x0)；对x∈(x0-δ，x0)，有f(x)＜f(x0)，当f'(x0)＜0有着与上面相反的结论．(用函数的局部保号性容易验证，在此省去)

11.

设函数，则f(x)在(-∞，+∞)内A.处处可导．B.恰有一个不司导点．C.恰有两个不可导点．D.至少有三个不可导点．正确答案：C[解析]当|x|＜1时，；

当|x|＞1时，

当|x|=1时，f(x)=1．

故

由y=f(x)的图形容易看到，x=1，x=-1是不可导点．事实上，因

故x=1是函数的不可导点．同理x=-1也是函数的不可导点．

若能想到重要极限“，i=1，2，…，m；ai＞0”，则本题便可更简单：，从图形上容易直接看出有两个不可导点．

12.

设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)＞0，f"(x)＞0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx＞0，则A.0＜dy＜Δy．B.0＜Δy＜dy．C.Δy＜dy＜0．D.dy＜Δy＜0．正确答案：A[解析]解法1

由条件知，y=f(x)单调上升且是凹的，于是根据Δy，dy的几何意义，从图上可直接得到0＜dy＜Δy，选A．

解法2

由凹曲线的性质，得f(x0+Δx)＞f(Δx)+f'(x0)Δx，Δx≠0，

于是f(x0+Δx)-f(x0)＞f'(x0)Δx＞0，Δx＞0，即Δy＞dy＞0，选A．

13.

设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是

A．若存在，则f(0)=0．

B．若存在，则f(0)=0．

C．若存在，则f'(0)存在．

D．若存在，则f'(0)存在．正确答案：D[解析]由f(x)在x=0处连续，要讨论f(0)的值，自然想到利用．对于A，由存在，于是

所以选项A正确．

对于B，将f(x)+f(-x)看成A中的f(x)，于是即有f(0)+f(-0)=0，故f(0)=0，选项B正确．

对于C，由A已知f(0)=0，按导数定义，有

由C之条件知f'(0)存在，故选项C亦正确．

于是余下只有D不正确，选D．可以举例说明D不正确，例如设f(x)=|x|，满足条件(存在)，但f'(0)不存在．

14.

设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A.-2f'(0)．B.-f'(0)．C.f'(0)．D.0．正确答案：B[解析]根据导数定义：，有

因此选B．

可以取一个具体的f(x)，如f(x)=x，则A，C，D都被排除．

15.

设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n)，其中n为正整数，则f'(0)=A.(-1)n-1(n-1)!．B.(-1)n(n-1)!．C.(-1)n-1n!．D.(-1)nn!．正确答案：A[解析]解法1

利用导数的定义有

解法2

记g(x)=(e2x-2)…(enx-n)，则f(x)=(ex-1)g(x)，于是f'(x)=exg(x)+(ex-1)g'(x)，则f'(0)=g(0)=(-1)n-1(n-1)!，选A．

16.

设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h'(1)=1，g'(1)=2，则g(1)等于A.ln3-1．B.-ln3-1．C.-ln2-1．D.ln2-1．正确答案：C[解析]h'(x)=e1+g(x)·g'(x)．

因h'(1)=1，g'(1)=2，故

三、解答题设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．1.

写出f(x)在[-2，0)上的表达式；正确答案：解

当-2≤x＜0，即0≤x+2＜2时，

f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)2-4]=kx(x+2)(x+4)．

2.

问k为何值时，f(x)在x=0处可导．正确答案：解

由题设知．f(0)=0．

令f'-(0)=f'+(0)，得，