太阳的视运动规律

1、太阳的视运动规律刘士达 2013.11-2014.02于哈尔滨关键词：地球自转、公转、视运动、太阳赤纬角、方位角、仰角、日出时间、手表定方位、日晷、四季变化、方位椭圆图、椭圆柱面图、全年方位椭圆变化图、太阳视运动模拟机、地转日象仪、 浑天仪内容提要：本文通过建立数学模型，用数学推导方法，得出太阳赤纬角、方位角、仰角、日出时间等计算公式，用公式在计算机上计算了一些数据。并且由所得公式，提出了方位椭圆图、椭圆柱 面图、全年方位椭圆变化图的概念，并研究了它们的特性，并且设计了太阳视运动模拟机， 让人们更易理解太阳视运动。本文从科普角度研究太阳的视运动，通过数学演算，弄清地球人看到太阳运动的规律性。本

2、文以哈尔滨为分析计算中心，这不失一般性。本文只关注北半球，也不失一般性。先说明附图中部所示。主视图中，O点是哈尔滨，它地处东经 126. 6北纬45. 6,这是作者自行在地图上测得认定的，不一定准 确。小圆D是经过哈尔滨的经线，F点是这经线和赤道的交点，D是地球中心，DF是地球半径r= 6370公里。DO和DF的夹角B是纬度角。过 O点圆D的切线CK是当地的地平面。 H点是正午时的太阳。DH= R=1.5亿公里，因为R太大，这里无法按比例画出，但这并不影响对问题的分析。a是当时的太阳赤纬角。地球自转每天一圈，造成太阳绕地轴转一圈的视运动。DE是地轴，HL是太阳视运动轨道圆的投影，沿着地轴投影下

3、来，圆E就是太阳轨道圆的俯视图，图上用j表示东经经度，圆半径为RCOS a,太阳轨道的地平面以上可见部分用粗线画出。将太阳轨道圆HL沿着铅垂线OD方向投影到地平面上，得到椭圆，作为向视图画出，太阳轨道圆平面和地 平面交线为CP，和CP平行的EB为椭圆长半轴，长度和圆半径EH相等，所以，长半轴 EB=RCOS a。由于平行四边形对角相等，得到/EHV=e,在EVH中EV=RCOS a SIN B。由于EH=EV 所以 椭圆短半轴 EH=RCOS a SIN e在xEy坐标系中，椭圆方程为x2/ RCOS a SIN B2+y2/ RCOS a 2=1y2= RCOS a 2 - x2/SIN2

4、e(1)北京时间用t表示，t=12时太阳运动到j=120 , t=0时正夜半，太阳在j=300 ，因此有 j=300 -t*15 /时(2)由(2),对于哈尔滨j=126.6，得到t=11.56时，太阳运动到正南方为显示当地情况，匀动角从j=126.6 起计，t=11.56时，0=0 因此有二(15/时)* (t-12 ) +6.6 (3)(一) 太阳赤纬角a的计算地球绕太阳公转，在视运动中，认为太阳绕地球转动，附图右下角画出太阳赤纬角a的计算小图，其中，D是地球，黄道面是太阳轨道面，它和赤道面夹角为3=23 26，春分点是春分时太阳所处的位置，在两平面交线上，春分后，太阳在黄道面上视运动，经

5、过一些时间，绕地球转过黄经Q角，到达 m点，过m点作交线垂线，垂足为p，过m点作赤道面的垂线，垂足是q,Z mpq是两平面二面角3。mD长度设为1,。/ mDq就是这时的太阳赤纬角a由mpD , pm=sin Q由mqp, mq= pm sin 3=sin Qsin 3由Dqm sin a = mq =sin Qsin 3将 Sin 3=0.39768代入，sin a =0.39768 sin Q(4 )用公式(4)按间隔15算出24个节气太阳赤纬角 a如下：芒种 小暑夏至秋分清明白露谷雨 处暑立夏立秋小满 大暑0 5.9111.4716.3320.1522.59 23.43寒露霜降立冬小雪大

