2025千题百炼-高中数学100个热点问题（三）：第93炼 算法-多项循环体含答案

2025千题百炼——高中数学100个热点问题（三）：第93炼算法—多项循环体含答案第93炼含多次循环的程序框图一、基础知识：1、如果在框图运行中，循环次数过多，则不易一一列举，费时费力，则要通过列举出的前几个例子找到规律，并推断出循环临近结束时各变量的值2、找规律：在多次循环的框图中，变量的取值通常呈现出以下几点规律：（1）与数列的求和相关：框图中某个变量与求和相关，且在每次循环中所加上的项具备特点，如同数列的通项公式。那么则可通过归纳出数列的通项公式从而判断求和方法（2）与周期性相关：框图经过几次循环后，某个变量的值存在周期性，那么可通过周期性即可判断出循环临近结束后，变量的取值。（3）计数变量：在较多次的循环中，往往会有一个变量，在每次循环时，它的值都加1，则该变量的值可代表循环的次数，这样的变量称为计数变量。由于多次循环不能一一列出，所以需要在前几次的列举中发现输出变量与计数变量间的”对应关系“以便于在最后一次循环时，可通过计数变量的值确定输出变量的取值或者是在求和中最后一次加上的项二、典型例题：例1：右图是表示分别输出的值的过程的一个程序框图，那么在图中①②处应分别填上()A.≤,B.≤,C.≤,D.≤,思路：通过框图可发现代表求和，而变量是成为求和中的每一项，依题意，每项的底数为奇数（相差2），所以在执行框②中填入的应该是，在判断框①中，只要不满足①的条件则结束循环，从选项中可判断是关于的条件，且最后一次输出前，所加的项为，然后，所以判断框中应填写，故选C答案：C例2：某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A． B． C． D．思路：从判断框中发现循环次数较多，所以考虑进行几次循环，并寻找规律：①②③④⑤由此可发现的值呈周期性变化，且周期为，最后一次循环，所以，所以的值与②相同，即答案：B例3：某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.B.C.D.思路：程序运行中变量变化如下：①②③④⑤⑥⑦可发现的取值以6为周期，当时，循环结束，因为，故此时的值与时的一致，所以答案：D例4：如果执行右边框图，输入，则输出的数等于（）A.B.C.D.思路：可先进行几次循环观察规律：①②③通过三次循环即可观察到为数列（其中）进行求和，即考虑在第次循环时的通式，通过通项公式特征可用错位相减法求和：再考虑最后一次循环时，按照前面的对应关系，循环的序数为，代入可得：答案：A例5：执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的（）A.B.C.D.思路：可先执行几次循环：①②③，依次类推可得：第次循环中，若输入的，则考虑时，，故当时，跳出循环，所以输出的答案：C例6：若执行右边的程序框图，输出的值为4，则判断框中应填入的条件是（）A.B.C.D.思路：可先通过几次循环寻找规律：①②③由此可发现：第次循环：，且即，因为输出，所以，解得，所以应该在后结束循环，判断框应填入答案：C例7：某算法的程序框图如图，输入，若输出结果满足，则输入正整数的最大值是___________思路：通过流程图可观察到可视为数列通过裂项相消求和得到。即解得，从而输入的最大值为答案：例8阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序（其中，表示“等于除以4的余数”）输出值等于_________思路：通过可知框图的关键为除以4的余数，且输出的为一个求和，先做几个循环寻找规律：①，，②，，③，，④，，⑤，，由此可得：的取值呈周期性。最后一次循环是，而，所以时，，且共进行了次循环，所以答案：例9：如图，程序框图运算的结果为________思路：由于，经历的循环次数较多，所以考虑求和中的规律。先通过几次循环寻找：①②③……可观察到，从而联想到数列求和。很难从通项公式入手，观察到相邻两项存在平方差特点，所以考虑两两分组。，则答案：例10：阅读右面的程序框图，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是（）A．B．C．D．思路：通过几次循环观察特点：①②③通过三次循环便可发现，为偶数和，为奇数和，从而寻找最后一次循环，则答案：D三、历年好题精选1、执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．2、21.（2015，湖南）执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的()A.B.C.D.3、（2015，北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B． C． D．4、（2015，福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()A．2B．1C．0D．5、（2015，陕西）根据右边的图，当输入为2006时，输出的（）A．28B．10C．4D．26、（2015，天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A.-10B.6C.14D.187、（2015，山东）执行右边的程序框图，输出的的值为.8、（2014，北京）当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A.B.C.D.9、（2014，湖北）设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为(例如，则）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果________．10、执行如图所示的程序框图，输出，那么判断框内应填（）A.B.C.D.答案：A11、定义某种运算，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．4B．8C．11D．1312、下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为，则在判断框中应填入关于的判断条件是（）A．B．C．D．习题答案：1、答案：C解析：执行的程序流程如下：①②③……可知周期为2，且为奇数时，，为偶数时，；最后一次循环时，此时的2、答案：B解析：①②②，满足，结束循环3、答案：B解析：①②③，满足，结束循环4、答案：C解析：①②③④⑤，满足，结束循环5、答案：B解析：①；②；③，…，以此类推下去，可知第1003次运行时，；第1004次运行时，，不满足，结束循环，所以6、答案：B解析：①②③，满足，结束循环7、答案：.解析：①②此时不成立，结束循环8、答案：C解析：由已知可得：的初始值为，循环结束判断条件为：，循环过程如下：①②③，此时满足，循环结束9、答案：495解析：本题循环结束的条件并非大于（或小于）一个值，所以要读懂此程序的过程和结束的条件。