高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)

1、高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳：名称椭圆y图 象Ox平面内到两定点F1 ,F2 的距离的和为常数（大于F1F2 ）的动点的轨迹叫椭圆即 MF1MF2 2a定 义c 时，轨迹是椭圆，当 2 a 2当2 a 2 c 时 ， 轨 迹 是 一 条 线 段F1 F2当 2 a 2 c 时，轨迹不存在双曲线yOx平面内到两定点F1, F2 的距离的差的绝对值为常数（小于F1 F2 ）的动点的轨迹叫双曲线即MF1MF22a当 2 a 2 c 时，轨迹是双曲线当 2 a 2 c 时，轨迹是两条射线当 2 a 2 c 时，轨迹不存在焦点在 x 轴上时：x2y2ab1x 2y222焦点在 x 轴上时：1a

2、 2b 2标 准焦点在 y 轴上时： y 2x 2方 程1焦点在 y 轴上时： y 2x2a2b21注：根据分母的大小来判断焦点在哪一a 2b2坐标轴上常 数a,b,ca 2c2b2 ， ab 0 ，c2a2b2 ， c a 0的 关a 最大， cb, cb, cbc 最大，可以 a b, ab,ab系焦点在 x 轴上时： xy0渐 近ab线焦点在 y 轴上时： yx0ab抛物线：_（版权所有翻版必究）图形yOFlyxFOxl方222 px( p0)y2 px( p0)x22 py( p0)x22 py( p 0)y程焦p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )(点2222准pxpypy

3、px2222线（一）椭圆1. 椭圆的性质：由椭圆方程x 2y 2ab0)a 21(b 2（ 1）范围：a xa，- bx a ，椭圆落在 xa，yb 组成的矩形中。（ 2）对称性 : 图象关于 y 轴对称。图象关于 x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。 x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。（ 3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：A ( a,0),A2 (a,0) ， B (0,b), B2 (0,b) 。加两焦点 F1 (c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊点。 A1 A2 叫椭圆的长轴， B1

4、 B2叫椭圆的短轴。长分别为2a,2b 。 a, b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。（ 4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。ce1b)2e(。 0 e 1 。aa椭圆形状与 e的关系： e0, c 0，椭圆变圆， 直至成为极限位置圆， 此时也可认为圆为椭圆在 e 0 时的特例。 e 1, ca, 椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1 F2 ，此时也可认为是椭圆在e 1时的特例。2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数 e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率。椭圆的第二定义

5、与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式3. 椭圆的准线方程对于 x2y 21 ，左准线 l1 : xa2；右准线 l 2: xa 2a2b2cc对于 y2x21，下准线 l 1 : ya 2；上准线 l 2 : ya2a2b2cc_（版权所有翻版必究）焦点到准线的距离a2a2c2b2pcc（焦参数）cc（二）双曲线的几何性质：1. （ 1）范围、对称性由标准方程 x2y21，从横的方向来看，直线x a,x a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着xa 2b2的增大， y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

6、。（ 2）顶点顶点： A1 (a,0), A2a,0 ，特殊点： B1 (0,b), B2 0, b实轴： A1 A2 长为 2a,a 叫做实半轴长。虚轴：B1B2 长为 2b， b 叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（ 3）渐近线过双曲线 x2y2 1的渐近线yb x （xy0）a 2b2aab（ 4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比 e2cc ，叫做双曲线的离心率范围： e12aa双曲线形状与e 的关系： kbc2a2c21e21 ， e 越大，即渐近线的斜率的绝对aaa2值就越大， 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知， 双曲线的离心率越大

7、，它的开口就越阔。2. 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为：yx ；（2）渐近线互相垂直； （ 3）离心率 e2 。3. 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为yb xkb x(k 0) ，那么此双曲线方程就一定是：a kax2y21( k 0) 或写成x2y2。(ka)2(kb)2a2b24. 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量 a,b,c 中 a,b 不同（互换） c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方

8、法：将1 变为 1。5.双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数ec (c a 0) 的点的轨迹是a双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e 是双曲线的离心率。_（版权所有翻版必究）6. 双曲线的准线方程：对于 x2y 21 来说，相对于左焦点F1 ( c,0) 对应着左准线 l1 : xa2，相对于右焦点 F2 (c,0) 对a2b 2ca2应着右准线l2 : x；c焦点到准线的距离pb2（也叫焦参数） 。c对于 y2x 21 来说，相对于下焦点 F1 (0,c) 对应着下准线 l1 : ya2；相对于上焦点 F2 (0, c) 对a2b2c

9、应着上准线 l2a2: y。c（三）抛物线的几何性质（ 1）范围因为 p 0，由方程 y22 px p0 可知，这条抛物线上的点M的坐标（ x，y）满足不等式x0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。（ 2）对称性以 y 代 y，方程 y 22 px p0 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。（ 3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程y 22 px p0 中，当 y 0 时， x 0，因此抛物线 y 22px p0 的顶点就是坐标原点。（ 4）离心率抛物线上的点 M与焦点的距离和它