6、雪春分惊蛰雨水立春大寒小寒冬至0- 5.91 -11.47-16.33 - 20.15 -22.59 -23.43 对于要计算某日某时某分的太阳赤纬角a ,先要在历书上找到这个时间之前之后最近的两个节气，并记下它们的准确时间，设前面一个节气是春分后的第I个节气，并设这个时间是在第 I个节气后的第 K小时， 再设第I个节气和第1+1个节气间共有W小时，其中I是正整数，K、W都是正实数，则有sin a =0.39768 sin15 * (I+ K/W ) (4)地球公转轨道接近正圆，一月初地球离太阳最近，七月初离太阳最远。地球离太阳距离最近和最远相差仅为3.3%，根据开普勒定律，单位时间内地球和太

7、阳连线扫过的面积相等，致使，地球公转角速度和离太阳距离平 方成反比。由此算出，最小角速度和最大角速度相差为6.7%。这个差值是连续 12节气的角速度单向增长变化值，也是另外连续12节气的角速度单向减少变化值，可见，相邻两节气角速度差别不大。(4)式就是认为相邻两季间的角速度保持不变，用线性插值来计算K时Q角的。数学模型中把太阳假设为一个点，那是是用太阳中心代表太阳。太阳的直径是地球直径的109倍，可以算出,太阳半径对地球的张角是 0.264,如果考虑太阳的大小，利用后续推得的诸式时， 调整相应a近似弥补。例如，在计算日出时，可以把太阳赤纬角a加上0.264,这样算出的日出时间，是见太阳就算日出

8、，而不是以太阳中心为准。当然也可以把太阳赤纬角a减去0.264 ,这样算出的日出时间，是太阳完全出来时才算日出。(二) 计算正午时太阳仰角图上看到正午时太阳仰角为 审/ HOK/ CHDa (平行线内错角)又/ EHV=e/ DHG=- a在DGH中 HG=RCOS(- a )DG=RSIN ( 0-a )在OKH中 HK=HG-r= RCOS(9 a )-rOK=DG=RSIN ( 9 a )Tg ( $ =HK/ OK=RCOS(9- a )-r / RSIN ( 9-a )= COS(9-a )-r / R / SIN( 9-a )因r/皆0.000042 , 略去Tg ( $ = CO

9、S( 9- a ) / SIN( 9-a )=ctg(故对于哈尔滨显然，如果$90- ( 9 -a )( 5)9=45.6 春分时或秋分时 a =0 , $44.4 夏至时 a =23 26,$67.8 冬至时 a = -23 26,$21 9-a 90 即$9 0正午时，太阳在头顶北方。(三) 计算日出日落时间和方位因为太阳轨道圆平面和地平面交线为CP，太阳在地平线下，是看不到太阳的，所以C点是日出点，P点是日落点。从俯视图上QH=QE+EH=-EHCOS 廿EH=RCOS a (1- COS 为从主视图上HK=HG-r=RCOS(& a )-rHC=HK / CO倂RCOS( 9- a )

10、-r / COS9 因 QH= HC且都代入上面的值得到RCOS a (1- COS 力=RCOS( 9- a )-r / COS9COS a (1- COS 力=COS( 9- a )-r/ R| / CO9 略去r/ R1- COS QCOS(9 a )/( COSCOS a)COSQ1- COS( 0-a )/( COSCOS a)= COSCOS a - COS( & a ) /( COSCOS a )= COSCOS a - COS 0 COS +SIN 0 SINa /( COSCOS a )=-SIN 0 SIN% /( COSCOS a )COS 入=tg 0 a(6)因为 0

11、+ a =90 时，|tg 0 tg |=1，正切为增函数，所以0+ a 90 , |tg 0 tg |1如果|tg 0 tg |1 ,即卩0+ a 90。时，(6)无解，入不存在，太阳不会落。例如，0=80 ，只要a 10时，就太阳不落。“赤纬角90 -纬度，就进入长昼状态”，由于长昼长夜的存在，北极圈内每年都会减天数。(四)计算太阳方位角随时间的变化在t时刻，太阳转过 角运动到m点，而在地平面上看到太阳转过2角，下面计算两者的关系E A=EU=EmSIN 0Em=EA=RCOS a COS 代入 EA= RCOS a SIN 6COS 这是m的x坐标，代入(1)y2= RCOS a 2 -

