考研数学二分类模拟题29

考研数学二分类模拟题29解答题1.

讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．正确答案：[解]因为，且，所以，即函数f(x，y)在点(0，0)处连续．

因为，所以f'x(0，0)=0，根据对称性得f'y(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导．

因为不存在，所以函数f(x，y)在(0，0)不可微．

2.

讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．正确答案：[解]因为，所以f(x，y)在点(0，0)处连续．因为，所以f'x(0，0)=0，由对称性得f'y(0，0)=0，即函数f(x，y)在点(0，0)处可偏导．

因为，且，所以函数f(x，y)在点(0，0)处可微．

3.

设z=f(etsint，tant)，求正确答案：[解]

4.

设z=ex2+y2sinxy，求正确答案：[解]

5.

设，f有一阶连续的偏导数，求正确答案：[解]

6.

设u=xyz，求du．正确答案：[解]u=xyz=eyzlnx，

7.

设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)所确定，其中f是可微函数，计算并化成最简形式．正确答案：[解]x22+y2+z2=xyf(x2)两边对x求偏导得，解得；

x2+y2+z2=xyf(z2)两边对．y求偏导得，解得，故

8.

设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z=f(2x-y)+g(x，xy)，求正确答案：[解]

9.

设z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求正确答案：[解]

10.

设z=f(x3+y2，xy，x)，其中f(u，v，ω)二阶连续可偏导，求正确答案：[解]

=4xyf"11+2(x2+y2)f"12+f'2+xyf"22+2yf"31+xf"32．

11.

设z=z(x，y)由x-yz+yez-x-y=0确定，求及dz．正确答案：[解]方程x-yz+yez-x-y=0两边对x求偏导得解得

方程x-yz+yez-x-y=0两边对y求偏导得解得

12.

设z=f(x-y+g(x-y-z))，其中f，g可微，求正确答案：[解]等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对x求偏导得，解得

等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对y求偏导得，解．

13.

设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：正确答案：[证明]，z=y+xφ(z)两边对x求偏导得，

解得则z=y+xφ(z)两边对y求偏导得，解得，则，所以

14.

设xy=xf(z)+yg(z)，且xf'(z)+yg'(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明：

正确答案：[证明]xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得及解得于是

15.

设z=f(x，y)由方程z-y-x+xez-y-x=0确定，求dz．正确答案：[解]对z-y-x+xez-y-x=0两边求微分，得

dz-dy-dx+ez-y-xdx+xez-y-x(dz-dy-dx)=0，

解得

16.

设u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程exy-y=0与ez-xz=0确定，求正确答案：[解]，方程exy-y=0两边对x求导得，解得

方程ez-xz=0两边对x求导得，解得

则

17.

设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求正确答案：[解]z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0两边对x求导数，得

解得

18.

设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求正确答案：[解]将y=f(x，t)与G(x，y，t)=0两边对x求导得解得

19.

设且F可微，证明：正确答案：[证明]两边对x求偏导得解得两边对y求偏导得，解得，于是

20.

设变换可把方程简化为，求常a．正确答案：[解]将u，v作为中间变量，则函数关系为则有

将上述式子代入方程得，

根据题意得解得a=3．

21.

设z=f[x+φ(x-y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求正确答案：z=f[x+φ(x-y)，y]两边关于y求偏导得

=f"11(φ')2-2f"12φ'+f'1φ"+f"22．

22.

设，求f(u，v)，并求正确答案：[解]令，则，从而，

于是

23.

求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．正确答案：[解]二元函数f(x，y)的定义域为D={(x，y)|y＞0}，

由得，

则

因为AC-B2＞0且A＞0，所以为f(x，y)的极小点，极小值为．

24.

求u=x2+y2+z2在上的最小值．正确答案：[解]令

由得，代入得从而u=x2+y2+z2在上的最小值为

25.

平面曲线绕x轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．