10、到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示。由抛物线的定义可知， e 1。【典型例题】例 1.根据下列条件，写出椭圆方程（ 1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2 、长轴长为8；（ 2）和椭圆9x2 4y2 36 有相同的焦点，且经过点（2， 3）；（ 3）中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是105。分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2 b2 c2 及已知条件确定 a2、 b2 的值进而写出标准方程。解：（ 1）焦点位置可在x 轴上，也可在y 轴上_（版权所有翻版必究）因此有两解： x 2

11、y 21或 y 2x 2116121612（ 2 ）焦点位置确定，且为（0 ，5 ），设原方程为y2x21 , （ ab0），由已知条件有a2b2a 2b25a215,b2y 2x 294110 ，故方程为1。a2b 21510x 2y2（ 3）设椭圆方程为2ba21, （ ab0）bc及 a2 b2c2，解得 b 5, a10由题设条件有c10a5故所求椭圆的方程是x 2y2101。5例 2.直线 ykx1与双曲线 3x2y21 相交于、B两点，当a为何值时，、B在双曲线的同一支AA上？当 a 为何值时， A、 B 分别在双曲线的两支上？解：把 y kx 1代入 3x2y 21整理得： (3

12、a 2 ) x 22ax20 （ 1）当 a3 时，244a2由0 得6a6 且 a3 时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若 A、 B 在双曲线的同一支，须x1 x2203或a3。a 2，所以 a3故当6a3或3a6时， A、B 两点在同一支上；当3a3 时， A、B 两点在双曲线的两支上。例 3.已知抛物线方程为y22p(x 1) （p0），直线 l : xym 过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求 p 的值。解：设 l 与抛物线交于A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |3.由距离公式 |AB| (x 1 - x 2 ) 2( y 1y 2 )

13、211| y1y2 |2 | y1y 2 |k 2_（版权所有翻版必究）则有 ( yy)29.122xy1p2 ，消去 x ，得 y 22 py p 20由y 22 p( x1)(2 p) 24 p 20.y1y22p, y1 y2p2 .从而 ( y1y 2 ) 2( y1 y2 ) 24 y1 y2即 ( 2 p) 24 p 2923由于 p0，解得 p4例 4. 过点 (1 ，0)的直线 l与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2 的椭圆 C相交于 A、B 两点，直2线 y= 1 x 过线段 AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆 C 的方2程

14、.解法一：由 e= c2 , 得 a2b 21 , 从而 a2=2b2,c=b.a2a 22设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 .则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 两式相减得，(x12 x22)+2(y12 y22)=0, y1y2x1x2 .x1x22( y1y2 )设 AB 中点为 (x0,y0), 则 kAB= x0 ,2yy0又 (x0,y0)在直线 y= 1 x 上， y0= 1 x0,221y=xB2于是x0 = 1,kAB= 1,2y0F 2oF1x设 l 的方程为 y= x+1.A右焦点 (b,0)关于 l 的

15、对称点设为 (x ,y ),y1则 x解得 x1bbyxy1 b221由点 (1,1 b) 在椭圆上，得 1+2(1 b)2=2b2,b2= 9, a 29.168所求椭圆 C 的方程为 8x216 y2=1,l 的方程为 y= x+1.99解法二：由 e= c2 , 得 a2b21 , 从而 a2=2b2,c=b.a2a 22设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l的方程为 y=k(x 1),_（版权所有翻版必究）将 l 的方程代入 C 的方程，得 (1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0,则 x1+x2=4k 2,y1+y2=k(x1 1)+k(x2 1)=k(x1+x2)

16、2k= 12k.12k 22k2直线 l ： y= 1x 过 AB的中点 (x12x2, y1y2), 则k12k 2,221 2k 22 1 2k 2解得 k=0，或 k= 1.若 k=0, 则 l的方程为 y=0, 焦点 F(c,0) 关于直线 l的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆C 上，所以 k=0 舍去，从而 k= 1，直线 l的方程为 y= (x 1), 即 y= x+1, 以下同解法一 .解法 3：设椭圆方程为x2y21(ab0)(1)a2b2直线 l不平行于 y 轴，否则 AB中点在 x 轴上与直线y1 x过 AB 中点矛盾。2故可设直线 l的方程为 yk( x1) (2)(2

17、)代入 (1)消 y整理得：(k 2 a 2b 2 ) x 22k 2 a 2 xa2 k 2a 2b 2 0 (3)设A(x1，y1 ) B( x2，y2 ) ， 知： x1x22k 2 a 2k 2a 2b2又 y1y 2k (x1x2 ) 2k代入上式得：kx12k1 ，k 2k k 2 a 2b 21 ，kkb 21 ， 又e2x222k 2 a 22ka 222k2b 22(a 2c 2 )22e21，直线 l的方程为 y 1x ，a2a 2此时 a22b2，方程(3)化为3x24x2b 20，1624(1b 2 )8(3b 21) 02b3 ， 椭圆 C的方程可写成： x22 y