12、( RCOS a SIN 0COS)2/SIN 2 0y2= RCOS a 2 -( RCOS a COS )2y=RCOS a SIN 这是m的y坐标，所以mA= RCOS a SIN 这和mA长度相同，这说明因它和CP平行，长度在投影中没变。OA=OH-HAOA=DG-WmOA=DG-AH*SIN 0OA=DG-(EH-EA)*SIN0OA=RSIN ( 0- a )-(RCOS a -RCOS a COS * SIN 0OA=RSIN 0COS a -COS OSIN a -COS a SIN 0+ COS a SIN 0COSOA=RCOS a SIN 0COSQ-SIN a COS

13、0Tg 2 = mA / OA 由(8) (9)Tg 2=RCOS a SIN / RCOS a SIN COS OSIN a COS 0 Tg 2=COS a SIN / COS a SIN GCOS O-SIN a COS 0或 Tg 2= SIN / SIN SCOSQ-tg a COS 0在0 a确定后，2随着变化。日落时间为T,根据(3)?= (15 /时)* (T-12 ) +6.6 有了入，可计算出To 地平面上看到的日落方位为t根据(11)Tg t SIN V SIN 0COS 入tg a COS 0有了入，可计算出t 按( 6)、(12)、( 13) 春分、秋分时，入 =90

14、 日出在 夏至时， 日出在 冬至时， 日出在5点34分 ?=116.3,3点49分 ?=63.7 ,7点19分(8)(9)(10)(11)(12)(13)式计算，在哈尔滨，入=T17点34分入V T19点19分入 T15点49分,t=90日落在t=124.6日落在t=55.4 日落在结合仰角计算看出，就哈尔滨而言 夏至时仰角高 冬至时仰角低 所以造成夏热冬冷。我们用表示增量。对哈尔滨：审67.8,日照时间15小时30分; 审21, 日照时间8小时30分，角从0每增10,即取=10,排出程序，在计算机上，得到相应“角和 ，计算结果如下: 夏至时角：-10010 20304050607080901

15、00110116.3屮角：-23.4023.4 42.9 57.769.278.5 86.4 93.6 100.3 107.9113.5120.2124.6 2 o ：2.32.31.91.51.20.90.80.70.70.70.70.70.7春分秋分时角：-100102030405060708090屮角：-13.8013.8 27.038.949.6 59.167.675.4 82.890 2/o：1.41.41.31.21.11.00.90.80.70.7冬至时角：-100 10203040506063.7屮角：-9.809.819.328.537.145.152.755.4 2 :：1

16、. 0 1. 00.90.90.90.80.90.7 2=(2 At) / (2是 2、的变化速度比，在哈尔滨，中午时夏至为2.3,2转得很快，春分秋分为1.4, 2转得也快一些，冬至时为1,2和一样。都是15 /时。在日出日落时，-年中厶2 都是 0.7左右，即 2 t =10.5 /时（五）方位椭圆图规律向视图椭圆反映出观察点、太阳、2角、T角清楚显示地平面上太阳方位变化。这里就把它叫做方位椭圆图吧。附图右下角六个小图，都是方位椭圆图。图上0、I、N分别表示观察点、日出点、日落点，角标表示太阳赤纬角a值，或用xz、表示夏至，用dz表示冬至。为图上简洁，IN连线的中点S没有画出。在前面的公式

17、推导中，见到r/R都因加数太小而略去，将r/R按0处理。克服了作图不按比例的弊病。可是，在向视图中却留下了误差。因为图中r还不小。图上看，明摆着日出点是C,可是，若是r=0 ,地平面就降到IG位置，日出点就应是I，这才符合r/R= 0的事实。这说明应修改数学模型。但这里并不说明我们走了弯路，建立 模型时，要考虑周全，切忌随意简化。有了推导依据，才能合理简化模型。为正确画出椭圆图，将地平面改为IG ,进行下面推导在DGH 中 DG=RSIN(卜 a )=RSIN 0COS a -RCOS 6SIN a=HE- RCOS OSIN a而DG=HE- EOEO= RCOS OSIN a在DGH 中

