第二部分第五章第1讲圆的基本性质

1、第五章 圆 第 1 讲 圆的基本性质 1理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系 2了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征 1圆的有关概念及性质 (1)圆：平面上到_的距离等于_的所有点组成 的图形叫做圆 圆是_对称图形，也是_对称图形 不共线的_可确定一个圆 定点定长 轴中心 三点 (2)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧称为 _，小于半圆的弧称为_ (3)弦：连接圆上_的线段叫弦，经过圆心的弦叫做 _ (4)垂径定理及其推论：垂直于弦的直径_这条弦， 并且_弦所对的弧；平分弦(不是直径)的直径_ 于弦，并且平分弦所对的_ (5)圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中

2、，相等的 _所对的弧相等，所对的弦相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、_、两条 弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 优弧劣弧 任意两点 直径 平分 平分垂直 弧 圆心角 两条弧 2与圆有关的角及其性质 (1)圆心角：顶点在_，角的两边和圆相交的角 圆周角：顶点在_，角的两边和圆相交的角 (2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，等于它所对的圆心角的_ 推论：直径所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦 是直径 【方法规律】 1圆心角、弧、弦的关系定理成立的前提条件是在同圆或 等圆中 2在应用垂径定理及推论进行计算时，往往要构造直角三 角形，根据垂

3、径定理及勾股定理进行求解 圆心 圆上 一半 直角 垂径定理 例题：(2012 年黑龙江哈尔滨)如图 511， O 是ABC 的外接圆，B60，OPAC 于点 P，OP2 ，则 O 的半径为(). 图 511 A4B6C8D12 思路分析：先求出AOC 的度数，利用三角形的内角和定 理求出OAC30，利用 30所对的直角边等于斜边的一半， 根据 OP 的长可得出 OA 的长，即为圆 O 的半径 答案：A 【题型突破】 类型：垂径定理的应用 1(2012 年贵州遵义)如图 512，AB 是 O 的弦，AB 的长为 8，P 是 O 上一个动点(不与 A，B 重合)，过点 O 作 OCAP 于点 C，

4、ODPB 于点 D，则 CD 的长为_ 图 512 4 AE 3015(cm)， 2(2012 年江苏南通)如图 513， O 的半径为 17 cm，弦 ABCD，AB30 cm，CD 16 cm，圆心 O 位于 AB，CD 的上方，求 AB 和 CD 之间的距离 图 513 解：如图 D13 过点 O 作弦 AB 的垂线，垂 足为 E，延长 AE交 CD 于点 F，连接 OA，OC. ABCD，OFCD. AB30 cm，CD16 cm， 图 D13 在RtAOE中，OE2OA2AE2172152，OE8 cm. 在RtOCF中，OF2OC2CF217282， OF15 cm. EFOFOE

5、1587(cm) 答：AB和CD的距离为7 cm. 圆周角、圆心角之间的关系 【题型突破】 类型一：圆周角定理的应用 3(2012 年湖北随州)如图 514，AB 是 O 的直径，若BAC35，则ADC () A35 C70 B55 D110 图 514 B 类型二：圆内接四边形的性质 4(2012 年山东青岛)如图 515，点 A，B，C 在 O 上， AOC60，则ABC 的度数是_ 图 515 150 类型三：与圆周角、圆心角有关的综合应用 5(2012 年四川凉山州)如图 51 6，已知直径为 OA 的 P 与 x 轴交于 O，A 两点，点 B，C 把 OA 三等分，连 接 PC 并延

6、长 PC 交 y 轴于点 D(0,3)求 证：POD ABO.图 516 证明：连接 PB，直径为 OA 的 P 与 x 轴交于 O，A 两 点，点 B，C 把 OA 三等分， PA PB， PAB 是等边三角形 ABPA ，BAO60. ABOP，BAOOPD. 在POD 和ABO 中， OPDBAO, OPBA ，PODABO， POD ABO(ASA) 小结与反思：直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等. 1(2012 年广东)如图 517，A，B，C 是 O 上的三个 点，ABC25，则AOC 的度数是_ 2(2012 年广东珠海)如图 518，AB 是

7、O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，如果 AB26，CD24，那么 sinOCE _. 图 517图 518 50 3(2012 年广东湛江)如图 519，在半径为 13 的 O 中， OC 垂直弦 AB 于点 B，交 O 于点 C，若 AB24，则 CD 的长 是_ 4(2012 年广东深圳)如图 5110， C 过原点，且与两 坐标轴分别交于点 A，点 B，点 A 的坐标为(0,3)，M 是第三象 限内 OB 上一点，BMO120，则 C 的半径长为( ) A6B5C3D3 图 519图 5110 8 C 5(2011 年广东茂名)如图 5111， P 与 y 轴相切于坐 标原点 O(0

8、,0)，与 x 轴相交于点 A(5,0)，过点 A 的直线 AB 与 y 轴的正半轴交于点 B，与 P 交于点 C. (1)已知 AC3，求点 B 的坐标； (2)若 ACa，D 是 OB 的中点问：点 O， P，C，D 四点是否在同一圆上？请说明理由 如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为 含 a 的代数式表示) 图 5111 解：(1)连接 OC，OA 是 P 的直径，OCAB. 在 RtAOC 中，OC 4. 在 RtAOC 和 RtABO 中， CAOOAB， RtAOCRtABO. (2)点 O，P，C，D 四点在同一个圆上，理由如下： 如图 D14，连接 CP，CD，DP， OCA

9、B，D 为 OB 上的中点， 图 D14 又OPCP，12. 132490， PCCD. 又DOOP, 点，故圆心 O1 RtPDO 和 RtPDC 是同以 PD 为斜边的直角三角形 PD 上的中点到点 O，P，C，D 四点的距离相等， 点 O，P，C，D 在以 DP 为直径的同一个圆上 由上可知，经过点 O，P，C，D 的圆的圆心 O1 是 DP 的中 由(1)，知：RtAOCRtABO， (3)若 O的半径为5，AF ，求 6(2011 年广东肇庆)已知：如图 5112，ABC 内接 于 O，AB 为直径，CBA 的平分线交 AC 于点 F，交 O 于 点 D，DEAB 于点 E，且交 AC 于点 P，连接 AD. (1)求证：DACDBA； (2)求证：P 是线段 AF 的中点； tanABF 的值 图 5112 (1)证明：BD 平分CBA， CBDDBA. DAC 与CBD 都是弧 CD 所对的圆周角， DACCBD，DACDBA. (2)证明：