18、22b2 ( 4)， 又 c2a 2b 2b 2 ，3右焦点 F (b，0) ， 设点 F关于直线 l 的对称点 ( x0， y0 ) ，y01x0b则x， y01b ，y0x0b01122又点 (1，1b)在椭圆上，代入(4)得：12(1b )2b2 ，b33 ，43b29 ，a 29168所以所求的椭圆方程为：x2y219 98 16例 5.如图，已知 P1OP2的面积为27 ，P 为线段 P1P2 的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且4_（版权所有翻版必究）过点 P 的离心率为13 的双曲线方程 .2解：以 O为原点， P1OP2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系 .

19、设双曲线方程为x 2y2=1(a 0,b0)a2b2y由 e2= c 2P 21(b ) 2(13 )2 ，得 b3 .a 2a2a2两渐近线 OP1、 OP2方程分别为 y= 3 x 和 y= 3 x22P设点 P1(x1,3 x1),P2(x2, 3x2)(x1 0,x2 0),ox22则由点 P 分 P1 P2 所成的比 = P1 P =2,P 1PP2得 P 点坐标为(x12x2,x12 x2),3222又点 P 在双曲线 x24y 2 =1 上，a9a( x2x) 2(x12 x)2所以122=1,9a 29a 2即 (x1+2x2)2 (x1 2x2)2=9a2,整理得 8x1x2

20、=9a2又2921329213x14 x12x1 ,| OP |x24 x22x2|OP1|2 tan P1Ox23sin P1OP22121tan2 P1Ox91314S POP1 | OP1 | | OP2 | sin P1OP2113 x1 x21227 ,12224134即 x1x2=92由、得 a2=4,b2=9故双曲线方程为x2y2=1.49例 6.已知点 B（ 1，0）， C（ 1， 0）， P 是平面上一动点，且满足 | PC | | BC |PB CB.（ 1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；（ 2）已知点 A（m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD和

21、 AE，且 AD AE，判断：直线 DE是否过定点？试证明你的结论 .（ 3）已知点 A（ m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD，AE，且 AD，AE 的斜率 k1、k2 满足 k1k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.解：（ 1）设( ,)代入|PC| |BC|PB CB得(x1) 221,化简得 y2 4 .P xyyxx_（版权所有翻版必究）(2)将A(m,2)代入y24x得m1,点 的坐标为(1,2).A设直线 AD的方程为 y 2k(x1)代入 y 24x, 得y 2 4y840,444kk由y1可得y22).2k2, D( k 21, k同理可设直

22、线AE : y21( x1),代入y2得21,4k2).k4xE(4k44k则直线 DE方程为 : y4k2k(x4k21), 化简得4k 2 ( yk 24k2)k(x5)( y2)0,即y2k(x5), 过定点 (5,2).k 21(3)将A (m,2) 代入 y2设直线 DE的方程为ykx b由得 k 2 x2y 24 x4x得 m1,ykxb, D ( x1, y1 ), E ( x1, y1 )2(kb2) xb 20,y12y 22kAD kAE 2,1x22( x1 , x2 1),x11且 y1kx1b, y2kx2b(k 22) x1 x2 ( kb 2k 2)( x1x 2

23、 ) (b 2) 22 0,将 xx22(kb2) , xx2b 2代入化简得 b 2( k 2) 2 , b( k 2).1k 21k 2b(k2).将 bk2代入 ykxb得 ykxk2k (x1) 2, 过定点 ( 1,2).将 b2k代入 ykxb得ykx2kk( x1)2,过定点 (1,2), 不合 , 舍去 ,定点为 (1, 2)【模拟试题】 （答题时间： 50 分钟）一、选择题1.是任意实数，则方程x 2y 2sin4 所表示的曲线不可能是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆2.已知椭 x2( yt )21 的一条准线方程是 y8，则实数 t 的值是（）1221A.7或7B.

24、4或 12C.1 或 15D. 03.双曲线 x2y21的离心率 e(1,2) ，则 k 的取值范围为（）4k_（版权所有翻版必究）A.(,0)B.（ 12， 0）C.（ 3， 0）D.（ 60， 12）4.以 x2y21的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）412A.x2y21B. x2y 2116121216C.x2y21D. x2y 211644165.抛物线 y8mx2 的焦点坐标为（）A.( 1,0)B.(0,1 )C.(0,1)D. (1,0)8m32m32m32 m6.已知点 A（ 2，1）， y24 x 的焦点为 F， P 是 y24 x 的点，为使 PAPF 取得最小值， P 点的坐标是（）A.( 1,1)B.( 2,2 2)C.(1 ,1)D.(2, 22 )447.已知双曲线的渐近线方程为3x4 y0 ，一条准线方程为5y90，则双曲线方程为（）A.