高考数学椭圆性质

1、祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！椭圆与双曲线的对偶性质- （必背的经典结论）椭圆1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1 F2 在点 P 处的 外角 .2.PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5.x2y2x0 xy0 y1.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆b21上，则过 P0 的椭圆的切线方程是b2a2a26.x2y21外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，

2、则切若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆b2a2点弦 P1P2 的直线方程是x0 xy0 y1.a2b2x2y27.椭圆1 (a b 0) 的左右焦点分别为F1 ， F 2，点 P 为椭圆上任意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S FPF2b2 tan .12x2y28.椭圆1（ a b 0）的焦半径公式：a2b2| MF1 | aex0 , | MF2 |a ex0 ( F1 (c,0), F2 (c,0)M ( x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M 、N

3、 两点，则 MF NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、 Q, A 1、 A 2 为椭圆长轴上的顶点，A1P和AQ交于点 M，A P和 A1Q 交于点 N，则 MF NF.2211.ABx2y21 的不平 行于对称轴的弦， M ( x0 , y0 ) 为 AB的中点， 则是椭圆2b2akOMkABb2a2 ，即KABb2 x0。a2 y012.若 P0 ( x0, y0 )在 椭 圆x2y21内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2b2x0 x y0 yx02y0 2a2b2a2b2 .13.若 P0 ( x0, y0 )在 椭 圆x2y21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a2b

4、2第 1 页祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！x2y2x0 xy0 ya2b2a2b2 .双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角 .2.PT 平分 PF1 F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .4.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P 在右支；外切：P 在左支）5. 若P0( x0x2y21（ a 0,b 0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程, y0 ) 在双曲线2b2a是 x0 xy0 y1.a2

5、b2x2y26.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线1（ a 0,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切a2b2x0 xy0 y线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是1.a2b27.双曲线x2y21（ a 0,b o）的左右焦点分别为F1， F2，点 P 为双曲线上任a2b2意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为S FPFb2 co t .1228.双曲线x2y21（ a 0,b o）的焦半径公式： ( F1 (c,0) ,F2 (c,0)a2b2当 M (x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 |ex0a , | MF 2 |ex0a .当 M (x0

6、 , y0 ) 在左支上时， | MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则 MF NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、 Q, A 1、 A2 为双曲线实轴上的顶点， A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF.11.AB 是双曲线x2y21（ a 0,b0）的不平行于对称轴的弦，M ( x0 , y0 ) 为 ABa2b2b 2 x0 ，即 K ABb2 x0 。的中点，则

7、K OMK ABa 2 y0a 2 y012.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a 0,b 0）内，则被Po所平分的中点弦的a2b2方程是x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .第 2 页祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y2Po 的弦中点的轨迹方a22 1（ a 0,b 0）内，则过x2y 2b程是x0 xy0 ya2b2a2b2 .椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）高三数学备课组椭圆1.x2y21（ a b o）的两个顶点为 A1 (a,0) , A2 ( a,0)，与 y 轴平行

8、的直椭圆b2a2x2y2线交椭圆于P1、P21.时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是2b2a2.x2y 21 (a 0,b 0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直过椭圆 a2b2线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 kBCb2 x0（常数） .a2 y03.若 P为椭圆x2y21 （ a b 0 ）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点 ,a2b2PF1 F2,PF2 F1actanco t.，则ca22x2y24. 设椭圆 2 b2 1（ ab 0）的两个焦点为 F1 、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上a任意一点，在PF1F2 中，记

9、F1 PF2,PF1F2, F1F2 P，则有since.sinsina5.若椭圆x2y21（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L ，则当 0a2b2 e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .6.x2y21（ a b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为椭圆内一定点，P 为椭圆b2a2则 2a|AF2|PA| PF1 | 2a| AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立 .第 3 页祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！7.椭圆(x x0 ) 2( y y0 )2与直线有公共点的充