为的差，循环结束时意味着，即的差与原数相等。设，若最大，则的个位不是与矛盾；若最大，则的百位不是也与矛盾；所以最大。当时，，可得：，由可得，进而可推断出，从而10、答案：A解析：通过观察框图可得表示一个数列的求和，且数列的通项公式为，从而考虑裂项相消进行求和，则，所以，结果为，可知求和时的，但由于在求和后，所以循环结束后的，所以判断框应填入的是11、答案：D解析：由框图可知运算的关键在于的大小，先计算，即，所以；另一部分，，所以式子的和为12、答案：C解析：执行循环程序结果如下：①②③此时循环应该终止，所以可知判断条件为，可终止循环第94炼极坐标与参数方程极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题一、基础知识：（一）极坐标：1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系2、点坐标的刻画：用一组有序实数对确定平面上点的位置，其中代表该点到极点的距离，而表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴重合，则同一个点可具备极坐标和直角坐标，那么两种坐标间的转化公式为：，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程（在转化成时要设法构造，然后进行整体代换即可）（二）参数方程：1、如果曲线中的变量均可以写成关于参数的函数，那么就称为该曲线的参数方程，其中称为参数2、参数方程与一般方程的转化：消参法（1）代入消参：（2）整体消参：，由可得：（3）平方消参：利用消去参数例如：3、常见图形的参数方程：（1）圆：的参数方程为：，其中为参数，其几何含义为该圆的圆心角（2）椭圆：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为椭圆的离心角（3）双曲线：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为双曲线的离心角（4）抛物线：的参数方程为，其中为参数（5）直线：过，倾斜角为的直线参数方程为，其中代表该点与的距离注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解二、典型例题：例1：已知直线参数方程为，圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为____________思路：将参数方程转化为一般方程：所以圆心为，到直线的距离为：答案：例2：以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点的极坐标为，曲线的参数方程为，则曲线上的点到点距离的最大值为___________思路：，故曲线上距离最远的距离为到圆心的距离加上半径，故答案：例3：已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为，则圆截直线所得弦长为__________思路：圆的方程为：，对于直线方程，无法直接替换为，需构造再进行转换：再求出弦长即可：答案：例4：已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为_____________思路：曲线方程为，联立方程可解得：或（舍）由可得：所以，坐标为答案：例5：在极坐标系中，直线与曲线相交于两点，且，则实数的值为_____________思路：先将直线与曲线转化为直角坐标方程：，曲线，所以问题转化为直线与圆相交于，且，利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离即，解得或答案：或例6：以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点，则_________思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于，这种特殊的极坐标方程可以考虑数形结合来确定直线：即，曲线消参后可得：即圆心是，半径为的圆，所以，答案：小炼有话说：对于形如的极坐标方程，可以作出图像并根据图像得到直角坐标方程，或者可以考虑对赋予三角函数，然后向直角坐标进行转化：例7：在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是______________思路：将转变为直角坐标系的普通方程。，则为直线与双曲线位置关系，联立方程，利用韦达定理求得弦长即可解：的方程为联立方程可得：代入消去可得：设交点则答案：例8：已知曲线的极坐标方程分别为，其中，则曲线交点的极坐标为_______思路一：按照传统思路，将转变为直角坐标系的普通方程，求出交点坐标后再转换为极坐标解：或将两个点转化为极坐标分别为，因为，所以只有符合条件思路二：观察到所给方程形式简单，且所求也为极坐标，所以考虑直接进行极坐标方程联立求解解：代入消去可得：交点坐标为小炼有话说：（1）思路一中规中矩，但解题过程中要注意原极坐标方程对的限制条件（2）思路二有些学生会对联立方程不很适应，要了解到极坐标中的本身是实数，所以关于它们的方程与方程一样，都是实数方程，所以可以用实数方程的方法去解根，只是由于其具备几何含义（尤其）导致方程形式有些特殊（数与三角函数）。但在本题中，通过代入消元还是容易解出的例9：已知在极坐标系中，为极点，圆的极坐标方程为，点的极坐标为，则的面积为___________思路一：将转变为直角坐标系方程：，所以，再求出的直角坐标为，则，因为，所以，且，所以思路二：本题求出后，发现其极坐标为，而，所以可结合图像利用极坐标的几何含义求解，可得，，所以答案：

小炼有话说：（1）在思路一中面积的求法用向量求解还可以更为简单：，所以，代入即可（2）思路二体现了极坐标本身具备几何特点，即长度（）与角，在解决一些与几何相关的问题时，灵活运用极坐标的几何含义往往能达到出奇制胜的效果例10：在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设点，曲线交于，求的值思路一：将转化为直角坐标系下普通方程：，，联立方程，解出坐标，再求出即可解：设，思路二：本题在思路一的基础上通过作图可发现三点共线，则可以考虑将转变为向量的数量积，即，进而向量坐标化后整体代入即可解：（前面转化方程，联立方程同思路一）设，由得思路三：观察到恰好是直线参数方程的定点，且所求恰好是到的距离，所以联系到直线参数方程中参数的几何含义。只需求得对应参数的乘积即可解：设，则有，，则有代入到中可得：所以是方程的两根，整理可得：答案：小炼有话说：（1）思路二体现了处理线段模长乘积时，可观察涉及线段是否具备共线特点，如果具备可以将其转化为向量的数量积，从而简化运算，但要注意与图像结合，看好向量是同向还是反向（2）思路三体现了对直线参数方程中参数几何含义的巧用。在处理两条曲线（其中一条为参数方程）的交点问题时，可以将参数代换掉另一曲线中的得到关于参数的方程。另外在使用直线参数方程时，要注意参数前面的系数应该是该