18、HG=RCOS( O a )在IGH 中 HI=HG/COS O= RCOS( O a )/ COS O=RCOS O+R TG OSIN a=HE+ R TG OSIN a IE= R TG OSIN SE= IE SIN OSE= RSIN a TG EB=RCOSOSIN Oa，设长半轴为1则在椭圆图上，长半轴短半轴EH= SIN O两焦点距离之半的半焦距 =SQR（长半轴2 -短半轴2）=COS O 决定观察点位置的反映日出点位置的 这样处理，不同的EO= COS OTG aSE = TG OSIN OTG aa可以画在同一椭圆上，可方便形象地说明问题。(14)(15) (16) (1

19、7)(17)作椭圆有近似方法，也可利用椭圆上动点到两焦点距离之和恒等于长轴这一特性，用细线和铅笔画出椭圆。 椭圆图规律1，由于日出点日落点连线平行于椭圆长轴，每天的日出点和日落点关于正南方向线对称，中午 时刻-日出时刻=日落时刻-中午时刻。椭圆图规律2, O决定椭圆：由（14）当O=90，椭圆变成正圆，O=0,椭圆变成线段。O=0见图。椭圆图规律3, a决定关键点：在a = 0时，O0是观察点，在椭圆中心，且总有t=90。，全球都日出在正东方，春分日出时刻=（中午时刻-6小时）见图。由（16）当a从0增加时，观察点将离开椭圆中心向南移， 夏至时移到夏点 Oxz，同时由（17） S点将北移，椭圆

20、上阳光可见部分将伸长。当a从0减少时，观察点将离开椭圆中心向北移，冬至时移到Odz，同时S点将南移，椭圆上阳光可见部分将缩短。这表现在小图中。这些小图都是 a正负同图，存在各自的 O、I、N点，为克服重叠，图上只把其中a为负的阳光可见部分加粗。椭圆图规律4，由(14)、( 16)式，a = B决定了观察点在椭圆短半轴端点上。见图。正合计算仰角时的结论：正午时太阳在正头顶。太阳经过头顶，2角由-90变为+90 。(13)中a = 0 0=0。时，分母等于 0 , 2不存在，对应了这种突变。椭圆图规律5，当010 时，太阳就不再落，经历漫长的昼，I10N 10在最左端。不等冬至，a -10时，太阳

21、就不再出，经历漫长的夜，I-10N-10在最右端。由此推知，对于北极顶点，一年只有一昼一夜。椭圆图规律7,由(17)式，赤纬角a相反的两个日子 A、B,比如冬至和夏至， A日出点和B日出点关于 正东方向线对称。由此，A日出时刻-春分日出时刻=春分日出时刻-B日出时刻。又由此，180 -A的tB的t180 。 由此，可以理解，前面算得，在哈尔滨，夏至时，?=116.3 , t=124.6 冬至时，?=63.7 , t=55.4 两两互补。(六) 计算太阳仰角随时间的变化在t时刻，太阳转过 角运动到m点，而在地平面上看到太阳转过2角，那么这时的太阳仰角又是多少呢？下面进行计算。仍用老模型。从主视图

22、上可见，当时太阳高度为mAmA=HG-r-HW=RCOS0 a )-r-RCOS a (1-COS )COS 0=RCOS6COSa +SIN OSIN a -r/ R-COS a COS 0+ COS a COS 0COS=RSIN 66IN a -r/ R + COS a COS COS略去r/ RmA=RSIN 66IN a + COS a COS 0COS(18)从椭圆图看，太阳的投影点m到观察者的距离为 O”mOm= QRT(O”A” 2 + mA2 )代入(7) ( 8)O”m=R* QRT( COS a SIN COS OSIN a COS 0 2+( COS a SIN )2)