10、要条件是a2b21AxByC0A2 a2B2b2( Ax0By0 C )2 .8.x2y21（ a b 0）， O 为坐标原点， P、 Q为椭圆上两动点，且已知椭圆2b2aOPOQ .（ 1）1111;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为4a2b22|OQ |2a2b2a2b2 ;|OP |（ 3） S OPQ 的最小值是a2b2.a2 b2x229.y1（ a b0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦过椭圆ba22|PF |eMN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|MN |.210.x2y21（ ab 0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平已知椭圆b2a2分线

11、与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则a2b2x0a2b2aa.11.设 P 点是椭圆x2y 21（ a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1 、F2为其焦点a2b2记 F1PF2，则 (1) | PF1 | PF2 |2b2.(2)S PF1 F2b2 tan .1cos2x2y212. 设 A 、 B 是椭圆 a221（ a b 0）的长轴两端点， P 是椭圆上的一点，bPAB,PBA,BPA， c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有2ab2 | cos|tan22a2 b2cot .(1)| PA|2c2 cos2.(2)tan1 e .(3) S PABb2 a2ax2y2

12、1（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F13. 已知椭圆b2a2的直线与椭圆相交于A 、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .第 4 页祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！16. 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).（注 : 在椭圆焦三角形中,

13、非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线x2y21 （ a 0,b 0）的两个顶点为 A1 ( a,0) , A2 (a,0)，与 y 轴1. 双曲线b2a2x2y2平行的直线交双曲线于P1、 21.1 12 2交点的轨迹方程是P时 A P与 A Pb2a2x2y22. 过双曲线 a221（ a 0,b o）上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互b补的直线交双曲线

14、于B,C 两点，则直线BC 有定向且 kBCb2 x02（常数） .a y03.若 P 为双曲线x2y21（ a0,b 0）右（或左） 支上除顶点外的任一点,F1,a2b2F2 是焦点,PF1 F2,PF2 F1， 则catanco t（ 或ca2ca2co t） .ctana224.设双曲线 x2y21（ a 0,b 0）的两个焦点为F1、 F2,P（异于长轴端点）a2b2为双曲线上任意一点，在PF1F2中 ， 记F1PF2,PF1F2,F1F2 Psince .，则有sin )a(sin5.x2y21（ a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L ，若双曲线2b2a第 5

15、页祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！则当 1 e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .6.P 为双曲线x2y21（ a 0,b 0）上任一点 ,F1,F2 为二焦点， A 为双曲线b2a2内一定点，则|AF2|2a | PA | | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和A, F2 在 y 轴同侧时，等号成立 .7.x2y21（a 0,b 0）与直线 AxBy C0 有公共点的充要条双曲线 a2b2件是 A2 a2B 2b2C 2 .8.已知双曲线x2y21（ b a 0），O 为坐标原点， P、Q

16、为双曲线上两动b2a2点，且 OPOQ .11114a2 b2（ 1）22a22 ;（ 2）|OP|2+|OQ|2 的最小值为2a2 ;（ 3）S OPQ|OP |OQ |bb的最小值是a2b22a2 .bx2y29.过双曲线 a2b21 （ a0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|PF |e|MN |.2x2y21（ a0,b 0）,A 、 B 是双曲线上的两点，线段AB 的10. 已知双曲线b2a2a2b2a2b2垂直平分线与x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0或 x0.aax2y211. 设 P 点是双曲线 a

17、221 （ a0,b 0）上异于实轴端点的任一点 ,F1、 F2b为 其焦 点记F1 PF2则 (1) | PF1 | PF2 |2b2，.(2)1 cosS PFFb2 cot .122x2y21（ a 0,b 0）的长轴两端点，P 是双曲线上的12. 设 A、 B 是双曲线2b2PABa一点，,PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1) | PA |2ab2 | cos| a2c2cos2.|(2) tantan12S PAB2a2b2e .(3)2a2 cot .b第 6 页祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！x2y21（a 0,b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲13. 已知双曲线b2a2线右焦点 F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BC x轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 .14.