23、(19)由(18) (19)对仰角d,(在后面的全息图上可见)可得Tg 产 mA/ O mTg d = SIN 0 SIN a + COS a COS 0 COS /QRT( COS a SIN 0 COSSIN a COS0 2+( COS a SIN )2)Tg d=( SIN 0 tg a + COS 0 COS )/QRT( SIN 0 COSg a COSB 2+SIN 2 (2)当=0时太阳在最高点，由(20)tg d= (1+tg 0 a ) /(tg -tg a )tg d=ctg( -a) d=90+ a - 0= E结果与(5)相同当tg d=0 即d=0太阳在地平线上，也

24、由(20)SIN 0SIN a + COS a COS COS=0COS Q= -TG a TG 0=COS 2结果与（6）相同（20）与（5） （6）相互验证了正确性。为简化（20）不用勾股定理，改写（19）式Om=R* （ COS a SIN ）/SIN eTg 产 mA/ O m=sin esiN a + cos a cos ecossin e/ cos a sin =SIN etg a + COS 0COSsin e/SIN Tg 0=（ SIN etg a + COS 0COS ）SIN e/ SIN （21）用（20）,可以计算任何时刻太阳仰角。对于北极地区和北回归线以南，计算太阳

25、仰角，也很有趣。若想解释北极地区很冷和北回归线以南很热， 必须研究太阳仰角问题。（七）椭圆柱面图及全年方位椭圆变化图方位椭圆图不能反映太阳的仰角。现在给它来个立体化。见附图左上角，先作好给定e a的方位椭圆图，以方位椭圆为准线，作垂直于地平面的柱面。过IN线，作和地平面夹角为 90 - e的日平面，它和所作柱面的交线正是太阳轨道圆，地平面和日平面所夹的柱面母线反映了太阳的高度。过观察点O作日平面的垂线，垂足是E, OE就是地轴。和地平面夹角为e , M点是t时刻的太阳，MA是太阳的高度，图上标出匀动角、方位角 e仰角0、赤纬角a，至于入、t、E也可画出，这里把它叫做椭圆柱面图，其实它也算 得上

26、全息图。为弄清椭圆柱面图中方位椭圆O点、S点变化规律，我们参照椭圆柱面图，开始作它右边的小图：作出一水平线代表不变的地平面、作出不变的和地平面夹角为 90 - e的以O点为中心的半径为1的太阳轨道圆，也集聚成一条线的 HL、作出不变的和HL垂直的地轴、作出不变的以太阳轨道圆为准线的垂直于地平面的柱 面集聚成矩形HKLP。这时再过O点作平行于地平面的平面，被柱面所截，截面就是春分、秋分方位椭圆， 观察点及S点都集中在O点。现在来看变化的 a角，a角是以H点为顶点，HL为起边，逆时针为正的角， 图上作出a = 3的角。终边和地轴交于 Oxz，这时过Oxz点作平行于地平面的夏至平面，被柱面所截，截面

27、 就是夏至方位椭圆，所作平面和HL线的交点就是Sxz。同样作出a = - 3的冬至方位椭圆。 可见随着a取不同值，方位椭圆在夏至方位椭圆和冬至方位椭圆间上下平动，观察点总在地轴上，S点总在HL线上。变化规律一目了然，因此这里称它为全年方位椭圆变化图。以图上的3角为a，再考虑到 / SxzOF= / OOxzF= e ,然后通过HOOxz、 OFOxz OFSXZ可以轻易地写出公式（16）、（17）。这也证明了这样作出的方位椭圆 图是正确的。之所以如此奇妙简单，是因为我们设RCOS a =1，等于对不同的a，采用了不同的绘图比例，使不同a的方位椭圆统一起来。要知道，方位椭圆可大可小，只要是相似变

28、换，是不在乎绘图比例的。图上 可见，因为比例不同，各 a的方位椭圆的观察点到 H的距离各为各自的1/COS a，已经不是不变的 R 了。全 年方位椭圆变化图其实是全年椭圆柱面图集聚了，如果改投影角度，平面不再集聚，全年方位椭圆变化图就 是年内多a共处的椭圆柱面图。（八）太阳视运动模拟机全年方位椭圆变化图已经给出了太阳视运动模拟机的原理。太阳视运动模拟机，确切说是太阳视运动模拟计 算机，附图右上角给出了它的简图。将太阳轨道圆和地轴通过透明柱面固定在一起，并按角度e固定于地面。a长轴被省略，用在地轴上刻度代替。在-3到3范围内，确定a角度，在地轴上按刻度固定 O点，且带着地平面移动到O点的高度，重

29、物重力作用保证地平面总是平动。地平面和太阳轨道面交点即是决定日出日落点的S点。如果在太阳轨道上加上垂裙，则在地平面上立刻勾勒出椭圆柱面图和方位椭圆图。如果在太阳轨道上按 24小时顺序点亮LED灯代表运动的太阳，在观察点O放上个观察者，就会让太阳视运动模拟机更形象。地轴上a刻度也可自动给出，在简图上以a =0时重物转轴为交线，做一个和太阳轨道面，也即赤道面夹角为3的黄道面，黄道面和柱面交线为黄经椭圆，其上可标示24节气。根据给定日期，在黄经椭圆道上确定日期点，使地平面轴与其取平即可。前述a角就是这样计算出来的。本人据此已设计出太阳视运动模拟机，实现太阳视运动模拟机的实际运转。太阳视运动模拟机可以

30、任意显示各种情况，它可以让我们领略北极、赤道上太阳视运动景象，如同亲临北极、赤道。（九）指针式手表定方位指针式手表配合太阳确定方位是这样进行的：太阳当空时，将手表摆平，转动手表让时针指向太阳，这时 时针方向和12点方向夹角的角分线所指的方向就是正南。现在，我们可以很好解释它：现在的时针实际是在e角动边上，这里认为它和 一样，而且12点太阳在正南。那为什么用角分线呢，因为表盘是12小时一圈，角是24小时一圈，要移回 e角到起点正南位置，在表盘上移动一半读数就正好。譬如，午后2点，从正南转过30 ,手表上2点和1点夹角正好30 ,时针指向太阳，手表1点方向就是正南。1点就是上面说的角分线位置。我们

31、前面的计算得出，哈尔滨12点太阳接近正南，午前午后，冬天与差不多，用这种方法正合适。夏天时2比快一倍多，时针指向太阳时，正南将在12点方向之左，而不是角分线指南。当然，这种指针式手表定方位方法一般只是做方位参考，并不要求太准确，也不要分季节，所以人们只使用上诉的时针方向和12点方向夹角的角分线为正南的方法。（十）日晷计时日晷有多种，这里只讨论简单实用的赤道面式日晷。在空旷地面或阳光无阻的建筑物上固定一个基座，基座上准备固定一个双面表式圆盘，圆盘上下两平行盘面上， 圆周一圈都均匀刻有 12个刻度，并且上下对应，用以标示12个时辰。表盘盘面中央盘面都固定一个细柱使细柱垂直于盘面。在基座上固定表式圆

32、盘时要保证细柱指向北极星，使细柱和地轴平行，这样表盘盘面就和赤道面平行，因此称它为赤道面式日晷，细柱在盘面上的影子就指 示出时间，当然，固定圆盘时还要保证正午时影子落在“午”刻度上。我们现在可以很好解释它。前面，数学推导把我们从地面拉到地心，接受了r/R二0的事实。有了椭圆柱面图概念再来理解日晷就容易多了，在椭圆柱面图里，观察者就在地轴上，细柱也就重合于地轴，日视运动是太阳 在日平面中绕着地轴匀速转动，也就是绕着那根细柱匀速转动，它在盘面上的影子也就匀速转动，也就正确指示 时间了。其实日晷还有一个作用，那就是显示当时的太阳赤纬角。从太阳视运动模拟机上可以看出：观察者和太阳连 线和地轴的夹角总是 90 - a,那观察者和太阳连线和赤道面夹角就一定总是a。而日晷面又是赤道面，所以阳光和日晷面的夹角就总是 a。所以日晷有测量显示太阳赤纬角作用。日晷面要两面使用，春分前用下面，春分后 用上面，秋分前用上面，秋分后用下